期權(quán)定價問題是金融工程學(xué)的核心問題之一.1973年，美國著名的金融數(shù)學(xué)家Black和Scholes發(fā)表了關(guān)于期權(quán)定價的開創(chuàng)性論文.文中以有效市場和股票價格滿足幾何布朗運(yùn)動等為假設(shè)條件，利用無套利原理和Ito公式推出了著名的Black—Scholes模型.該模型是期權(quán)定價發(fā)展史上的里程碑，它為期權(quán)乃至其他為定價權(quán)益的定價打下了堅實的基礎(chǔ)，使得原本空洞的期權(quán)定價在理論上有了依據(jù).

然而，Black—Scholes模型基于理性人假設(shè)和期望效用理論，是一種相對理想的狀況，在現(xiàn)實市場中，它的假設(shè)往往不符合投資者的實際.正是由于這樣的疑問，本文試圖通過改變原有模型中的某些假設(shè)，使模型更為合理.本文最終得到的關(guān)于修正后的Black—Scholes模型為：

幾何布朗運(yùn)動較好而非完美的描述了股票價格的變化過程.

在描述股票價格變化過程中：

μ:預(yù)期收益率 σ:波動率

2.伊藤公式（Ito formula）

(1)伊藤過程

—— Keith Cuthbertson Dirk Nitzsche(1)關(guān)于原有模型的假設(shè)

①所有的無風(fēng)險套利機(jī)會都被消除

②沒有交易成本和稅收

③交易是連續(xù)進(jìn)行的，一股股票可以分為任意小部分，股票不支付紅利

④投資者可以在期權(quán)生命期中以無風(fēng)險利率無限量地借入或貸出資金

⑤股票價格服從“幾何布朗運(yùn)動”隨機(jī)過程。這一隨機(jī)過程使得股票價格具有恒定期望收益μ和波動率σ的對數(shù)正態(tài)分布（它的擴(kuò)展 模型可以包括r和S是時間的特定函數(shù)的情況）

(2)Black-Scholes PDE

上述偏微分方程的符號說明：

f：衍生證券的價格

S：標(biāo)的證券價格

t：時間間隔

r：無風(fēng)險利率（常數(shù)）

σ：標(biāo)的證券價格波動率（常數(shù)）

(3)布萊克－斯科爾斯歐式期權(quán)定價公式（The BlackScholes European Call Pricing Formula）

1.修正模型的假設(shè)

(1)在期權(quán)有效期內(nèi)，支付的紅利率可以確切預(yù)測.

(2)在除權(quán)日當(dāng)天股票價格會下降，下降幅度為每一股股票支付紅利的數(shù)量.（紅利即為在除權(quán)日當(dāng)天由支付紅利引起的股票價格減少的量）.

(3)把除權(quán)日當(dāng)天所支付的紅利平均分配到每一天，即認(rèn)為紅利是連續(xù)支付的.

(4)交易費(fèi)用可看成投資者在買賣股票時所產(chǎn)生的直接費(fèi)用，并且將其以交易額的固定比例表示出來.

2.紅利支付

在實際的交易中，股票的投資者一般會得到一定的股票紅利，與之對應(yīng)的是也需要支付一定的交易費(fèi)用.

我們假設(shè)q是紅利率，則股票的持有者在dt時段內(nèi)的紅利收益為qSdt.因此，股票價格遵循的幾何布朗運(yùn)動方程可修改為：