在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)毫無(wú)疑問(wèn)是重中之重。概念不清，一切無(wú)從談起。概念的深層理解和精確把握，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決具有非常重要的作用。然而數(shù)學(xué)概念數(shù)量眾多并且非常抽象，如何才能達(dá)到一個(gè)真正理解且深層記憶的效果呢？下面簡(jiǎn)述幾種

方法。

一、舉例法

舉例通常分成兩種情況，即舉正面例子和舉反面例子。舉正面例子可以變抽象為形象、變一般為具體，使概念生動(dòng)化、直觀化，達(dá)到較易理解的目的。例如，在講解向量空間的時(shí)候就列舉了大量的實(shí)例。在解析幾何里，平面或空間中從一定點(diǎn)引出的一切向量對(duì)于向量的加法和實(shí)數(shù)與向量的乘法來(lái)說(shuō)都作成實(shí)數(shù)域上的向量空間；復(fù)數(shù)域可以看成實(shí)數(shù)域上的向量空間；數(shù)域F上一切M×N矩陣所成的集合，對(duì)于矩陣的加法和數(shù)與矩陣的乘法來(lái)說(shuō)，作成F上一個(gè)向量空間，等等。舉反面例子則可以體會(huì)概念反映的范圍，加深對(duì)概念本質(zhì)的把握。

二、溫故法

不論是皮亞杰還是奧蘇伯爾，在概念學(xué)習(xí)的理論方面都認(rèn)為概念教學(xué)的起步是在已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。因此，在教授新概念之前，如果能先對(duì)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的概念作一些適當(dāng)?shù)慕Y(jié)構(gòu)上的變化，再引入新概念，則有利于促進(jìn)新概念的形成。例如，在高中階段講解角的概念時(shí)，最好重溫一下在初中階段角的定義，然后從角的范圍推廣到正角、負(fù)角和零；從角的表示方法推廣到弧度制，這樣有利于學(xué)生思維的自然過(guò)渡，較易接受。又如，在講解線性映射時(shí)，最好先溫習(xí)一下映射的概念，在講解歐氏空間的時(shí)候同樣最好溫習(xí)一下向量空間的概念。

三、索因法

每一個(gè)概念的產(chǎn)生都具有豐富的背景和真實(shí)的原因，當(dāng)你把

這些原因找到的時(shí)候，那些鮮活的內(nèi)容，使你不想記住這些概念都難。例如，三角形的四個(gè)心：內(nèi)心、外心、旁心和重心，很多同學(xué)總是記混這些概念。內(nèi)心是三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，因?yàn)槭侨切蝺?nèi)切圓的圓心而得名內(nèi)心；外心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，因?yàn)槭侨切瓮饨訄A的圓心因而得名外心；旁心是三角形一個(gè)內(nèi)角平分線和兩個(gè)不相鄰的外角平分線的交點(diǎn)，因?yàn)槭侨切闻郧袌A的圓心而得名旁心；重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，因?yàn)槭侨切蔚闹亓ζ胶恻c(diǎn)而得名重心。當(dāng)你了解了上述內(nèi)容，你又怎么可能記混這些概念呢？又例如，點(diǎn)到直線的距離是這樣定義的，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，則垂線段的長(zhǎng)度便是點(diǎn)到直線的距離。那么為什么不定義為點(diǎn)和直線上任意點(diǎn)連線的線段的長(zhǎng)度呢？因?yàn)橹挥写咕€段是最短的，具有確定性和唯一性。像這樣的例子還有很多，不再一一列舉。

四、聯(lián)系法

數(shù)學(xué)概念之間具有聯(lián)系性，任意數(shù)學(xué)概念都是由若干個(gè)數(shù)學(xué)概念聯(lián)系而成的，只有建立數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系才能徹底理解數(shù)

學(xué)概念。例如，在學(xué)習(xí)數(shù)列的時(shí)候，我們不妨作如下分析：數(shù)列是按一定次序排列的一列數(shù)，是有規(guī)律的。那規(guī)律是什么呢？項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的規(guī)律、項(xiàng)與項(xiàng)之間的規(guī)律、數(shù)列整體趨勢(shì)的規(guī)律。項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的規(guī)律就是我們說(shuō)的通項(xiàng)公式，項(xiàng)與項(xiàng)之間的規(guī)律就是我們所說(shuō)的遞推公式，數(shù)列整體趨勢(shì)的規(guī)律就是我們所說(shuō)的極限問(wèn)題。當(dāng)項(xiàng)與項(xiàng)之間滿足差數(shù)相等的關(guān)系時(shí)，數(shù)列被稱為等差數(shù)列；當(dāng)項(xiàng)與項(xiàng)之間滿足倍數(shù)相等的關(guān)系時(shí)，數(shù)列就被稱為等比數(shù)列。這樣我們對(duì)數(shù)列這一章的概念便都了然于胸了。

五、比喻法

很多同學(xué)概念不清的原因是覺得概念單調(diào)乏味、沒有興趣，從而不去重視它、深究它，所以我們?cè)谥v解概念的時(shí)候，不妨和生活相聯(lián)系做些形象的比喻，以達(dá)到吸引學(xué)生提高學(xué)習(xí)興趣的效果。例如，在講解映射的時(shí)候，不妨把映射的法則比喻成男女戀愛的法

則。兩個(gè)人可以同時(shí)喜歡上一個(gè)人，但一個(gè)人不可以同時(shí)愛上兩個(gè)人。這不正是映射的法則:集合A中的每一個(gè)元素在集合B中都有唯一的像與之對(duì)應(yīng)嗎？又如，函數(shù)可以理解為一個(gè)黑匣子或交換器，投入的是數(shù)產(chǎn)出的也是數(shù)；投入一個(gè)數(shù)只能產(chǎn)出一個(gè)數(shù)；當(dāng)投入不同數(shù)的時(shí)候也可以產(chǎn)出同一個(gè)數(shù)。再如，滿足和的像等于像的和、數(shù)乘的像等于像的數(shù)乘的映射稱之為線性映射。這不正像一個(gè)人怎樣舞動(dòng)他的影子就怎樣舞動(dòng)嗎？所以有的時(shí)候可把線性映射理解為“人影共舞”的映射。

六、類比法

在學(xué)習(xí)向量空間的時(shí)候，很多同學(xué)疑問(wèn)重重。向量不就是那些既有大小又有方向的量嗎？怎么連矩陣、連續(xù)函數(shù)、甚至線性變換也可以理解為向量呢？這一切是不是太不可思議了。但是當(dāng)你做如下思考的時(shí)候，一切便順理成章了。讓小學(xué)生算一道“5-7”的題，他會(huì)說(shuō)你這道題出錯(cuò)了，但是讓一個(gè)初中生去做，他就會(huì)告訴你等

于-2；當(dāng)你讓一個(gè)初中生對(duì)負(fù)數(shù)進(jìn)行開平方運(yùn)算，他會(huì)說(shuō)不能對(duì)負(fù)數(shù)進(jìn)行開平方，然而高中生卻能夠進(jìn)行運(yùn)算。這就說(shuō)明了一個(gè)問(wèn)題，隨著年齡的增長(zhǎng)和認(rèn)識(shí)層次的提高，人們對(duì)于同一概念的理解和認(rèn)識(shí)也在逐步地深入和擴(kuò)大。正如數(shù)的概念由小學(xué)學(xué)的整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)擴(kuò)大為初中學(xué)的實(shí)數(shù)最后擴(kuò)大為高中學(xué)的復(fù)數(shù)。同樣對(duì)于向量的理解也就不能只限于既有大小又有方向的量，應(yīng)該把這一觀念轉(zhuǎn)變過(guò)來(lái)。

像這樣的方法還有很多，不再一一列舉?？傊痪湓挘瑪?shù)學(xué)概念是重要的，分析概念是有趣的，在樂(lè)趣和玩賞中去理解概念是容易做到的。

（作者單位 河北省邯鄲市磁縣辛莊營(yíng)學(xué)區(qū)大馬莊

中學(xué)）