數學是推理中的音樂，而音樂則是感覺中的數學。代表理性的數學，其規(guī)律與秩序所產生的美感，雖無聲音之傳遞，但與音樂是根本相通的；而代表感性的音樂，其音強、音高、音色、節(jié)奏、旋律、曲式及風格，雖無明顯的數學表達，但數學的蹤影卻處處可見。

數學概念在樂章中一個非常有趣的方面是Fibonacci數列和黃金分割理論的存在。前者是由意大利的數學家L.Fibonacci命名的一個整數數列。其特點是：從第三項起，每一項都是前兩項的和，而且前一項與后一項的比值，逐漸趨向黃金數。也就是說，越往后的各項，此比值越接近0.618，所以這個數列也成為黃金數列。

音樂結構的美的效應，也同樣有賴于樂曲各部分之間的完美數學比例關系。所謂黃金分割法則，其定義如下：當樂曲之結構符合或近似黃金比例，則其黃金分割點應出現在全曲之黃金數0.618或近似0.618處；亦即將全曲小節(jié)數乘以0.618，或更嚴謹的將節(jié)拍數乘以0.618。此時若屬黃金分割點，則此處應相當于該曲之重要段落、附屬主題、轉調段落、主題再現部、展開部或是歌曲的副歌開始之處。

下面我們就以莫扎特的小提琴協(xié)奏曲為例來具體探討一下黃金分割法在作曲中的應用。

我們最為熟悉莫扎特所作的小提琴協(xié)奏曲有5首，分別是第一號降B大調K.207、第二號D大調K.211、及本文研究選定之第三、四、五號作品。

依前述黃金分割段落之說明，我們分析莫扎特的協(xié)奏曲，發(fā)現其樂曲結構也都明確地遵守黃金分割法則，暗示這些作品的曲式結構，與黃金分割的規(guī)律有著密切的關系，而呈現樂曲各部分之間的完美數學比例關系，如表一所示。

在計算莫扎特音樂黃金分割點的同時，我們亦由表二所列此3首協(xié)奏曲各樂章的升記號數目和調性之次序性，再一次證明莫扎特音樂所呈現的完美形式。

從表二我們可以清楚地看出，此3首樂曲中第一樂章與第三樂章均為相同的調性，此乃古典時期協(xié)奏曲的曲式要求。然而第二樂章之調性均一致的采取五度遞增方式后，再回到原主調，則非古典時期協(xié)奏曲的曲式要求；且同一樂章的升記號數目，依第三、四、五號分別呈現次序的數列，第一樂章是：1、2、3；第二樂章是：2、3、4；第三樂章又還原為：1、2、3，其調性之間亦均為完全五度的遞增：GDA；DAE；GDA，也都不是古典時期協(xié)奏曲的曲式要求，而是莫扎特此3首樂曲所呈現之一致性和規(guī)律性。我們嘗試將上述升記號數目的次序，以數學行列式表示如下：

將此3.3三階行列式展開并計算其值，（1·3.3+2·2·3+2·4·1）（1·3·3+2·2·3+2·4·1），令人贊嘆的完美答案0。我們進一步檢視此行列式后發(fā)覺，其實任何3首調性符合古典時期協(xié)奏曲的曲式要求之協(xié)奏曲，將其升降記號數目以33之三階行列式表示時，其值一定是0。因為依古典時期協(xié)奏曲的曲式要求，其第一和第三樂章的調性相同，所以其所形成之行列式，無論第二樂章的調性為何，一定至少有兩行或兩列是完全相等的；而依行列式之性質得知，行列式中有兩行相等或兩列相等時，則此行列式之值為0。因此莫扎特此三首協(xié)奏曲的調性，因為符合古典時期協(xié)奏曲的曲式要求，使其3·3行列式之展開式具有高度之對稱性和完美的答案0。

除了上述莫扎特音樂中數學關系的探討之外，我們也選擇莫扎特的第三、四和五號協(xié)奏曲結構的數學解析及段落主題進行敘述。

提琴協(xié)奏曲之第一樂章與黃金分割比例的關系。從各樂段的小節(jié)數，我們可以算出與全樂章小節(jié)數之比范圍，如表四所示。

由表四可知其黃金分割段落均落在展開部之中。我們進一步分析此段落，發(fā)現此3首協(xié)奏曲第一樂章的展開部都存在兩個主題，此二主題結束之小節(jié)數分別是第三號：第一主題為135小節(jié)，比值為135/214=0.631、第二主題為第155小節(jié)，比值為155/214=0.724；第四號：第一主題為第125小節(jié)，比值為125/212=0.590、第二主題為145小節(jié)，比值為145/212=0.684；第五號：第一主題為134小節(jié)，比值為134/222=0.604、第二主題為143小節(jié)，比值為143/222=0.644。故其最接近黃金分割點0.618的段落，均為展開部的第一主題結束，此三者之黃金分割點分別為第三號135/214=0.631；第四號125/212=0.590；第五號134/222=0.604。

總之，一定程度上數學有多少藝術成分，就有多少科學成分，人們了解這一點是非常重要的，這將改變相關的普遍觀念，并且人們對它的要素和普遍性會理解得更好。期望通過對數學與音樂多元對話的探討，了解音樂中的數學關系、數學的藝術表達，提供音樂的另類思考模式，即美是數學固有的內在。

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（作者單位 重慶市第八中學）