張若瑜，唐友剛，宋吉哲，劉利琴

（1天津大學(xué)建筑工程學(xué)院暨港口與海洋工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津300072；2中國(guó)船級(jí)社天津分社，天津300457）

1 引 言

Spar平臺(tái)主體在風(fēng)浪流的作用下一旦遇到極端海況，則會(huì)引起平臺(tái)發(fā)生大幅運(yùn)動(dòng)，一般認(rèn)為，平臺(tái)浮體運(yùn)動(dòng)是引起系泊系統(tǒng)纜索動(dòng)張力的主要原因。因此考慮平臺(tái)主體運(yùn)動(dòng)分析系泊系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)是十分重要的。Aamo[1]建立了在水中懸掛纜索有限元模型，用Morison公式計(jì)算纜索受到的水動(dòng)力，忽略纜索附加質(zhì)量，推導(dǎo)出了兩端固定的系纜運(yùn)動(dòng)方程，給出系統(tǒng)整體解的存在性和唯一性。Huang[2]用單自由度模型計(jì)算松弛張緊條件下系纜—浮體系統(tǒng)在垂蕩運(yùn)動(dòng)下的動(dòng)力特性。Chen[3]基于細(xì)長(zhǎng)桿理論用有限元方法建立了深海系泊系統(tǒng)模型，研究了系泊系統(tǒng)與平臺(tái)主體之間的動(dòng)力相互作用。Kim[4]用等參曲線索單元計(jì)算幾何非線性有限元方程，求出單元切線剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，用罰函數(shù)法和載荷增量法確定初始平衡點(diǎn)，最終得到在水流，規(guī)則波和不規(guī)則波以及精確計(jì)算Morison力對(duì)海中纜索的作用。張素俠[5]綜合考慮系泊纜繩和系泊浮體的相互耦合作用以及纜繩的粘—彈特性，根據(jù)沖擊動(dòng)力學(xué)理論建立纜繩—浮體系統(tǒng)沖擊之后和沖擊之前的運(yùn)動(dòng)方程，計(jì)算了不同參數(shù)條件下系泊纜索的動(dòng)力響應(yīng)。Sarkar[6]研究了在隨機(jī)波浪激勵(lì)下系泊浮體的非線性動(dòng)力響應(yīng)，并且在頻域內(nèi)分析了由于海上平臺(tái)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)引起的懸鏈系泊索的動(dòng)力特性。杜度[7]應(yīng)用時(shí)域仿真的方法研究了系泊系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性。以三階操縱運(yùn)動(dòng)方程為基礎(chǔ)，引入定常的風(fēng)力、潮流作用力和二階波浪力，建立了系泊系統(tǒng)三自由度的運(yùn)動(dòng)微分方程。并在此數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，建立了系泊系統(tǒng)的多自由度的計(jì)算機(jī)仿真模型。研究表明，系泊系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為具有強(qiáng)烈的非線性特征。向溢[8]對(duì)系泊船舶纜繩張力的計(jì)算建立了數(shù)學(xué)模型。用蒙特卡洛算法對(duì)系泊非線性方程組進(jìn)行了求解。該方法可用于求解船舶在風(fēng)、浪、流聯(lián)合作用下纜繩的靜張力。肖越[9]采用在頻域內(nèi)對(duì)浮體運(yùn)動(dòng)方程求解并將計(jì)算結(jié)果轉(zhuǎn)換為時(shí)域結(jié)果，同時(shí)與錨鏈線運(yùn)動(dòng)時(shí)域方程耦合求解錨泊浮體在限制工作水深的運(yùn)動(dòng)位移與錨鏈線上的張力。

目前對(duì)于纜動(dòng)張力的研究，大部分基于單根纜的動(dòng)張力分析，對(duì)于系泊纜群的動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算，目前研究工作還很少。本文基于細(xì)長(zhǎng)桿單元模型，考慮深海系泊索單元的幾何非線性，并且引入單元內(nèi)張力一致假設(shè)，建立三維非線性細(xì)長(zhǎng)桿單元?jiǎng)偠染仃?，并且?shí)現(xiàn)與通用有限元軟件ABAQUS對(duì)本文單元的調(diào)用，研究具有數(shù)根系泊纜的系泊系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)特性。

2 細(xì)長(zhǎng)桿模型的基本理論

在細(xì)長(zhǎng)桿理論中，細(xì)長(zhǎng)桿的形態(tài)是由其中心線位置表述的。桿的中心線則由空間曲線r s,( )t表示，如圖1所示，其中s為弧長(zhǎng)，t為時(shí)間。曲線上任意點(diǎn)的單位切向量為r′，單位主法向量為r″，單位副法向量為r′×

模型單位弧長(zhǎng)分段的力和彎矩的平衡方程可以寫(xiě)為以下形式：

圖1 細(xì)長(zhǎng)桿模型坐標(biāo)系Fig.1 Coordinate of rod

其中，q為單位長(zhǎng)度上的外力，F(xiàn)為軸線上合力，M為軸線上合彎矩，ρ為單位長(zhǎng)度質(zhì)量，m為單位長(zhǎng)度上施加的彎矩，向量r上方的點(diǎn)“.”表示對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，′表示對(duì)弧長(zhǎng)s求導(dǎo)。對(duì)于等主剛度柔性桿，彎曲剛度沿副法線方向并且與曲率成正比，寫(xiě)為：

由于纜索可伸長(zhǎng)，設(shè)伸長(zhǎng)條件為：

對(duì)于大多數(shù)海洋結(jié)構(gòu)物而言，桿件（如系泊纜、立管及張力腿）上的外載荷是由周圍流體的靜水壓力、水動(dòng)力以及自重引起的，因此（1）式中的q可以寫(xiě)為：

其中，w為空氣中纜單位長(zhǎng)度的重量，F(xiàn)s為單位長(zhǎng)度靜水壓力，F(xiàn)d為單位長(zhǎng)度水動(dòng)力，由莫里森方程求得。最終得到在自重、靜水壓力和水動(dòng)力聯(lián)合作用下纜索的方程有限元形式，寫(xiě)為：

將（18）式和（19）式分別寫(xiě)成一般二階微分方程和代數(shù)方程形式：

由（20）式可以看出，Mijlk為一般質(zhì)量項(xiàng)，為附加質(zhì)量項(xiàng)，為由彎曲剛度EI產(chǎn)生的剛度，為由纜索曲率及拉伸產(chǎn)生的剛度。對(duì)于二維問(wèn)題，i，j=1，2；而三維問(wèn)題 i，j=1，2，3；并且下標(biāo) l，k，s，t=1，2，3，4。或?qū)ⅲ?0）式和（21）式合并，寫(xiě)成矩陣形式：

為了編寫(xiě)本文單元程序，使有限元軟件計(jì)算結(jié)果更加穩(wěn)定，減小計(jì)算規(guī)模，提高計(jì)算效率，本文假設(shè)系纜單元內(nèi)部張力一致，因此將（21）式變換為：

（25）式為纜單元的動(dòng)力微分方程。根據(jù)該方程，可以最終得到12×12剛度矩陣及質(zhì)量矩陣，求解此方程，得到纜索單元結(jié)點(diǎn)動(dòng)位移，再計(jì)算纜伸長(zhǎng)量，由纜的截面幾何特性計(jì)算張力。

圖2 系泊系統(tǒng)有限元模型圖Fig.2 Finite element model of mooring system

3 系泊系統(tǒng)上端點(diǎn)升沉運(yùn)動(dòng)時(shí)纜索的動(dòng)力響應(yīng)

系泊系統(tǒng)模型如圖2所示，系纜為12根，分為四組，每組三根，為鏈—纜—鏈形式，上端為彈簧支座，以模擬由于平臺(tái)垂向運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的浮力變化，底端鉸接，Spar平臺(tái)作業(yè)水深為1 800 m。采用文獻(xiàn)[8]系纜參數(shù)，如表1所示。

表1 系纜參數(shù)Tab.1 Parameters of mooring system

在系泊系統(tǒng)上端點(diǎn)施加最大幅值為0.086 m的垂向位移激勵(lì)，變化規(guī)律如圖3所示。圖4為z軸運(yùn)動(dòng)相圖。圖5為系纜上端點(diǎn)張力歷程，最大張力為2.37×106N。

從圖6可以看出，張力譜包含有激勵(lì)頻率成分以及4.6 rad/s高頻成分。

圖3 系泊系統(tǒng)上端點(diǎn)垂向位移時(shí)間歷程曲線Fig.3 Vertical displacement history of the upper point

圖4 系泊系統(tǒng)上端點(diǎn)垂向運(yùn)動(dòng)相圖Fig.4 Vertical motion phase graph of the upper point

圖5 系泊系統(tǒng)上端點(diǎn)張力歷程Fig.5 Tension history of the upper point

圖6 系泊系統(tǒng)上端點(diǎn)張力譜Fig.6 Tension spectra of the upper point

4 系泊系統(tǒng)上端點(diǎn)升沉、縱蕩及水流影響時(shí)的動(dòng)力響應(yīng)

假設(shè)水流沿x軸正方向傳播，系泊系統(tǒng)12根纜索布置以及x、y軸方向如圖7所示，z軸為與xy軸平面垂直向上方向，即水深方向。其中編號(hào)8的纜索在水流作用下，受到的張力最大。分別計(jì)算垂蕩幅值為0.089 m、縱蕩幅值為2.411 m、流速為0.5 m/s，以及垂蕩幅值為0.085 7 m，縱蕩幅值為21.7 m，流速為1.5 m/s，系纜上端點(diǎn)的x、z軸方向位移、速度以及第8號(hào)纜索受到的張力。

圖7 系纜布置圖Fig.7 Mooring system arrangement

4.1 縱蕩幅值2.411 m，垂蕩幅值0.089 m，流速0.5 m/s時(shí)動(dòng)力響應(yīng)

流速為0.5 m/s，水流傳播方向?yàn)閤軸正方向，取法向拖曳力系數(shù)為1，切向拖曳力系數(shù)為0.01，取x方向位移振幅最大偏離平衡位置約2.411 m，z方向位移振幅最大偏離平衡位置約 0.089 m，變化規(guī)律如圖8和9。圖10及圖11分別為系泊系統(tǒng)上端點(diǎn)x軸方向及z軸方向相圖。其中，x軸方向最大速度為1.42 m/s；z軸方向最大速度為0.243 m/s。圖12和13分別為8號(hào)系泊索上端張力歷程及對(duì)應(yīng)的頻譜圖，其中最大張力為2.604×106N。

從圖13可以看出，與不考慮水流作用時(shí)相比，系纜張力譜除了激勵(lì)頻率成分，還出現(xiàn)了2倍激勵(lì)頻率成分，高頻成分也有所變化。

圖8 系泊系統(tǒng)上端點(diǎn)x方向位移Fig.8 Displacement in x direction of the upper point

圖9 系泊系統(tǒng)上端點(diǎn)z軸方向位移Fig.9 Displacement in z direction of the upper point

圖10 系泊系統(tǒng)上端點(diǎn)x軸方向運(yùn)動(dòng)相圖Fig.10 Phase graph in x direction of the upper point

圖11 系泊系統(tǒng)上端點(diǎn)z軸方向運(yùn)動(dòng)相圖Fig.11 Phase graph in z direction of the upper point

圖12 8號(hào)系泊索頂端張力歷程Fig.12 Tension history of the upper point for No.8 cable

圖13 8號(hào)系泊索頂端張力頻譜圖Fig.13 Tension spectra of the upper point for No.8 cable

4.2 縱蕩幅值21.7 m，垂蕩幅值0.085 7m，流速1.5 m/s時(shí)動(dòng)力響應(yīng)

流速為1.5 m/s，水流傳播方向?yàn)閤軸正方向，取法向拖曳力系數(shù)為1，切向拖曳力系數(shù)為0.01，取x方向位移振幅最大偏離平衡位置約21.7 m，z方向位移振幅最大偏離平衡位置約0.085 7 m，變化規(guī)律如圖14和15。圖16及圖17分別為系泊系統(tǒng)上端點(diǎn)x軸方向及z軸方向相圖。其中，x軸方向最大速度為17.87 m/s；z軸方向最大速度為0.236 m/s。圖18和19為第8號(hào)系泊索上端張力歷程及對(duì)應(yīng)的頻譜圖，其中最大張力為3.703×106N。

圖14 系泊系統(tǒng)上端點(diǎn)x方向位移Fig.14 Displacement in x direction of the upper point

圖15 系泊系統(tǒng)上端點(diǎn)z軸方向位移Fig.15 Displacement in z direction of the upper point

圖16 系泊系統(tǒng)上端點(diǎn)x軸方向運(yùn)動(dòng)相圖Fig.16 Phase graph in x direction of the upper point

圖17 系泊系統(tǒng)上端點(diǎn)z軸方向運(yùn)動(dòng)相圖Fig.17 Phase graph in z direction of the upper point

圖18 8號(hào)系泊索頂端張力歷程Fig.18 Tension history of the upper point for No.8 cable

圖19 8號(hào)系泊索頂端張力頻譜圖Fig.19 Tension spectra of the upper point for No.8 cable

通過(guò)計(jì)算比較可以看出，三者垂蕩幅值比較接近，僅考慮主體垂蕩運(yùn)動(dòng)時(shí)，纜索張力幅值為2.37×106N；同時(shí)考慮系纜上端垂蕩、縱蕩運(yùn)動(dòng)和流速為0.5 m/s的海流共同作用時(shí)，纜張力幅值為2.604×106N，就此例而言，海流的影響使纜張力增加大約10%，因此在流速較低的情況下，海流的影響基本上可以忽略。當(dāng)流速增大到1.5 m/s，纜張力增大為3.703×106N，這表明隨著海流流速增大，流速的影響才需要考慮。在我國(guó)南海環(huán)境條件下，流速達(dá)到1.5 m/s屬于一般情況，因此對(duì)于南海深水平臺(tái)動(dòng)張力計(jì)算，考慮海流的影響是必要的。并且比較圖13與圖19可以看出，隨著水流速度的增加，2倍激勵(lì)頻率影響逐漸增大。

5 結(jié) 論

（1）在流速較低時(shí)，海流對(duì)張力幅值的影響基本上可以忽略，但是隨流速增大，海流對(duì)于張力幅值影響加大。

（2）海流對(duì)于纜索的影響包括張力幅值和張力響應(yīng)的頻率兩個(gè)方面。由于海流影響，張力譜中出現(xiàn)兩倍激勵(lì)頻率成分，即出現(xiàn)兩倍超諧共振。并且隨著水流速度的增加，2倍激勵(lì)頻率影響逐漸增大。

（3）系纜的超諧動(dòng)張力分量使得系纜張力產(chǎn)生高頻變化，對(duì)于纜索疲勞累積損傷具有重要影響，在系纜疲勞分析時(shí)應(yīng)該予以考慮。

[1]Aamo O M,Fossen T I.Finite element modeling of mooring lines[J].Mathematics and Computers in Simulation,2000(53):415-422.

[2]Huang S.Stability analysis of the heave motion of marine cable-body systems[J].Ocean Engineering,1999,26:531-546.

[3]Chen X H,Zhang J,Ma W.On dynamic coupling effects between a spar and its mooring lines[J].Ocean Engineering,2001,28(7):863-887.

[4]Kim Nam-,Jeon Sang-Soo,Kim Moon-Young.Nonlinear finite element analysis of ocean cables[J].China Ocean Engineering,2004,18(4):537-550.

[5]張素俠.深海系泊系統(tǒng)松弛-張緊過(guò)程纜繩的沖擊張力研究[D].天津:天津大學(xué),2008.

[6]Sarkar A,Eatock Taylor R.Dynamics of mooring cables in random seas[J].Journal of Fluids and Structures,2002,16(2):193-212.

[7]杜 度,張 寧,馬 聘,張緯康.系泊系統(tǒng)的時(shí)域仿真及其非線性動(dòng)力學(xué)特性分析[J].船舶力學(xué),2005,9(4):37-45.Du Du,Zhang Ning,Ma Cheng,et al.Time domain simulation research on the dynamic responses and dynamic characteristics[J].Journal of Ship Mechanics,2005,9(4):37-45.

[8]向 溢,譚家華.碼頭系泊纜繩張力的計(jì)算[J].船舶力學(xué),2002,6(3):20-27.Xiang Yi,Tan Jiahua.Analysis of mooring line forces of a berthed ship[J].Journal of Ship Mechanics,2002,6(3):20-27.

[9]肖 越,王言英.三維錨泊系統(tǒng)時(shí)域計(jì)算分析[J].船舶力學(xué),2005,9(5):8-16.Xiao Yue,Wang Yanying.Time-domain analysis for 3-D mooring system[J].Journal of Ship Mechanics,2005,9(5):8-16.

[10]Ran Z.Coupled dynamic analysis of floating structures in waves and currents[D].Ph.D.Dissertation,Texas A&M University,2000.

[11]Arcandra.Hull/mooring/riser coupled dynamic analysis of a deepwater floating platform with polyester lines[D].Ph.D.Dissertation,Texas A&M University,2001.