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        孔穴圓柱齒輪有限元建模與動(dòng)態(tài)激勵(lì)響應(yīng)分析

        2012-03-09 08:14:04
        關(guān)鍵詞:孔穴圓柱齒輪漸開線

        (二炮工程學(xué)院裝備管理系 西安 710025)

        0 引 言

        艦艇噪聲關(guān)系到行船的安全.船用齒輪箱的噪聲是船舶噪聲的主要組成部分,而齒輪箱的噪聲主要是由齒輪相互嚙合產(chǎn)生的[1].因此建立齒輪系統(tǒng)的有限元模型,計(jì)算激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)成為齒輪設(shè)計(jì)的前提條件[2].

        有關(guān)實(shí)驗(yàn)表明,在齒輪端面打孔可以增大齒輪柔度,從而減小齒輪的嚙合沖擊,在降噪減振方面有明顯的效果[3].

        本文以廣泛應(yīng)用于船舶傳動(dòng)的圓柱齒輪為例,主要介紹齒輪系統(tǒng)建模和有限元網(wǎng)格的算法;綜合考慮齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)激勵(lì)的影響,對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了求解和分析,對(duì)普通齒輪與孔穴齒輪的振動(dòng)響應(yīng)作出比較,為孔穴圓柱齒輪的動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)提供了依據(jù).

        1 孔穴圓柱齒輪三維有限元建模

        孔穴圓柱齒輪的基本參數(shù)見表1.

        1.1 斜齒輪端面節(jié)點(diǎn)的確定

        斜齒輪的端面齒廓是由漸開線、齒根過渡曲線和輪體端面曲線組成.本文計(jì)算的斜齒輪齒廓按滾切方法展成.

        表1 齒輪基本參數(shù)

        1)中間輪齒端面節(jié)點(diǎn)的確定 考慮到三維有限元分析巨大的計(jì)算量,因而端面網(wǎng)格不宜劃分的過細(xì).因此在漸開線上取8個(gè)點(diǎn),在過渡曲線上取7個(gè)點(diǎn).

        (1)漸開線上節(jié)點(diǎn)的確定 取步長(zhǎng)

        式中:S1為開始切削時(shí)齒條坐標(biāo)系離固定坐標(biāo)系的距離;S2為退出切削時(shí)齒條坐標(biāo)系離固定坐標(biāo)系的距離,見圖1.

        式中:i=1,2,…,8.

        將S代入式(1)和(2)可求出漸開線上8個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo).沿齒厚方向按角度4等分,利用式(3)可求出漸開線端面節(jié)點(diǎn)坐標(biāo).

        刀具切削點(diǎn)坐標(biāo)

        圖1 滾切齒輪的幾何關(guān)系

        式中:mn為法面模數(shù);β為螺旋角;αt為端面壓力角;cn為變位系數(shù);rf為分度圓半徑;AQ為相應(yīng)漸開線上節(jié)點(diǎn)與中心線的夾角,i=-1,-0.5,0,0.5,1;x,y為相應(yīng)漸開線端面節(jié)點(diǎn)坐標(biāo).這樣漸開線端面共獲得40個(gè)節(jié)點(diǎn).

        (2)過渡曲線上節(jié)點(diǎn)的確定 取步長(zhǎng)

        式中:S22為刀刃圓角退出時(shí)齒條坐標(biāo)系離固定坐標(biāo)系的距離.

        切削點(diǎn)S=S1-SH(i-1).式中:i=1,2,…,7.

        將S代入式(4)和(5),可求出過渡曲線上7個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo).

        刀具圓角切削點(diǎn)坐標(biāo)

        式中:rt為刀刃圓角曲率半徑;其余參數(shù)與式(1)和(2)相同.

        同樣,沿齒厚方向按角度4等分,假定節(jié)點(diǎn)從左到右依次編號(hào)為j=1,2,…,5.

        當(dāng)j=1,5,取RDD=0;當(dāng)j=2,4,取RDD=0.015(2.5mt)(i-1);當(dāng)j=3,取RDD=0.027(2.5mt)(i-1).式中:mt為端面模數(shù);i為過渡曲線上的節(jié)點(diǎn),i=1,2,…,7.

        過渡曲線端面節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算如式(3),只是rs=rs-RDD.這樣過渡曲線端面共獲得35個(gè)節(jié)點(diǎn).

        2)左鄰齒端面節(jié)點(diǎn)的確定 兩鄰齒間的夾角ZQ=2π/Z,則

        式中:x(l),y(l)為中間齒端面節(jié)點(diǎn)坐標(biāo);x1(l),y1(l)為相應(yīng)左鄰齒端面節(jié)點(diǎn)坐標(biāo).

        3)右鄰齒端面節(jié)點(diǎn)的確定

        4)輪體端面節(jié)點(diǎn)的確定 通過計(jì)算得到中間輪齒過渡曲線與齒根圓交點(diǎn)即過渡曲線上第7個(gè)節(jié)點(diǎn)的角度AQ,兩鄰齒間的夾角ZQ在上面已經(jīng)求出,則輪體端面由左向右相應(yīng)節(jié)點(diǎn)的角度為

        當(dāng)j=3,9,15,取RDD=0.5mt;當(dāng)j=2,4,8,10,14,16 取RDD=0.25mt;當(dāng)j=其他,取RDD=0.

        這里取為3層,即i=1,2,3.這樣總共得到51個(gè)節(jié)點(diǎn).確定后的斜齒輪端面節(jié)點(diǎn)見圖2.

        圖2 斜齒輪端面節(jié)點(diǎn)

        經(jīng)過反復(fù)試驗(yàn)以及驗(yàn)證,上述節(jié)點(diǎn)確定方法應(yīng)用簡(jiǎn)便,形成的單元形狀整齊,操作容易,計(jì)算精度高.

        1.2 整個(gè)斜齒輪所有節(jié)點(diǎn)的生成

        斜齒輪齒面可看作是由直齒輪根據(jù)旋向扭轉(zhuǎn)而成,沿齒向在z=b處取一平行于端面的截面,該截面相對(duì)于端面扭轉(zhuǎn)了θ角,則θ=btanβb/rb.式中:βb為基圓螺旋角;rb為基圓半徑.截面坐標(biāo)(x,y,z)與端面坐標(biāo)(x1,y1,z1)間有以下變換關(guān)系

        沿齒輪軸向方向?qū)⑤嘄X等分,采用上面計(jì)算公式就可以求出整個(gè)斜齒輪上的所有節(jié)點(diǎn).

        1.3 斜輪齒打孔的三維有限元網(wǎng)格生成

        1)齒輪網(wǎng)格密化 考慮到在畫打孔齒輪的網(wǎng)格時(shí),孔的形狀并不是光滑的圓形,而是由多條直線段構(gòu)成,密化網(wǎng)格可以使其曲線更光滑.

        網(wǎng)格的密化分成以下幾部分:(1)沿齒高方向:因過渡曲線部分在原程序中間距相當(dāng)小,因此未進(jìn)行密化,在齒高方向,對(duì)原來的漸開線齒廓部分和齒根部分進(jìn)行了密化;(2)沿齒厚方向:除不與齒根過渡曲線相連的齒根部分外,其余均進(jìn)行了一次密化.圖3為密化過的單齒齒輪端面.

        圖3 密化后的單齒齒輪端面

        2)多齒齒輪打孔的實(shí)現(xiàn) 將在孔附近結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)重新分布,并求出與打孔相關(guān)結(jié)點(diǎn)的編號(hào),然后計(jì)算出多齒模型的結(jié)點(diǎn)坐標(biāo),將帶孔模型的有限元網(wǎng)格單元編號(hào)輸入到數(shù)組中,圖4為C1=1.0,C2=0.6時(shí)有孔的5齒齒輪模型.

        圖4 帶孔5齒齒輪模型

        2 齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)激勵(lì)與動(dòng)力學(xué)分析

        2.1 激勵(lì)分析和響應(yīng)計(jì)算

        當(dāng)原動(dòng)機(jī)和負(fù)載運(yùn)轉(zhuǎn)平穩(wěn),齒輪系統(tǒng)加工和裝配精度較高時(shí),齒輪內(nèi)部激勵(lì)是齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)激勵(lì)的主要部分.此外,由于內(nèi)部激勵(lì)的存在,即使沒有外部激勵(lì),齒輪系統(tǒng)也會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)和噪聲[4-5].因此,本文針對(duì)這種情況僅研究齒輪嚙合時(shí)的內(nèi)部激勵(lì),而內(nèi)部激勵(lì)包括剛度激勵(lì)、誤差激勵(lì)和嚙合沖擊激勵(lì).圖5為單對(duì)齒輪模型.

        圖5 單對(duì)齒輪模型

        根據(jù)牛頓力學(xué)定律,單對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可表示為

        式中:K(t)為齒輪嚙合剛度,且為時(shí)間的周期函數(shù);m為齒輪副當(dāng)量質(zhì)量,,其中:m和1m2為齒輪的當(dāng)量質(zhì)量,其中mi=Ji/(i=1,2),J為齒輪回轉(zhuǎn)慣量,rb為齒輪基圓半徑;x為齒輪副在嚙合線上的相對(duì)位移量,并且x=x1-x2,x1和x2是齒輪線位移坐標(biāo),xi=rbiθi(i=1,2),θ為齒輪角位移;C為阻尼系數(shù);P為由轉(zhuǎn)扭矩T作用產(chǎn)生的端面法向力,包括齒輪嚙合沖擊力;Ki為第i對(duì)齒的嚙合剛度;ei為第i對(duì)齒的綜合誤差.

        將式(11)中的周期性激勵(lì)函數(shù)分解為一系列不同的簡(jiǎn)諧函數(shù)來處理.設(shè)周期激振函數(shù)F(t)為F(t)=F(t±iT),(i=1,2,…,n),則周期激振可表達(dá)為

        式中:ω=2π/T,T是一個(gè)振動(dòng)波所需要的時(shí)間,此處為齒輪嚙合周期.

        將式(11)和(12)代入式(10)可得如下方程mΔx″+CΔx′+Δx=

        式中:第一項(xiàng)a0/2表示一個(gè)常力,它只影響系統(tǒng)的靜平衡位置.只要坐標(biāo)原點(diǎn)取在靜平衡位置,此常數(shù)項(xiàng)就不出現(xiàn)在微分方程中,下面就不再記入這一項(xiàng).

        微分方程式(13)的解分成2部分:一部分是有阻尼的自由振動(dòng)的齊次解,這部分振動(dòng)在阻尼的作用下經(jīng)過一段時(shí)間就會(huì)衰減掉.在考慮穩(wěn)態(tài)振動(dòng)時(shí)同樣可以略去.另一部分是穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的非齊次解,是周期性的等幅振動(dòng).對(duì)于線性系統(tǒng)來說,穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的解可以按照疊加原理,將所有特解疊加起來,就得到系統(tǒng)在周期激振力作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng).即將式(13)按式(14)求其特解

        然后將得到的特解進(jìn)行疊加獲得齒輪系統(tǒng)在剛度激勵(lì)和嚙合沖擊激勵(lì)作用下的的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為

        式中:λi=iω/p,ω即齒輪系統(tǒng)嚙合頻率;p為齒輪系統(tǒng)固有頻率,且有p=

        由于齒輪的噪聲與齒輪振動(dòng)加速度均方根值成正比,因此振動(dòng)加速度的均方根值可以近似的表示齒輪的振動(dòng)和噪聲的大?。畬?duì)上面的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)求二階導(dǎo),得到齒輪系統(tǒng)的加速度響應(yīng)為

        然后由式(17)求得齒輪系統(tǒng)加速度穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的均方根值來表示齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)噪聲.

        2.2 動(dòng)態(tài)響應(yīng)結(jié)果分析

        按照上述計(jì)算方法,得到齒輪系統(tǒng)在激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線見圖6~7.

        從圖6~7可以看出:

        1)圖中出現(xiàn)的峰值是齒輪系統(tǒng)固有頻率和嚙合頻率比較接近,產(chǎn)生共振造成的,因此振動(dòng)較大.因?yàn)榭籽X輪固有頻率降低,造成孔穴齒輪的峰值較普通峰值提前.根據(jù)公式p=計(jì)算出的普通齒輪系統(tǒng)和孔穴齒輪系統(tǒng)固有頻率分別為2 357.991Hz和2 308.425Hz.從峰值處數(shù)據(jù)可以看出,孔穴齒輪的振幅小于普通齒輪的振幅.

        圖6 普通斜齒輪在綜合激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)

        圖7 孔穴斜齒輪在綜合激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)

        2)將齒輪振幅曲線下的面積做積分處理,得到的普通齒輪系統(tǒng)和孔穴齒輪系統(tǒng)的平均振幅分別為27.341m/s2和24.809m/s2,平均振幅下降了9.26%.

        圖8和圖9是當(dāng)轉(zhuǎn)速在4 451.35r/min時(shí),各齒輪系統(tǒng)的加速度響應(yīng)曲線,圖中曲線時(shí)間長(zhǎng)度是三個(gè)周期.孔穴齒輪系統(tǒng)的加速度均方根為21.396m/s2,普通齒輪系統(tǒng)的加速度均方根為24.007m/s2,孔穴齒輪系統(tǒng)相對(duì)于普通齒輪系統(tǒng)的振幅下降了10.88%.

        圖8 普通斜齒輪加速度響應(yīng)曲線

        3 結(jié)束語(yǔ)

        通過大量電算表明:圓柱齒輪根據(jù)不同要求在輪齒上開適當(dāng)?shù)目住籽▓A柱齒輪,具有比較明顯的降噪效果,是一種可行的降低噪聲的新方法.特別是在高速運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí),振動(dòng)加速度值和噪聲值下降幅比較大.同時(shí),孔穴圓柱齒輪加工工藝簡(jiǎn)單,無需專用設(shè)備,是值得重視和進(jìn)一步探討的一種新型齒輪傳動(dòng)型式.

        圖9 孔穴斜齒輪加速度響應(yīng)曲線

        [1]王世安.船用齒輪設(shè)計(jì)技術(shù)的發(fā)展趨勢(shì)[J].熱能動(dòng)力工程,2003,18(6):547-552.

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