（二炮工程學(xué)院裝備管理系 西安 710025）

0 引 言

艦艇噪聲關(guān)系到行船的安全．船用齒輪箱的噪聲是船舶噪聲的主要組成部分，而齒輪箱的噪聲主要是由齒輪相互嚙合產(chǎn)生的［1］．因此建立齒輪系統(tǒng)的有限元模型，計(jì)算激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)成為齒輪設(shè)計(jì)的前提條件［2］．

有關(guān)實(shí)驗(yàn)表明，在齒輪端面打孔可以增大齒輪柔度，從而減小齒輪的嚙合沖擊，在降噪減振方面有明顯的效果［3］．

本文以廣泛應(yīng)用于船舶傳動(dòng)的圓柱齒輪為例，主要介紹齒輪系統(tǒng)建模和有限元網(wǎng)格的算法；綜合考慮齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)激勵(lì)的影響，對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了求解和分析，對(duì)普通齒輪與孔穴齒輪的振動(dòng)響應(yīng)作出比較，為孔穴圓柱齒輪的動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)提供了依據(jù)．

1 孔穴圓柱齒輪三維有限元建模

孔穴圓柱齒輪的基本參數(shù)見(jiàn)表1．

1.1 斜齒輪端面節(jié)點(diǎn)的確定

斜齒輪的端面齒廓是由漸開(kāi)線、齒根過(guò)渡曲線和輪體端面曲線組成．本文計(jì)算的斜齒輪齒廓按滾切方法展成．

表1 齒輪基本參數(shù)

1）中間輪齒端面節(jié)點(diǎn)的確定 考慮到三維有限元分析巨大的計(jì)算量，因而端面網(wǎng)格不宜劃分的過(guò)細(xì)．因此在漸開(kāi)線上取8個(gè)點(diǎn)，在過(guò)渡曲線上取7個(gè)點(diǎn)．

（1）漸開(kāi)線上節(jié)點(diǎn)的確定 取步長(zhǎng)

式中：S1為開(kāi)始切削時(shí)齒條坐標(biāo)系離固定坐標(biāo)系的距離；S2為退出切削時(shí)齒條坐標(biāo)系離固定坐標(biāo)系的距離，見(jiàn)圖1．

式中：i＝1，2，…，8．

將S代入式（1）和（2）可求出漸開(kāi)線上8個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)．沿齒厚方向按角度4等分，利用式（3）可求出漸開(kāi)線端面節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)．

刀具切削點(diǎn)坐標(biāo)

圖1 滾切齒輪的幾何關(guān)系

式中：mn為法面模數(shù)；β為螺旋角；αt為端面壓力角；cn為變位系數(shù)；rf為分度圓半徑；AQ為相應(yīng)漸開(kāi)線上節(jié)點(diǎn)與中心線的夾角，i＝－1，－0．5，0，0．5，1；x，y為相應(yīng)漸開(kāi)線端面節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)．這樣漸開(kāi)線端面共獲得40個(gè)節(jié)點(diǎn)．

（2）過(guò)渡曲線上節(jié)點(diǎn)的確定 取步長(zhǎng)

式中：S22為刀刃圓角退出時(shí)齒條坐標(biāo)系離固定坐標(biāo)系的距離．

切削點(diǎn)S＝S1－SH（i－1）．式中：i＝1，2，…，7．

將S代入式（4）和（5），可求出過(guò)渡曲線上7個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)．

刀具圓角切削點(diǎn)坐標(biāo)

式中：rt為刀刃圓角曲率半徑；其余參數(shù)與式（1）和（2）相同．

同樣，沿齒厚方向按角度4等分，假定節(jié)點(diǎn)從左到右依次編號(hào)為j＝1，2，…，5．

當(dāng)j＝1，5，取RDD＝0；當(dāng)j＝2，4，取RDD＝0．015（2．5mt）（i－1）；當(dāng)j＝3，取RDD＝0．027（2．5mt）（i－1）．式中：mt為端面模數(shù)；i為過(guò)渡曲線上的節(jié)點(diǎn)，i＝1，2，…，7．

過(guò)渡曲線端面節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算如式（3），只是rs＝rs－RDD．這樣過(guò)渡曲線端面共獲得35個(gè)節(jié)點(diǎn)．

2）左鄰齒端面節(jié)點(diǎn)的確定 兩鄰齒間的夾角ZQ＝2π／Z，則

式中：x（l），y（l）為中間齒端面節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)；x1（l），y1（l）為相應(yīng)左鄰齒端面節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)．

3）右鄰齒端面節(jié)點(diǎn)的確定

4）輪體端面節(jié)點(diǎn)的確定 通過(guò)計(jì)算得到中間輪齒過(guò)渡曲線與齒根圓交點(diǎn)即過(guò)渡曲線上第7個(gè)節(jié)點(diǎn)的角度AQ，兩鄰齒間的夾角ZQ在上面已經(jīng)求出，則輪體端面由左向右相應(yīng)節(jié)點(diǎn)的角度為

當(dāng)j＝3，9，15，取RDD＝0．5mt；當(dāng)j＝2，4，8，10，14，16 取RDD＝0．25mt；當(dāng)j＝其他，取RDD＝0．

這里取為3層，即i＝1，2，3．這樣總共得到51個(gè)節(jié)點(diǎn)．確定后的斜齒輪端面節(jié)點(diǎn)見(jiàn)圖2．

圖2 斜齒輪端面節(jié)點(diǎn)

經(jīng)過(guò)反復(fù)試驗(yàn)以及驗(yàn)證，上述節(jié)點(diǎn)確定方法應(yīng)用簡(jiǎn)便，形成的單元形狀整齊，操作容易，計(jì)算精度高．

1.2 整個(gè)斜齒輪所有節(jié)點(diǎn)的生成

斜齒輪齒面可看作是由直齒輪根據(jù)旋向扭轉(zhuǎn)而成，沿齒向在z＝b處取一平行于端面的截面，該截面相對(duì)于端面扭轉(zhuǎn)了θ角，則θ＝btanβb／rb．式中：βb為基圓螺旋角；rb為基圓半徑．截面坐標(biāo)（x，y，z）與端面坐標(biāo)（x1，y1，z1）間有以下變換關(guān)系

沿齒輪軸向方向?qū)⑤嘄X等分，采用上面計(jì)算公式就可以求出整個(gè)斜齒輪上的所有節(jié)點(diǎn)．

1.3 斜輪齒打孔的三維有限元網(wǎng)格生成

1）齒輪網(wǎng)格密化 考慮到在畫(huà)打孔齒輪的網(wǎng)格時(shí)，孔的形狀并不是光滑的圓形，而是由多條直線段構(gòu)成，密化網(wǎng)格可以使其曲線更光滑．

網(wǎng)格的密化分成以下幾部分：（1）沿齒高方向：因過(guò)渡曲線部分在原程序中間距相當(dāng)小，因此未進(jìn)行密化，在齒高方向，對(duì)原來(lái)的漸開(kāi)線齒廓部分和齒根部分進(jìn)行了密化；（2）沿齒厚方向：除不與齒根過(guò)渡曲線相連的齒根部分外，其余均進(jìn)行了一次密化．圖3為密化過(guò)的單齒齒輪端面．

圖3 密化后的單齒齒輪端面

2）多齒齒輪打孔的實(shí)現(xiàn) 將在孔附近結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)重新分布，并求出與打孔相關(guān)結(jié)點(diǎn)的編號(hào)，然后計(jì)算出多齒模型的結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，將帶孔模型的有限元網(wǎng)格單元編號(hào)輸入到數(shù)組中，圖4為C1＝1．0，C2＝0．6時(shí)有孔的5齒齒輪模型．

圖4 帶孔5齒齒輪模型

2 齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)激勵(lì)與動(dòng)力學(xué)分析

2.1 激勵(lì)分析和響應(yīng)計(jì)算

當(dāng)原動(dòng)機(jī)和負(fù)載運(yùn)轉(zhuǎn)平穩(wěn)，齒輪系統(tǒng)加工和裝配精度較高時(shí)，齒輪內(nèi)部激勵(lì)是齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)激勵(lì)的主要部分．此外，由于內(nèi)部激勵(lì)的存在，即使沒(méi)有外部激勵(lì)，齒輪系統(tǒng)也會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)和噪聲［4－5］．因此，本文針對(duì)這種情況僅研究齒輪嚙合時(shí)的內(nèi)部激勵(lì)，而內(nèi)部激勵(lì)包括剛度激勵(lì)、誤差激勵(lì)和嚙合沖擊激勵(lì)．圖5為單對(duì)齒輪模型．

圖5 單對(duì)齒輪模型

根據(jù)牛頓力學(xué)定律，單對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可表示為

式中：K（t）為齒輪嚙合剛度，且為時(shí)間的周期函數(shù)；m為齒輪副當(dāng)量質(zhì)量，，其中：m和1m2為齒輪的當(dāng)量質(zhì)量，其中mi＝Ji／（i＝1，2），J為齒輪回轉(zhuǎn)慣量，rb為齒輪基圓半徑；x為齒輪副在嚙合線上的相對(duì)位移量，并且x＝x1－x2，x1和x2是齒輪線位移坐標(biāo)，xi＝rbiθi（i＝1，2），θ為齒輪角位移；C為阻尼系數(shù)；P為由轉(zhuǎn)扭矩T作用產(chǎn)生的端面法向力，包括齒輪嚙合沖擊力；Ki為第i對(duì)齒的嚙合剛度；ei為第i對(duì)齒的綜合誤差．

將式（11）中的周期性激勵(lì)函數(shù)分解為一系列不同的簡(jiǎn)諧函數(shù)來(lái)處理．設(shè)周期激振函數(shù)F（t）為F（t）＝F（t±iT），（i＝1，2，…，n），則周期激振可表達(dá)為

式中：ω＝2π／T，T是一個(gè)振動(dòng)波所需要的時(shí)間，此處為齒輪嚙合周期．

將式（11）和（12）代入式（10）可得如下方程mΔx″＋CΔx′＋Δx＝

式中：第一項(xiàng)a0／2表示一個(gè)常力，它只影響系統(tǒng)的靜平衡位置．只要坐標(biāo)原點(diǎn)取在靜平衡位置，此常數(shù)項(xiàng)就不出現(xiàn)在微分方程中，下面就不再記入這一項(xiàng)．

微分方程式（13）的解分成2部分：一部分是有阻尼的自由振動(dòng)的齊次解，這部分振動(dòng)在阻尼的作用下經(jīng)過(guò)一段時(shí)間就會(huì)衰減掉．在考慮穩(wěn)態(tài)振動(dòng)時(shí)同樣可以略去．另一部分是穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的非齊次解，是周期性的等幅振動(dòng)．對(duì)于線性系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的解可以按照疊加原理，將所有特解疊加起來(lái)，就得到系統(tǒng)在周期激振力作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)．即將式（13）按式（14）求其特解

然后將得到的特解進(jìn)行疊加獲得齒輪系統(tǒng)在剛度激勵(lì)和嚙合沖擊激勵(lì)作用下的的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為

式中：λi＝iω／p，ω即齒輪系統(tǒng)嚙合頻率；p為齒輪系統(tǒng)固有頻率，且有p＝

由于齒輪的噪聲與齒輪振動(dòng)加速度均方根值成正比，因此振動(dòng)加速度的均方根值可以近似的表示齒輪的振動(dòng)和噪聲的大?。畬?duì)上面的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)求二階導(dǎo)，得到齒輪系統(tǒng)的加速度響應(yīng)為

然后由式（17）求得齒輪系統(tǒng)加速度穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的均方根值來(lái)表示齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)噪聲．

2.2 動(dòng)態(tài)響應(yīng)結(jié)果分析

按照上述計(jì)算方法，得到齒輪系統(tǒng)在激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線見(jiàn)圖6～7．

從圖6～7可以看出：

1）圖中出現(xiàn)的峰值是齒輪系統(tǒng)固有頻率和嚙合頻率比較接近，產(chǎn)生共振造成的，因此振動(dòng)較大．因?yàn)榭籽X輪固有頻率降低，造成孔穴齒輪的峰值較普通峰值提前．根據(jù)公式p＝計(jì)算出的普通齒輪系統(tǒng)和孔穴齒輪系統(tǒng)固有頻率分別為2 357．991Hz和2 308．425Hz．從峰值處數(shù)據(jù)可以看出，孔穴齒輪的振幅小于普通齒輪的振幅．

圖6 普通斜齒輪在綜合激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)

圖7 孔穴斜齒輪在綜合激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)

2）將齒輪振幅曲線下的面積做積分處理，得到的普通齒輪系統(tǒng)和孔穴齒輪系統(tǒng)的平均振幅分別為27．341m／s2和24．809m／s2，平均振幅下降了9．26%．

圖8和圖9是當(dāng)轉(zhuǎn)速在4 451．35r／min時(shí)，各齒輪系統(tǒng)的加速度響應(yīng)曲線，圖中曲線時(shí)間長(zhǎng)度是三個(gè)周期．孔穴齒輪系統(tǒng)的加速度均方根為21．396m／s2，普通齒輪系統(tǒng)的加速度均方根為24．007m／s2，孔穴齒輪系統(tǒng)相對(duì)于普通齒輪系統(tǒng)的振幅下降了10．88%．

圖8 普通斜齒輪加速度響應(yīng)曲線

3 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)大量電算表明：圓柱齒輪根據(jù)不同要求在輪齒上開(kāi)適當(dāng)?shù)目住籽▓A柱齒輪，具有比較明顯的降噪效果，是一種可行的降低噪聲的新方法．特別是在高速運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，振動(dòng)加速度值和噪聲值下降幅比較大．同時(shí)，孔穴圓柱齒輪加工工藝簡(jiǎn)單，無(wú)需專用設(shè)備，是值得重視和進(jìn)一步探討的一種新型齒輪傳動(dòng)型式．

圖9 孔穴斜齒輪加速度響應(yīng)曲線

［1］王世安．船用齒輪設(shè)計(jì)技術(shù)的發(fā)展趨勢(shì)［J］．熱能動(dòng)力工程，2003，18（6）：547－552．

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