蘭 婧，楊 陽，2，戴婧怡

(1.南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，南京 210016;2.毫米波國家重點實驗室，南京 210096)

0 引言

缺陷地結(jié)構(gòu)(defected ground structure，DGS)［1］是由學(xué)者Park J I提出，通過在接地板上刻蝕缺陷的圖形形成的，以改變接地板上的電流分布，從而實現(xiàn)濾波。DGS占用較小的電路面積，有利于實現(xiàn)高性能與小型化，由于其獨特的性能逐漸成為微波電路設(shè)計領(lǐng)域中的研究熱點。

在微波電路的實際計算中，時域有限差分法(finite－difference time－domain，F(xiàn)DTD)因其簡單有效性而越來越受到重視，但傳統(tǒng)的FDTD方法屬于顯式差分，計算時間步長上限受到Courant穩(wěn)定性條件(Courant－Friedrich－Levy，CFL)［2－3］的限制，而太小的時間步長會導(dǎo)致計算量和內(nèi)存需求的增大，進(jìn)而影響計算效率。對于缺陷地結(jié)構(gòu)來說，由于其包含有微細(xì)尺寸，傳統(tǒng)FDTD方法仿真計算時間大大增加。近年來，時域交替隱式差分方法(alternating－direction implicit FDTD， ADI－FDTD)［4］、LOD－FDTD(locally one dimensionally FDTD)［5］和 CN－FDTD(Crank－Nicolson FDTD)［6］等隱式無條件穩(wěn)定 FDTD方法相繼被提出以克服穩(wěn)定性條件的限制，但這些方法的共同點是計算復(fù)雜、效率較低，并且易產(chǎn)生較大的離散誤差。

在隱式方法的基礎(chǔ)上，提出了一種新的混合隱顯式時域有限差分法(hybrid implicit－explicit FDTD，HIE－FDTD)［7］，相比前幾種 FDTD 方法的變形，HIEFDTD方法介于隱式和顯式差分方法之間，保持了一種弱穩(wěn)定性，能取到比普通FDTD方法更大的時間步長，并且計算復(fù)雜度比ADI－FDTD等隱式方法低，有更高的計算效率，在保持和傳統(tǒng)FDTD方法精度相同的情況下，能節(jié)省內(nèi)存，并且比較適合在某個方向上具有細(xì)微結(jié)構(gòu)的電磁問題計算。本文通過運用HIE－FDTD方法對其進(jìn)行變換，針對該方法提出了其相應(yīng)的邊界吸收條件的處理方法并且加以應(yīng)用。通過計算兩款啞鈴型DGS微帶線(該DGS微帶線中各帶有一個比較窄的矩形連接槽)給出了結(jié)果證明。

1 HIE-FDTD算法推導(dǎo)

1.1 算法基本公式

文獻(xiàn)［7－8］中的 HIE－FDTD 方法適用于在 y方向有微細(xì)尺寸的結(jié)構(gòu)，但在一些結(jié)構(gòu)如啞鈴型DGS微帶中，微細(xì)尺寸集中在傳播方向，即z方向。于是，在各向同性均勻媒質(zhì)區(qū)域，假設(shè)空間剖分最小步長在z方向，得出變換后新的三維HIE－FDTD差分方法基本矩陣形式為

該HIE－FDTD方法需要求解2個隱式更新方程(隱式更新過程等價于對一個矩陣方程的求解，其中系數(shù)矩陣是一個帶狀三對角矩陣)，4個顯式更新方程，計算復(fù)雜度遠(yuǎn)小于 ADI－FDTD［4］，CN－FDTD［6］方法的6個隱式更新方程、6個顯式更新。提高了計算效率，節(jié)省了內(nèi)存空間。

經(jīng)變換的HIE－FDTD方法的穩(wěn)定性條件［7］相應(yīng)改為

(2)式中:Δx，Δy分別為對應(yīng)方向上的空間增量。

由(2)式可以看出，HIE－FDTD方法的時間步長只與2個方向的空間離散有關(guān)，如果計算模型在z方向上具有細(xì)微的結(jié)構(gòu)，普通FDTD方法可取的時間步長將會非常小，使得普通FDTD方法難以實現(xiàn)，而HIE－FDTD方法卻不會受到影響，并且HIE－FDTD方法也會因此減少計算時間。

1.2 吸收邊界條件的處理

因為FDTD方法實際求解過程必須限定在一個有限的空間區(qū)域，所以，必須采用適當(dāng)?shù)奈者吔鐥l件來模擬電磁波傳播過程。Mur吸收邊界條件［9－10］作為一種簡單有效的差分?jǐn)?shù)值算法，相比其他吸收邊界條件節(jié)省占用內(nèi)存，在FDTD方法中得到了廣泛應(yīng)用，因此，在對缺陷地結(jié)構(gòu)做分析時我們采用Mur吸收邊界條件，但并不同于其在傳統(tǒng)FDTD方法中邊界條件的使用方法。通常在使用Mur吸收邊界條件時，盡量采用Mur二階近似吸收邊界條件，角點作一階近似處理。具體公式參照文獻(xiàn)［9］，而在HIE－FDTD方法中，由于需要求解復(fù)雜的三對角矩陣系統(tǒng)，不同于普通FDTD方法直接求解，場值的截斷邊界吸收條件需要分情況討論。以Ex為例，關(guān)于Ex的求解可寫成矩陣形式為(3)式中，A為三對角矩陣，由于三對角矩陣求解的特殊性，其首、末行元素只能用一階Mur吸收邊界條件得到。

至于不涉及三對角矩陣求解的Ez節(jié)點，以x=0邊界為例，吸收邊界條件仍然按照一般方法，即在截斷邊界上與棱邊相鄰的節(jié)點采用Mur一階近似吸收邊界條件，如(6)式，而其他節(jié)點都用Mur二階近似吸收邊界條件，如(7)式。

2 DGS全波分析實例

2.1 典型DGS微帶線的分析計算

我們用經(jīng)過變換的HIE－FDTD方法對典型DGS微帶線進(jìn)行時域和頻域上的仿真分析，傳統(tǒng)FDTD方法仿真結(jié)果與其結(jié)果進(jìn)行了比較。典型DGS微帶線(見圖1)［1］由2個同樣大小的大矩形槽和一個較窄的矩形連接槽構(gòu)成，外形酷似啞鈴，結(jié)構(gòu)中基片介質(zhì)參數(shù)εr=2.2，厚度h=0.787 4mm。計算空間為16×29 ×200，取Δx=0.787 4 mm，Δy=0.5 mm，Δz=0.1 mm。激勵源為高斯脈沖，在微帶線輸入和輸出端口設(shè)置兩個參考面，得到其電場值Ez的時域波形。

圖1 啞鈴型DGS微帶線結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Configuration of the dumb－bell shaped microstrip DGS

傳統(tǒng)FDTD方法能滿足的最大的時間步長Δt由 Courant條件［2］可得

在HIE－FDTD方法中，由(2)式確定數(shù)值解穩(wěn)定的條件為Δt≤1.407 9 ps。圖2為HIE－FDTD方法和傳統(tǒng)FDTD方法分別在輸入和輸出端得到的電場時域波形。可以看出，在時間步長取值比傳統(tǒng)FDTD方法大的情況下，HIE－FDTD方法的結(jié)果和傳統(tǒng)FDTD方法結(jié)果基本吻合。

接下來對時域數(shù)據(jù)離散快速傅立葉變換(fast Fourier transform，F(xiàn)FT)得到該DGS微帶線的寬頻帶響應(yīng)計算得出其S參數(shù)幅值圖如圖3所示。頻率為0～12 GHz，HIE－FDTD方法計算的S參數(shù)與傳統(tǒng)FDTD方法結(jié)果相近。

HIE－FDTD方法和傳統(tǒng)FDTD方法在該計算過程中所用的計算時間如表1所示。由表1得出，因為HIE－FDTD方法計算過程比傳統(tǒng) FDTD方法復(fù)雜，在相同情況下，HIE－FDTD方法的計算時間要比傳統(tǒng)FDTD方法大，但由于其弱穩(wěn)定性能取到比傳統(tǒng)FDTD方法要大的時間步長，仍能節(jié)省計算時間。

表1 計算過程中所用的計算時間Tab.1 CPU times for the simulations

2.2 Slanted啞鈴型DGS微帶線的分析計算

Slanted啞鈴型DGS微帶線結(jié)構(gòu)如圖4所示［11］，與典型DGS微帶線一樣由2個大矩形槽和一個較窄的矩形連接槽構(gòu)成，但是2個大矩形槽沿窄帶矩形槽左右對稱，該DGS微帶線可用于普通DGS微帶線不適用的平行耦合線濾波器中，具有很好的濾波特性。基片介質(zhì)參數(shù)εr=4.4，損耗因數(shù)tanδ=0.02，厚度h=1.5 mm。微帶線寬度為w=3.09 mm，計算空間為32×23×295，取Δx=1.5 mm，Δy=1mm，同時因傳播方向有纖細(xì)結(jié)構(gòu)取Δz=0.1 mm。激勵源為調(diào)制高斯脈沖。

圖4 Slanted啞鈴型DGS微帶線結(jié)構(gòu)圖Fig.4 Configuration of the slanted dumb－bell shaped microstrip DGS

傳統(tǒng)FDTD方法能滿足的最大的時間步長Δt由Courant條件可得Δt≤0.331 2 ps。

在HIE－FDTD方法中，由(2)式確定數(shù)值解穩(wěn)定的條件為Δt≤2.775 4 ps。圖5為HIE－FDTD方法和傳統(tǒng)FDTD方法在輸入和輸出端得到的電場時域波形。該DGS微帶線的S參數(shù)幅值圖如圖6所示。圖6中，頻率為0～10 GHz，HIE－FDTD方法計算的S參數(shù)都與傳統(tǒng)FDTD方法非常接近。

HIE－FDTD方法和傳統(tǒng)FDTD方法在該計算過程中所用的計算時間如表2所示。

表2 計算過程中所用的計算時間Tab.2 CPU times for the simulations

從HIE－FDTD方法相關(guān)文獻(xiàn)的計算結(jié)果看，在文獻(xiàn)［7－8］中，其給出的 HIE－FDTD 方法的時域計算結(jié)果與傳統(tǒng)FDTD方法的計算結(jié)果符合得很好，而在文獻(xiàn)［12－13］中，HIE－FDTD 方法的時域、頻域計算結(jié)果與傳統(tǒng)FDTD方法的計算結(jié)果相比均有偏差，這和計算結(jié)構(gòu)是否為二維、三維結(jié)構(gòu)，是否需要考慮吸收邊界有關(guān)，因為Mur邊界在HIE－FDTD方法中的使用不能達(dá)到在普通FDTD方法相同的精度。

從文中HIE－FDTD方法和傳統(tǒng)FDTD方法對2款DGS微帶的時域和頻域的計算結(jié)果看，HIEFDTD方法與傳統(tǒng)FDTD方法的一致程度較高，并能顯著減少計算時間，同時HIE－FDTD方法的吸收邊界條件性能良好。

3 結(jié)論

本文將一種經(jīng)變換后的弱穩(wěn)定性條件的HIEFDTD方法應(yīng)用于2款DGS微帶線的電磁特性分析，還詳細(xì)分析了吸收邊界條件在HIE－FDTD方法中的應(yīng)用研究。數(shù)值結(jié)果表明，HIE－FDTD方法不僅保持了和傳統(tǒng)FDTD方法相近的精度，計算時間能減少到傳統(tǒng)FDTD的1/2～1/4，并且提出的吸收邊界條件的處理保證了吸收邊界的穩(wěn)定性，收斂效果良好。因其數(shù)值穩(wěn)定條件在三維空間中只取決于2個方向，這種弱條件穩(wěn)定性使得HIE－FDTD方法在保持精度的基礎(chǔ)上，提高了DGS的仿真效率，該方法特別適用于DGS微帶線以及其他在傳播方向上具有微細(xì)結(jié)構(gòu)的微帶平面電路的電磁數(shù)值分析。

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(編輯:魏琴芳)