●

(人民教育出版社 北京 100081)

數(shù)學教學目標再思考

●章建躍

(人民教育出版社 北京 100081)

0 引子

科學、合理地制定數(shù)學教學目標，是提高數(shù)學教學質(zhì)量的首要條件.我們曾在許多場合討論過如何制定課堂教學目標的問題.當前，以知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度價值觀分類呈現(xiàn)課堂教學目標成為一種時髦.在某些地區(qū)，甚至作為教學基本功、日常教學規(guī)范，用“準文件”的形式作出“規(guī)定”，要求教師在課堂教學設計時用“三維目標”表述，否則就是“不合格”.例如，下面是2位教師給出的“方程的根與函數(shù)的零點”的教學目標(來源于“第5屆全國中青年數(shù)學教師優(yōu)質(zhì)課觀摩與評比活動”教學設計)：

教師L

知識目標理解函數(shù)零點的定義以及方程的根與函數(shù)的零點之間的聯(lián)系，了解“函數(shù)零點存在”的判斷方法，對新知識加以應用.

能力目標滲透由特殊到一般的認識規(guī)律，提升學生的抽象和概括能力，領會數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學思想.

情感、態(tài)度與價值觀目標認識函數(shù)零點的價值所在，使學生認識到學習數(shù)學是有用的；培養(yǎng)學生認真、耐心、嚴謹?shù)臄?shù)學品質(zhì)；讓學生在自我解決問題的過程中，體驗成功的喜悅.

教師Z

知識與技能

(1)結(jié)合方程根的幾何意義，理解函數(shù)零點的定義；

(2)結(jié)合零點定義的探究，掌握方程的實根與其相應函數(shù)零點之間的等價關系；

(3)結(jié)合幾類基本初等函數(shù)的圖像特征，掌握判斷函數(shù)的零點個數(shù)和所在區(qū)間的方法.

過程與方法

(1)通過化歸與轉(zhuǎn)化思想的引導，培養(yǎng)學生從已有認知結(jié)構(gòu)出發(fā)，尋求解決棘手問題方法的習慣；

(2)通過數(shù)形結(jié)合思想的滲透，培養(yǎng)學生主動應用數(shù)學思想的意識；

(3)通過習題與探究知識的相關性設置，引導學生深入探究得出判斷函數(shù)的零點個數(shù)和所在區(qū)間的方法；

(4)通過對函數(shù)與方程思想的不斷剖析，促進學生對知識靈活應用的能力.

情感、態(tài)度與價值觀

(1)讓學生體驗化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程這三大數(shù)學思想在解決數(shù)學問題時的意義與價值；

(2)培養(yǎng)學生鍥而不舍的探索精神和嚴密思考的良好學習習慣；

(3)使學生感受學習、探索并發(fā)現(xiàn)的樂趣與成功感.

2位老師給出的課堂教學目標，雖然在形式上有些差異，但問題是共同的：目標分類混亂、不準確，條目繁瑣(教師Z給出了10條目標)，表達不確切，空話、套話連篇，對課堂教學活動的定向功能太弱，等等.

筆者認為，出現(xiàn)這些偏差的主要原因是大家對數(shù)學教學目標不重視，沒有投入必要的時間和精力進行深入思考，許多教師因為不知該如何區(qū)分“三個維度”，只能從參考資料中“抄目標”，再加上某些部門缺乏認真研究，盲目提出強制執(zhí)行的不正確“規(guī)定”，在教學實踐中出現(xiàn)“教學目標混亂”是必然的.由此導致的結(jié)果是，課堂教學失去基準和方向，沒有一以貫之的思想主線統(tǒng)領課堂，教師的教學行為隨意性很大，課堂中“無效勞動”很多，學生負擔沉重學習效果不佳.因此，為了提高數(shù)學課堂教學的質(zhì)量和效益，必須對數(shù)學教學目標進行澄清認識，提高制定數(shù)學教學目標的水平.

1 數(shù)學教學目標的層次性

數(shù)學教學是為了達到一定的目標而進行的.因此，在具體實施課堂教學之前，清楚地知道目標是非常重要的.在數(shù)學教育、教學實踐中，我們經(jīng)常可以看到“教育目的”、“教育目標”、“培養(yǎng)目標”、“課程目標”、“教學目的”、“教學目標”雜亂使用的現(xiàn)象.但這些概念實際上是既有聯(lián)系又有區(qū)別的.

一般而言，我們可以按“教育目的—課程目標—教學目標”的層次來區(qū)分這些術語.

1.1 教育目的

“目的”一詞常與目標、結(jié)果、意圖等術語混用，但它們的含義是有區(qū)別的.“目的”是總的表述，它為指向某種未來結(jié)果的具體行動提供了框架和方向.因此，教育目的是培養(yǎng)人的總目標，其核心是對培養(yǎng)什么樣的人作出規(guī)定，即把學生培養(yǎng)成怎樣的社會角色.教育目的具有歷史性，這是時代發(fā)展對人才不同需求的反映.同時，它還具有一般性、概括性和抽象性，是對學生在德、智、體、美等諸方面發(fā)展的總體規(guī)格要求.

按照《教育法》的規(guī)定，我國現(xiàn)階段的教育目的是：“培養(yǎng)德、智、體等方面全面發(fā)展的社會主義事業(yè)的建設者和接班人”.它反映了我國當代社會對受教育者的要求，是學校教育工作的總體目標.因此，整個基礎教育階段的各門學科都應以此為出發(fā)點和最終目標.確定中學數(shù)學課程目標和數(shù)學教學目標也應以此為根據(jù).

1.2 數(shù)學課程目標

通俗地講，數(shù)學課程目標就是我們想讓學生通過數(shù)學學習而到達的那個“目的地”.它指出了學生達成目標時的數(shù)學水平、思維能力、行為習慣等特征，但并不具體指明特定的學習.例如，在教育目標中，“德育”被規(guī)定為要使學生具有公民意識，樹立自由平等、民主法治、公平正義等理念，落實在數(shù)學課程目標中，就是要使學生能熟練地運用批判性思維，養(yǎng)成理性精神；又如，“智育”被規(guī)定為要使學生在掌握文化知識的同時，提高學習能力、實踐能力、創(chuàng)新能力，能做到學以致用，為主動適應社會做好準備等，落實在數(shù)學課程目標中，就是要使學生在獲得數(shù)學基礎知識、基本技能的同時，提高思維(特別是邏輯思維)能力，培養(yǎng)數(shù)學地提出、分析和解決問題的能力，提高數(shù)學表達和交流的能力，發(fā)展獨立獲取數(shù)學知識的能力等.

與“目的”不同，通過分析數(shù)學課程目標，可以確定學校數(shù)學教育的范圍.“目標”是一種特定的書面陳述，具有定向功能，它為數(shù)學課程和教學提供了關于所要完成任務的明確陳述.在我國現(xiàn)行高中數(shù)學課程標準中，課程目標以“總目標+具體目標”的方式呈現(xiàn)，并指出“本標準的目標要求包括三個方面：知識與技能，過程與方法，情感、態(tài)度與價值觀”.因此，“三維目標”實際上是中學數(shù)學課程目標的整體設計思路，是任何數(shù)學學習過程中都要涉及的3個心理維度，但不是教學目標的維度.

1.3 數(shù)學教學目標

數(shù)學課程目標為數(shù)學教學規(guī)定了明確的方向，但它是宏觀方向，屬于觀念層次，它們在代數(shù)、幾何、統(tǒng)計與概率等課程的教學中都要得到反映.當課程目標具體化到特定的數(shù)學內(nèi)容時，就是教學目標.

需要特別注意的是，教學目標也有層次性.高中數(shù)學教學目標可以分為：分科(代數(shù)、立體幾何、解析幾何、統(tǒng)計與概率等)教學目標、章節(jié)教學目標和課時教學目標等.這種層次性表明了將數(shù)學課程目標逐步轉(zhuǎn)化為具體教學目標的過程.在這個過程中，我們先從一般的觀念層次入手，制定一個數(shù)學教育的總體框架，再轉(zhuǎn)向較為具體的、以內(nèi)容為載體的短期結(jié)果的描述.通過這樣的轉(zhuǎn)化，使目標落實在具體內(nèi)容的教學中，從宏觀到中觀再走向微觀，使抽象觀念變?yōu)榫唧w可操作的行為.

2 數(shù)學教育的“目標系統(tǒng)”

綜上所述，我們把“教育目的”作為中小學數(shù)學教學的總體指導思想，中學數(shù)學教育的“目標體系”可以表示為一個從抽象到具體的連續(xù)體.這個連續(xù)體包括如下幾個層次的目標.

2.1 數(shù)學課程目標

這是宏觀目標，是需要付出大量的時間和精力、經(jīng)過長期努力才能實現(xiàn)的學習結(jié)果，它包含著多方面的、更為具體的目標.例如，“提高空間想象、抽象概括、推理論證、運算求解、數(shù)據(jù)處理等基本能力”，“提高數(shù)學地提出、分析和解決問題(包括簡單的實際問題)的能力，數(shù)學表達和交流的能力，發(fā)展獨立獲取數(shù)學知識的能力”，“發(fā)展數(shù)學應用意識和創(chuàng)新意識”，“提高學習數(shù)學的興趣，樹立學好數(shù)學的信心，形成鍥而不舍的鉆研精神和科學態(tài)度”，“認識數(shù)學的科學價值、應用價值和文化價值，形成批判性的思維習慣，崇尚數(shù)學的理性精神，體會數(shù)學的美學意義”等，都是課程目標的例子.

2.2 單元教學目標

單元教學目標屬中觀目標，用于計劃需要一定時間(幾周或幾個月)學習的教學內(nèi)容，是課程目標的具體化.例如，“通過學習基本初等函數(shù)，感受運用函數(shù)概念建立模型的過程和方法，體會函數(shù)在數(shù)學和其他學科中的重要性，能運用函數(shù)思想和方法解決數(shù)學和現(xiàn)實生活中的簡單問題”就是一個單元目標.它包括了概括性的論題(如函數(shù)模型、函數(shù)思想和方法等)、涵蓋了多個具體學習任務(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和三角函數(shù)等)和模糊的認知過程(如感受、體會、解決)，是“提高數(shù)學地提出、分析和解決問題(包括簡單的實際問題)的能力”，“發(fā)展數(shù)學應用意識”，“認識數(shù)學的科學價值、應用價值”等的具體化.

單元大小要視內(nèi)容而定，單元之間可以有一定的包含關系.通常，一個大單元需要分解為幾個小單元.例如，在“解析幾何”這一大單元下，可以分解為“直線與方程”、“圓與方程”、“圓錐曲線與方程”等小單元.每一個小單元的教學目標都要給出特定的學生行為和該行為所針對的內(nèi)容主題，但這些目標又是大單元的教學目標的具體化.例如，上述“解析幾何”的小單元的教學都要體現(xiàn)“理解‘坐標法’和數(shù)形結(jié)合的思想，形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力，培養(yǎng)運動變化、對立統(tǒng)一、相互轉(zhuǎn)化等辯證唯物主義觀點”這一解析幾何的教學目標.

2.3 數(shù)學課堂教學目標

這一層次的目標是目標系統(tǒng)中最具體的，是微觀目標.它專注于具體內(nèi)容的學習，只處理細節(jié)問題，在計劃日常教學中發(fā)揮作用.因此，數(shù)學課堂教學目標要強調(diào)“具體化”、“可操作”、“可檢測”，經(jīng)過課堂教學能看得見學生的變化.

3 如何制定課堂教學目標——以“曲線與方程”為例

根據(jù)上述數(shù)學教學目標的層次觀，數(shù)學課堂教學目標要強調(diào)具體性、可操作性，而且是可檢測的.不過，這樣的要求可能會導致教學目標的立意不高，缺乏必要的思想性.因此，制定課堂教學目標時，應在數(shù)學課程目標的指導下，綜合考慮單元教學目標、當前教學內(nèi)容的特點和學生的具體情況.課堂教學目標應以數(shù)學知識和技能為載體，在教學過程中開展數(shù)學思想方法的教學，促使學生的數(shù)學思維能力、理性精神得到潛移默化的發(fā)展.只有在了解學生的認知準備狀況，正確理解教學內(nèi)容、深入挖掘數(shù)學知識蘊含的價值觀資源的基礎上，才能制定出恰當?shù)恼n堂教學目標.下面以“曲線與方程”為例，說明如何制定課堂教學目標.

3.1 課程目標

數(shù)量關系與空間圖形是數(shù)學的2大研究對象.解析幾何是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)，它所體現(xiàn)的數(shù)形結(jié)合思想，使代數(shù)與幾何水乳交融、相輔相成、相得益彰，不但促進了兩者的極大進展，而且使微積分的創(chuàng)立變得水到渠成.解析幾何的學習，核心是要學會用“坐標法”解決問題，并在學習過程中體會數(shù)形結(jié)合思想.因此，解析幾何的課程目標是：

(1)在平面直角坐標系中建立直線、圓和圓錐曲線的代數(shù)方程，運用代數(shù)方法研究它們的幾何性質(zhì)及其相互位置關系；

(2)體會數(shù)形結(jié)合的思想；

(3)初步形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力.

3.2 單元目標

本單元是在必修階段學習平面解析幾何初步的基礎上，學習圓錐曲線與方程，了解圓錐曲線與二次方程的關系，掌握圓錐曲線的基本幾何性質(zhì)，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用；了解曲線與方程的對應關系，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.具體目標是：

(1)圓錐曲線.

①了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用;

②經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓、拋物線模型的過程，掌握它們的定義、標準方程、幾何圖形及簡單性質(zhì);

③了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道雙曲線的有關性質(zhì);

④能用坐標法解決一些與圓錐曲線有關的簡單幾何問題(直線與圓錐曲線的位置關系)和實際問題;

⑤通過圓錐曲線的學習，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.

(2)曲線與方程.

結(jié)合已學過的曲線及其方程的實例，了解曲線與方程的對應關系，進一步感受數(shù)形結(jié)合的基本思想.

3.3 課堂教學目標

(1)教學內(nèi)容分析.

由上述課程目標和單元目標可知，學生通過解析幾何的學習，不僅要掌握直線、圓、圓錐曲線等曲線的方程，能應用它們解題，而且要在一般意義上理解曲線與方程的關系，即“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念，體驗“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化與結(jié)合，認識解析幾何的基本思想方法.為此，教材在“圓錐曲線與方程”之前安排“曲線與方程”一節(jié).本節(jié)具有承上啟下的作用，在已有“直線的方程”、“圓的方程”的基礎上，從特殊到一般，引出一般意義上曲線與方程的關系，介紹“求曲線的方程”的通法，為學習圓錐曲線等儲備理論基礎.

解析幾何的核心思想是“坐標法”.在直角坐標平面上，點用坐標(x，y)表示；曲線是滿足一定幾何條件的點的集合，用曲線上點的坐標(x，y)所滿足的二元方程F(x，y)=0表示；用代數(shù)方法研究F(x，y)=0的性質(zhì)，再將代數(shù)結(jié)果翻譯為幾何語言而得出曲線的性質(zhì).因此，曲線與方程之間必須具有等價關系，這樣才能保證通過研究方程得到的性質(zhì)一定是曲線的性質(zhì).這里，我們面臨2個數(shù)學對象：曲線C和方程F(x，y)=0.如果曲線上點的坐標都是方程F(x，y)=0的解(完備性)，以方程的解為坐標的點都在曲線上(純粹性)，那么就稱F(x，y)=0為曲線C的方程，稱C為方程F(x，y)=0的曲線.

“曲線的方程”、“方程的曲線”是公認的教學難點，這是數(shù)學演繹體系的直接反映.此前，學生尚未接觸過類似概念，他們對為什么有這個概念、為什么要這樣定義、定義的合理性等都可能心存疑惑.為了化解這種疑問，教材采用了“歸納—演繹”的模式，即借助學生對直線與直線的方程、圓和圓的方程概念的已有認識，引導學生對兩者之間的關系進行辨析、概括，通過從特殊到一般的推廣，歸納得出“曲線的方程”和“方程的曲線”的概念；再借助正例、反例，從正、反2個方面加深對概念的理解.

順便提及，“歸納—演繹”的模式是揭示概念本質(zhì)的有效方法，是概念教學的“基本套路”：從學生熟悉的典型事例中，概括得到新概念的本質(zhì)特征，再通過推廣而歸納出具有一般性的概念定義，然后通過正例、反例辨析概念，并通過簡單應用加深對概念的理解，并建立用概念進行判斷的基本“操作步驟”.這樣做，不僅符合學生的認知規(guī)律，而且反映了數(shù)學概念的發(fā)生發(fā)展過程，是水到渠成的.這里，在得到新概念的同時，還將“直線的方程”、“圓的方程”納入到“曲線的方程”這個一般概念之中.

(2)“曲線與方程”的教學目標(2課時).

基于上述認識，將單元目標“結(jié)合已學過的曲線及其方程的實例，了解曲線與方程的對應關系，進一步感受數(shù)形結(jié)合的基本思想”具體化為：

①學生能借助曲線及其方程的具體實例(包括正例和反例)，解釋“曲線的方程”和“方程的曲線”的含義；

②學生能根據(jù)簡單曲線的幾何特征求曲線的方程，并能說明其中的基本步驟；

③在求簡單曲線的方程的過程中，體會坐標法的基本思想.

3．4 制定課堂教學目標的幾點注意

課程目標、單元目標是由課標給定的.為了有效地實施課堂教學，教師必須將它們具體化，自己制定出一系列更具體的課堂教學目標.制定時需要注意以下幾個問題：

(1)目標指向?qū)W生的變化.

教學目標是學生要到達的“目的地”，不是教師的教學程序或活動安排，因此必須指向?qū)W生的學習結(jié)果——通過教學，學生要達到的雙基、能力和態(tài)度的變化.由于“使學生掌握求曲線的方程的基本步驟”、“培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合思想”等表述，指向了教師計劃做的事情，因此是不正確的.

(2)與教師教的任務和學生學的任務相區(qū)別.

教師教的任務、學生學的任務是達成教學目標的載體，不是教學目標本身.任務的完成并不一定意味著目標的達成.例如，“教給學生求曲線的方程的一般步驟”、“讓學生學習曲線的方程和方程的曲線的概念”等，都只給出了“任務”而不是要達到的“目標”.

(3)與內(nèi)容緊密結(jié)合，避免抽象、空洞.

從屬于數(shù)學能力、理性精神的教學目標，往往要通過不同內(nèi)容的學習，經(jīng)歷較長時間才能實現(xiàn).這樣的教學目標，在表述時容易脫離內(nèi)容，失之于千人一面、抽象空洞.例如，“培養(yǎng)抽象概括能力”、“培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想”、“養(yǎng)成辯證唯物主義觀點”等.在制定課堂教學目標時，一定要注意根據(jù)內(nèi)容特點，反映出當前內(nèi)容在促進學生數(shù)學能力和理性精神的某個角度或?qū)哟蔚哪繕艘?

(4)目標表述要明確.

表述教學目標，就是要指明學生通過學習而產(chǎn)生的變化，以便設計一定的教學活動來達到目標.明確表述的目標為教學指明了方向.

一個目標包括一個動詞和一個名詞.動詞一般描述了預期的學習過程，而名詞則給出了預期學生掌握的知識.必須注意，一個目標不能含有不同層次結(jié)果.例如，“理解、記憶曲線的方程的概念，并能靈活應用這一概念求曲線的方程”，其中“記憶”、“理解”和“靈活應用”是不同層次的結(jié)果.這樣的目標應進一步分解，使一個目標只包含一個結(jié)果.

以上我們討論了數(shù)學教學目標的層次性，以“曲線與方程”概念為例，介紹了制定課堂教學目標的一般過程，并提出了需要注意的幾個問題.當前，教學目標的制定中存在的最大問題是混淆課程目標和課堂教學目標的關系，缺乏單元目標的中間過渡，課堂教學目標不具體、難落實.這些問題需要多方人士的共同努力才能得到解決.制定課堂教學目標是一項專業(yè)性很強的工作，是教師專業(yè)化發(fā)展的重要抓手.本文的討論是初步的，期待能拋磚引玉，特別希望一線教師的出色工作.