●

(紹興市第一中學(xué) 浙江紹興 312000)

一道平面幾何競(jìng)賽題的多解性討論

●凌曉鋒

(紹興市第一中學(xué) 浙江紹興 312000)

一道優(yōu)秀的平面幾何題往往可以從不同的知識(shí)層面去考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析并解決問(wèn)題的能力,2011年浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽第21題(附加題)便是這樣一道具有多解性的好題.本文將用平面幾何方法、三角參量法、解析法以及面積法等4種不同的方法對(duì)其多解性展開(kāi)討論,以饗讀者.

(2011年浙江省數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

1 標(biāo)準(zhǔn)答案再現(xiàn)

作△ABC的外接圓O,然后作OE⊥AB于點(diǎn)E,OF⊥AC于點(diǎn)F,OM⊥BC于點(diǎn)M,則四邊形AEOF即為區(qū)域G.因?yàn)?/p>

2S四邊形AEOF=2S△AOE+2S△AOF=S△AOB+S△AOC，

所以

作AD⊥BC于點(diǎn)D,則

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A，O，M共線時(shí)等號(hào)成立,即△ABC為等邊三角形.

點(diǎn)評(píng)上述方法根據(jù)已知條件等價(jià)轉(zhuǎn)換成面積關(guān)系,然后利用三點(diǎn)共線使面積取到最值,從而證明了結(jié)論.證明過(guò)程簡(jiǎn)潔明了,一氣呵成,但是筆者在閱卷過(guò)程中鮮有發(fā)現(xiàn)學(xué)生用此類方法證明.下面筆者給出其他3種不同的證明方法.

2 三角參量法

從而

S四邊形ADOE=S△AOE+S△AOD=

又因?yàn)?/p>

所以

(1)

(2)

即

從而

化簡(jiǎn)得

cos2θ=1.

因?yàn)?/p>

所以

2θ=0，

即

θ=0,

從而

即

AC=2b=2c=AB,

從而

故△ABC為等邊三角形.

點(diǎn)評(píng)以上證法通過(guò)設(shè)參數(shù)角θ,利用已知條件的面積關(guān)系,列出三角函數(shù)方程.經(jīng)過(guò)一系列三角恒等變換確定參數(shù)角θ的值,最后轉(zhuǎn)而求得邊長(zhǎng)的關(guān)系,從而使命題得證.求解平面幾何的問(wèn)題,常引入線段、角度、面積、比值等作為參量.在引入角度參量后，往往運(yùn)用三角知識(shí),進(jìn)行三角運(yùn)算以及運(yùn)用正弦、余弦定理等來(lái)溝通幾何與三角的關(guān)系，這種求解平面幾何問(wèn)題的方法稱為三角參量法.

圖1

3 解析法

因?yàn)镺E為AB的中垂線,所以

OE的解析式為

又因?yàn)镈為AC的中點(diǎn),所以O(shè)D的解析式為

因?yàn)?/p>

(3)

(4)

由式(3),式(4)得

化簡(jiǎn)得

b2-4bc+c2=-2bc,

即

(b-c)2=0,

從而

b=c,

即

AC=2b=2c=AB,

故

因此△ABC為等邊三角形.

點(diǎn)評(píng)利用建立平面直角坐標(biāo)系,通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想,求出各點(diǎn)的坐標(biāo),利用已知性質(zhì)求得結(jié)果,這種方法思維過(guò)程較為直接,在這里有較高的使用價(jià)值.利用解析法的關(guān)鍵是,選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，同時(shí)還要靈活利用幾何圖形的性質(zhì)及代數(shù)、三角知識(shí)的綜合運(yùn)用.

4 面積法

即

從而

S△AOB+S△AOC=2S△BOC,

即

化簡(jiǎn)得 sin∠AOB+sin∠AOC=2sin∠BOC,

即

(5)

又

從而

代入式(5)得

從而

得

∠AOB-∠AOC=0,

即

故

因此△ABC為等邊三角形.

點(diǎn)評(píng)在求解平面幾何問(wèn)題的時(shí)候,根據(jù)幾何量與有關(guān)圖形面積之間的內(nèi)在聯(lián)系,用面積表示有關(guān)幾何量,從而把要論證的幾何量之間的關(guān)系化為有關(guān)面積之間的數(shù)量關(guān)系,特別是利用面積公式,得到三角函數(shù)方程,通過(guò)三角恒等變換求解問(wèn)題,使得幾何證明的過(guò)程機(jī)械化,這一思想頗為重要.

通過(guò)以上討論,筆者認(rèn)為雖然平面幾何這塊內(nèi)容學(xué)生主要是在初中階段打下的基礎(chǔ),但是作為高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的一塊重要內(nèi)容,在平時(shí)教學(xué)過(guò)程中教師可以結(jié)合高中的三角函數(shù)、解析幾何、平面向量等知識(shí)的運(yùn)用，去引導(dǎo)學(xué)生拓展思路,一題多解,從而使平面幾何問(wèn)題的優(yōu)美性和精巧性得以充分地展現(xiàn).

[1] 沈文選.平面幾何證明方法全書(shū)[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2005：76-84.

關(guān)于征訂《中學(xué)教研》(數(shù)學(xué))高考復(fù)習(xí)專輯啟事

各位老師、高三同學(xué)：

為滿足廣大高三師生高考復(fù)習(xí)備考的需求，本刊特在第2期推出高考復(fù)習(xí)專輯(2012年2月5日前出版)。本專輯以數(shù)學(xué)思想和方法作為數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)主線，主要包括函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類、化歸等重要的思想方法，結(jié)合考點(diǎn)分析命題走向，設(shè)有典型例題解讀、精題集萃、模擬試題等板塊。

本專輯由浙江省教研室高中數(shù)學(xué)教研員、中學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師張金良老師組稿，并邀請(qǐng)了特級(jí)教師馬茂年、蔣榮清、鄭日鋒、賴忠華等一批具有豐富高考經(jīng)驗(yàn)的知名專家撰稿，并配有鎮(zhèn)海中學(xué)等知名學(xué)校編制的模擬試卷，具有極強(qiáng)的權(quán)威性、針對(duì)性和實(shí)用性，是廣大考生不可或缺的備考復(fù)習(xí)資料。

數(shù)學(xué)高考專輯(第2期)(單價(jià):4元/本)冊(cè)數(shù):訂書(shū)單位: 郵編:詳細(xì)地址:聯(lián)系人: 電話:總款數(shù):

聯(lián)系電話：0579-82298829 E-mail: zxjysx@zjnu.cn