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        一道自主招生試題的解法探究

        2012-11-06 08:48:34
        關(guān)鍵詞:特征探究數(shù)學(xué)

        (盱眙中學(xué) 江蘇淮安 211700)

        一道自主招生試題的解法探究

        ●周志國

        (盱眙中學(xué) 江蘇淮安 211700)

        題目已知數(shù)列{an},{bn}滿足an+1=-an-2bn,且bn+1=6an+6bn,又a1=2,b1=4,試求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式.

        (2004年復(fù)旦大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題)

        這是一道魅力無窮的自主招生試題!下面筆者給出它的奇妙多解.

        1 眾里挑一,各個(gè)擊破.

        當(dāng)2個(gè)不同的數(shù)列雜糅在一起時(shí),關(guān)系不明確,很難認(rèn)清.筆者嘗試?yán)媒夥匠痰乃枷?,尋求某一個(gè)數(shù)列的遞推關(guān)系,顯現(xiàn)出數(shù)列各自的特征,便于深入認(rèn)識(shí)數(shù)列.基于此,筆者給出了如下幾種解法.

        方法1特征根法.

        解由條件an+1=-an-2bn,得

        從而

        將bn+1,bn代入bn+1=6an+6bn,得

        整理得

        an+2=5an+1-6an,

        其特征根方程為

        x2-5x+6=0,

        解得

        x1=2,x2=3,

        從而可設(shè)

        an=c12n-1+c23n-1.

        由a1=2,a2=-10得

        an=2n+3-14·3n-1,

        點(diǎn)評(píng)方法1的關(guān)鍵是消元,要求學(xué)生從方程角度認(rèn)識(shí)等式,轉(zhuǎn)化成某一數(shù)列連續(xù)3項(xiàng)的遞推關(guān)系,并熟悉用特征根法求通項(xiàng)的方法.

        方法2待定系數(shù)法.

        解由方法1知

        an+2=5an+1-6an,

        令an+2-λan+1=μ(an+1-λan),則

        或an+2-3an+1=2(an+1-3an),

        an+1-2an=-14·3n-1,

        (1)

        an+1-3an=-2n+3,

        (2)

        由式(1),式(2)得

        an=2n+3-14·3n-1,bn=28·3n-1-3·2n+2.

        點(diǎn)評(píng)將an+2=5an+1-6an轉(zhuǎn)化成熟悉的2項(xiàng)間的遞推是本問題的關(guān)鍵,嘗試通過化歸,抓住整體特征,待定系數(shù),轉(zhuǎn)化成熟悉的2項(xiàng)間的遞推,再通過解方程組,求出數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式.

        方法3化歸為特殊數(shù)列.

        解由方法2知

        an+1-2an=-14·3n-1,

        從而

        an=2n+3-14·3n-1,bn=28·3n-1-3·2n+2.

        2 順?biāo)浦郏瑢訉由钊?

        已知多個(gè)數(shù)列雜糅的遞推關(guān)系式,求數(shù)列通項(xiàng)公式,解決這類問題的關(guān)鍵是能否準(zhǔn)確把握遞推關(guān)系式的結(jié)構(gòu),注意關(guān)系式的整體結(jié)構(gòu),構(gòu)造新數(shù)列,層層深入,突破難點(diǎn),求出通項(xiàng)公式.

        方法4構(gòu)造新數(shù)列.

        解令an+1+λbn+1=μ(an+λbn),

        (3)

        an+1+λbn+1= (-an-2bn)+λ(6an+6bn)=

        (6λ-1)an+(6λ-2)bn,

        (4)

        比較式(3),式(4)得

        從而

        2an+1+bn+1=2(2an+bn),

        或 3an+1+2bn+1=3(3an+2bn).

        利用等比數(shù)列的定義可得

        方法5利用矩陣變換.

        解由題意得

        故特征值λ1=2,λ2=3,對(duì)應(yīng)的特征向量分別為

        設(shè)β=mα1+nα2,m,n∈R,可得m=8,n=-14,

        β=8α1-14α2,

        于是

        an=2n+3-14·3n-1,bn=28·3n-1-3·2n+2.

        該題初看難以入手,仔細(xì)研究就會(huì)發(fā)現(xiàn),試題內(nèi)涵深厚,縱橫聯(lián)系.該題的5種方法,以數(shù)學(xué)思想方法引領(lǐng),從不同的角度切入,應(yīng)用不同的數(shù)學(xué)知識(shí),顯現(xiàn)出不同的精彩,給人以美的享受.最后以著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞的一句話與大家共勉:沒有一道題可以解決得十全十美,總存在值得我們探究的地方.

        [1] 楊蒼洲.解題,從結(jié)構(gòu)聯(lián)想開始[J].?dāng)?shù)學(xué)通訊,2011(4):14-16.

        [2] 吳旭紅.高中數(shù)學(xué)選修內(nèi)容運(yùn)用例析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2009(11):40-42.

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