許冬保

(九江市第一中學(xué) 江西 九江 332000)

兩質(zhì)點(diǎn)孤立系統(tǒng)由于相互作用而運(yùn)動(dòng)的問題，是一類非常重要的問題．在研究其運(yùn)動(dòng)時(shí)，簡(jiǎn)化的處理方法是分解為質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)和質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)．可以從動(dòng)力學(xué)的視角進(jìn)行分析，本文試從能量的視角進(jìn)行分析．

1 兩質(zhì)點(diǎn)孤立系統(tǒng)的能量分析

1.1 質(zhì)心系中的能量

假設(shè)兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量分別為m1，m2，在質(zhì)心系中，相對(duì)質(zhì)心C的位置矢量為r1，r2，則對(duì)兩質(zhì)點(diǎn)孤立系統(tǒng)，其能量的一般形式為 (用黑體字母表示矢量，下同)

(1)

式中U(|r1-r2|)為勢(shì)能，僅依賴于它們之間的距離，即徑矢差(r1-r2)的大小．

引入兩質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位矢

r=r1-r2

如圖1所示，將坐標(biāo)原點(diǎn)O置于質(zhì)心C處，有

m1r1+m2r2=0

圖1 坐標(biāo)原點(diǎn)位于質(zhì)心

解得

(2)

于是式(1)可表述為

(3)

其中

(4)

1.2 柯尼希定理

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能等于質(zhì)心動(dòng)能和質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心系的動(dòng)能之和，此結(jié)論稱為柯尼希定理．比較式(1)、(3)可知：兩質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心的總動(dòng)能等于兩質(zhì)點(diǎn)相對(duì)動(dòng)能．因此，對(duì)于由兩質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系，在非質(zhì)心系中的總動(dòng)能，等于質(zhì)心動(dòng)能與兩質(zhì)點(diǎn)相對(duì)動(dòng)能之和．

2 兩質(zhì)點(diǎn)孤立系統(tǒng)的功能關(guān)系

2.1 內(nèi)力的功

內(nèi)力的功是指一對(duì)作用力與反作用力做功的代數(shù)和．

如圖2所示，假設(shè)質(zhì)點(diǎn)m2施于質(zhì)點(diǎn)m1的作用力記為F12，質(zhì)點(diǎn)m1施于質(zhì)點(diǎn)m2的作用力記為F21，這兩個(gè)力大小相等而方向相反．對(duì)質(zhì)點(diǎn)m1，內(nèi)力的功為

對(duì)質(zhì)點(diǎn)m2，內(nèi)力的功為

圖2 兩質(zhì)點(diǎn)位置及受力分析

這一對(duì)內(nèi)力的總功為

由牛頓第三定律，F(xiàn)21=-F12，而dr1-dr2=dr，其中r是從質(zhì)點(diǎn)m2指向質(zhì)點(diǎn)m1的位置矢量，即相對(duì)位置矢量，于是內(nèi)力功為

(5)

式中dr為m1相對(duì)于m2的位移，與參考系無關(guān)．因此，不論是慣性系還是非慣性系，計(jì)算結(jié)果均相同．即使是轉(zhuǎn)動(dòng)參考系，可以證明結(jié)論也同樣成立[2].

2.2 功能關(guān)系

對(duì)圖2中的質(zhì)點(diǎn)m1、質(zhì)點(diǎn)m2，分別列出其動(dòng)力學(xué)方程

(6)

結(jié)合(6)式，有

由式(4)，上述方程寫成

上式兩邊點(diǎn)乘相對(duì)位移dr，則有

即

以v1，v2表示做功前后的相對(duì)速度，對(duì)上式積分，得內(nèi)力功

(7)

由于一對(duì)內(nèi)力所做的功，與參考系無關(guān)．因此，從任何一個(gè)參考系去計(jì)算一對(duì)內(nèi)力做的功，不論內(nèi)力是保守力或是非保守力，其結(jié)果都可表示成相對(duì)動(dòng)能的增量．

式(7)反映了內(nèi)力功與相對(duì)動(dòng)能變化的關(guān)系．當(dāng)然也可以從相對(duì)動(dòng)能變化的視角來審視內(nèi)力功．根據(jù)柯尼希定理，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能等于質(zhì)心動(dòng)能和質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)能之和，由于在慣性系中，孤立系統(tǒng)質(zhì)心動(dòng)能不變．因此，對(duì)兩質(zhì)點(diǎn)孤立系統(tǒng)，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量等于質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)能增量，也等于相對(duì)動(dòng)能的增量．由此也可以得到結(jié)論：一對(duì)內(nèi)力所做的功與參考系無關(guān)．

3 另類恢復(fù)系數(shù)的定義

3.1 碰撞實(shí)驗(yàn)定律

(8)

e稱為恢復(fù)系數(shù)，可以用實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)定，恢復(fù)系數(shù)可用來描述碰撞的性質(zhì)[3]．

由式(8)可知：恢復(fù)系數(shù)的二次方等于碰撞后相對(duì)動(dòng)能與碰撞前相對(duì)動(dòng)能的比值．

3.2 非完全彈性碰撞中損失的機(jī)械能

3.2.1 常規(guī)分析方法

圖3 兩小球正碰

聯(lián)立式(8)解得

碰撞前后損失的機(jī)械能為

解得

(9)

3.2.2 另類分析方法

碰撞過程中機(jī)械能的損失ΔE，源于內(nèi)力做功的結(jié)果，即ΔE=-W內(nèi)．

由功能關(guān)系式(7)，有

聯(lián)立式(8)解得

3.3 另類恢復(fù)系數(shù)的定義

牛頓通過大量實(shí)驗(yàn)事實(shí)，給出了恢復(fù)系數(shù)的定義．由式(9)可知，非完全彈性碰撞中損失的機(jī)械能與e2有關(guān)，而e2對(duì)應(yīng)碰撞后、碰撞前相對(duì)動(dòng)能的比值．

查閱史料，牛頓完成《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》第三版的時(shí)間為1726年，而“動(dòng)能”概念的提出是在1831年，由法國(guó)學(xué)者科里奧利在“活力”mv2的基礎(chǔ)上正式提出的[4]．也就是說，在牛頓那個(gè)年代還沒有動(dòng)能的概念．如果有的話，也許牛頓對(duì)恢復(fù)系數(shù)的定義不是現(xiàn)在這個(gè)形式．因此，作者認(rèn)為，恢復(fù)系數(shù)用相對(duì)動(dòng)能的比值來定義，也許更符合碰撞的本質(zhì)．可否這樣定義恢復(fù)系數(shù)

4 應(yīng)用舉例

【例1】在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)觀察到相距很遠(yuǎn)的一個(gè)質(zhì)子(質(zhì)量為mp)和一個(gè)氦核(質(zhì)量M=4mp)相向運(yùn)動(dòng)，速率都是v0．已知靜電力常量為k，元電荷的電荷量為e．求二者能達(dá)到的最近距離(忽略質(zhì)子和氦核間的引力勢(shì)能)[5].

解析：設(shè)質(zhì)子和氮核之間的最近距離為rmin，靜電力是保守力，其所做的功等于系統(tǒng)電勢(shì)能的減少．

以氦核為參考系，由功能關(guān)系式(7)，有

約化質(zhì)量

解得

點(diǎn)評(píng)：本題亦可在實(shí)驗(yàn)室參考系或質(zhì)心參考系中求解．

【例2】(2006年清華大學(xué)自主招生試題)如圖4所示，質(zhì)量分別為m1和m2的木塊用勁度系數(shù)為κ的輕彈簧連接起來，用兩根繩子拉緊兩木塊，使彈簧壓縮，某時(shí)刻將繩子燒斷，試求兩木塊的振動(dòng)周期．(不計(jì)摩擦)

圖4 兩木塊與彈簧系統(tǒng)

解析：系統(tǒng)在豎直方向所受合外力為零，系統(tǒng)可視為孤立系統(tǒng)．無論取m1或m2為參考系，另一木塊均作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，且周期相等．用A表示相對(duì)振幅，v表示相對(duì)速度，x表示相對(duì)位移．振動(dòng)系統(tǒng)中彈簧彈性力做功用彈性勢(shì)能表示，能量守恒方程為

與水平彈簧振子相比較，不難得到該振動(dòng)系統(tǒng)的周期為

【例3】(2011年“華約”自主招生試題)如圖5所示，質(zhì)量分別為m和3m的物塊A，B用一根輕彈簧相連，置于光滑水平面上，物塊A剛好與墻接觸．現(xiàn)用外力緩慢向左推物塊B使彈簧壓縮，然后撤去外力，此過程中外力做功為W．求：

(1)從撤去外力到物塊A離開墻壁的過程中，墻壁對(duì)物塊A的沖量；

(2)在物塊A離開墻壁后的運(yùn)動(dòng)過程中，物塊A,B速度的最小值．

圖5 兩物塊與彈簧系統(tǒng)

解析：(1)外力緩慢壓縮彈簧的過程中，外力做的功全部轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能．撤去外力后的一段時(shí)間內(nèi)，物塊A被擠壓在墻角處而靜止不動(dòng)，物塊B則在彈簧彈力的作用下向右做加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，設(shè)物塊B的速度為v．由動(dòng)能定理，有

從撤去外力到物塊A離開墻壁的過程中，系統(tǒng)動(dòng)量的改變?cè)从趬Ρ趯?duì)物塊A的沖量，由動(dòng)量定理，有

(2)物塊A離開墻壁之后，物塊A，B通過彈簧相互作用．設(shè)某一時(shí)刻，物塊A，B的速度分別為vA,vB，取物塊B初始速度v的方向?yàn)槭噶康恼较?，由?dòng)量守恒定律，有

3mv=mvA+3mvB

物塊A,B通過彈簧相互作用的過程比較復(fù)雜，分析如下：

此后，彈簧又被壓縮，物塊A減速，物塊B加速，由于系統(tǒng)機(jī)械能守恒，一段時(shí)間后，當(dāng)彈簧第三次恢復(fù)到原長(zhǎng)時(shí)，物塊A的速度再次減至零，物塊B的速度又達(dá)到v，與物塊A剛離開墻壁時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相同．由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律可知，系統(tǒng)水平方向無外力，質(zhì)心勻速向右運(yùn)動(dòng)，即物塊A,B整體向右平動(dòng)，離墻壁越來越遠(yuǎn)．以后兩物塊的運(yùn)動(dòng)將不斷重復(fù)上述過程．

由上述分析可知，在物塊A離開墻壁后的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，每當(dāng)彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，如果物塊A的速度為最小值，則物塊B的速度為最大值；如果物塊A的速度為最大值，則物塊B的速度為最小值．如此交替出現(xiàn)．

題中兩物塊系統(tǒng)雖不孤立，但在豎直方向合外力為零，對(duì)物塊運(yùn)動(dòng)沒有影響，與孤立情況無異．若以A為參考系，由功能關(guān)系(7)式，有

點(diǎn)評(píng)：物塊A剛離開墻壁時(shí)至物塊A，B的速度取最大值或最小值的過程中，彈簧均處于自然長(zhǎng)度，彈簧的彈性勢(shì)能未發(fā)生變化，內(nèi)力功為零，相對(duì)動(dòng)能守恒．當(dāng)然，也可以在質(zhì)心系中或由相對(duì)動(dòng)力學(xué)方程求解．如果從運(yùn)動(dòng)的視角分析，根據(jù)求解的速度可以在同一直角坐標(biāo)系中大致畫出兩物塊運(yùn)動(dòng)的速度圖像(橫坐標(biāo)t0為從物塊A離開墻壁開始至第一次兩物塊速度相等的時(shí)間)，如圖6所示．

圖6 物塊A,B的速度圖像

【例4】動(dòng)能為E0的4He核轟擊靜止的7Li核，作完全非彈性碰撞后成為復(fù)合核11B，11B進(jìn)一步分裂成為10B和中子1n，上述核反應(yīng)過程需要消耗的能量Q=2.8 MeV，核反應(yīng)方程為

4He+7Li→(11B)→10B+1n

試求上述核反應(yīng)過程中所需要的動(dòng)能E0的最小值．

解析:氦核的動(dòng)能

得

或

解得

因此，核反應(yīng)過程中所需要的動(dòng)能E0的最小值為4.4 MeV．

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于完全非彈性碰撞，質(zhì)心動(dòng)能不變，碰撞中損失的動(dòng)能將由相對(duì)動(dòng)能付出(該動(dòng)能是真正有用的能量，也稱資用能)．因此，在近代高能物理學(xué)中，為了研究微觀粒子的結(jié)構(gòu)、相互作用和反應(yīng)機(jī)制，加速器多采用對(duì)撞機(jī)的形式．

綜合上述，兩質(zhì)點(diǎn)孤立系統(tǒng)中內(nèi)力做功引起質(zhì)點(diǎn)相對(duì)動(dòng)能的變化．在常見的問題中，內(nèi)力往往是保守力，可以用系統(tǒng)勢(shì)能的變化取代內(nèi)力功，而該勢(shì)能僅與兩質(zhì)點(diǎn)之間的相對(duì)位置有關(guān)．因此，取某一質(zhì)點(diǎn)為參考系從能量守恒的視角分析問題，能使復(fù)雜過程明朗，煩瑣運(yùn)算變簡(jiǎn)潔．

參考文獻(xiàn)

1 Л·Д·朗道，E·M·栗弗席茲著，李俊峰，鞠國(guó)興譯．理論物理學(xué)教程第一卷·力學(xué)(第五版)．北京：高等教育出版社，2007.29～30

2 鄭永令，賈起明，方小敏．力學(xué)(第二版)．北京：高等教育出版社，2002.143～144

3 蔡伯濂．力學(xué)．長(zhǎng)沙：湖南教育出版社，1985.196～199

4 武際可．力學(xué)史雜談．北京：高等教育出版社，2009.132

5 張三慧．大學(xué)物理學(xué)(力學(xué)、熱學(xué)，第三版)．北京：清華大學(xué)出版社，2008.138～139