張九鑄

(金川集團(tuán)公司龍門(mén)學(xué)校 甘肅 金昌 737100)

1 問(wèn)題的提出

如圖1所示，自行車(chē)在豎直平面內(nèi)沿水平道路做直線運(yùn)動(dòng)．前、后輪半徑均為R，繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均為I；車(chē)與人總質(zhì)量為m，整體質(zhì)心的高度為hC，與前、后輪軸線的水平距離分別為d1,d2．鏈條傳動(dòng)的主動(dòng)輪與從動(dòng)輪齒數(shù)之比為Z，腳蹬曲柄AB長(zhǎng)為h．兩輪與地面之間的滾動(dòng)摩阻系數(shù)為δ．

(1)設(shè)車(chē)輪做純滾動(dòng)，輪心做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度大小為v0，則A點(diǎn)的軌跡方程和在任意位置處的曲率半徑如何？

(3)研究加速過(guò)程，假設(shè)車(chē)輪只滾不滑，鋼圈角加速度大小為β，則前、后輪所受支持力如何？

圖1 自行車(chē)示意圖

2 腳蹬的軌跡和曲率半徑

建立如圖1所示固定坐標(biāo)系，以A點(diǎn)在最高位置時(shí)B點(diǎn)正下方地面上一個(gè)定點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，此時(shí)也是計(jì)時(shí)起點(diǎn)．設(shè)前、后齒輪半徑分別為rB，rC，角速度大小分別為ωB，ωC．對(duì)鏈條上各點(diǎn)相對(duì)于車(chē)架的速度大小有關(guān)系ωBrB=ωCrC．又已知

由以上結(jié)果得到

(1)

A點(diǎn)的坐標(biāo)為

x=v0t+hsinφy=R+hcosφ

利用式(1)消去上式中的v0，并且注意φ=ωBt，得到

x=ZRφ+hsinφ

y=R+hcosφ

(2)

這表示是一條旋輪線．容易看出，該旋輪線是由半徑為ZR的圓輪(本體極跡)沿著直線y=-(Z-1)R(空間極跡)純滾動(dòng)時(shí)，其內(nèi)部與圓心距離為h(h

圖2

如圖3所示，求式(2)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，得到A點(diǎn)的速度投影為

vx=v0+ωBhcosφ

vy=-ωBhsinφ

(3)

圖3

加速度投影為

(4)

由式(3)、(4)，并利用式(1)，得到A點(diǎn)的合速度大小和合加速度大小分別為

(5)

(6)

于是，切向加速度和法向加速度為

(7)

(8)

曲率半徑為[1]

(9)

注意：A的軌跡方程和曲率半徑都與圓輪的純滾動(dòng)是否為勻角速度無(wú)關(guān)，它們完全是兩個(gè)幾何問(wèn)題．

3 剎車(chē)和加速過(guò)程中前后輪所受支持力

3.1 剎車(chē)過(guò)程

研究整個(gè)剎車(chē)過(guò)程．如圖1坐標(biāo)系中，設(shè)前、后輪受地面支持力分別為N1,N2，靜摩擦力為f1,f2，以順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)正向，鋼圈角加速度為β，則對(duì)整個(gè)系統(tǒng)由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有

-(f1+f2)=mRβ

N1+N2=mg

(10)

設(shè)鋼圈轉(zhuǎn)動(dòng)角位移為θ，則自行車(chē)剎車(chē)位移為

s=Rθ

(11)

對(duì)整體運(yùn)用質(zhì)心系中的動(dòng)量矩定理有

-N1δ-N2δ-N1d1+

N2d2+f1hC+f2hC=2Iβ

(12)

(2I+mR2)β

(13)

-mgδ-N1d1+N2d2=

(2I+mRhC)β

(14)

聯(lián)立式(13)、(14)消去β，有

-mgδ-N1d1+N2d2=

(15)

聯(lián)立式(10)、(15)，得

(16)

(17)

(18)

3.2 加速過(guò)程

研究加速過(guò)程．如圖1坐標(biāo)系中,設(shè)前、后輪所受支持力分別為N1,N2，靜摩擦力分別為-f1,f2，以順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)正向，鋼圈角加速度為β，則對(duì)整個(gè)系統(tǒng)由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有

-f1+f2=mRβ

N1+N2=mg

(19)

對(duì)整體運(yùn)用質(zhì)心系中的動(dòng)量矩定理有

-N1δ-N2δ-N1d1+

N2d2+f1hC-f2hC=2Iβ

(20)

由式(19)消去方程(20)中的-f1+f2和N1+N2，得到

-mgδ-N1d1+N2d2=(2I+mRhC)β

(21)

聯(lián)立式(19)和(21)得到

(22)

由式(22)可見(jiàn)，自行車(chē)啟動(dòng)加速度越大，前輪上的支持力N1越小，以至于當(dāng)加速度過(guò)大，使

時(shí),N1=0，即前輪將脫離地面．顯然，這個(gè)角加速大小與整體質(zhì)心的高度hC有關(guān)，高度越大，βmax越小，前輪越容易離地．上述結(jié)論完全可以推及汽車(chē)的加速過(guò)程．

參考文獻(xiàn)

1 張九鑄．帶電粒子在正交電場(chǎng)和磁場(chǎng)中軌跡的形成及曲率半徑．大學(xué)物理，2011，30(5)：35～38

2 李俊峰，張雄．理論力學(xué)．北京：高等教育出版社，2010.124