穆秀家 鮑鋼飛 陳 軍 韓 岳

(山東農(nóng)業(yè)大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中心 山東 泰安 271018)

在彈簧振動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)實(shí)驗(yàn)中，通常是用秒表測(cè)量振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)周期，由于人的反應(yīng)時(shí)間和測(cè)量時(shí)對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)位置判斷上存在著不確定性，使得測(cè)量結(jié)果重復(fù)性差．筆者以圓柱狀彈簧作為電感元件與電阻構(gòu)成串聯(lián)電路，以信號(hào)發(fā)生器輸出的高頻正弦電壓信號(hào)施加到電路二端，在振動(dòng)系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時(shí)，電阻二端電信號(hào)處于穩(wěn)定的高頻正弦電壓狀態(tài)，當(dāng)振動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)，由于彈簧長(zhǎng)度發(fā)生變化，電感也發(fā)生變化，電阻二端電信號(hào)亦發(fā)生變化，此變化的電信號(hào)反映彈簧振動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)過(guò)程，利用數(shù)字示波器的掃描模式顯示，并記錄振動(dòng)系統(tǒng)在一段時(shí)間內(nèi)的振動(dòng)過(guò)程，從而使得測(cè)量結(jié)果重復(fù)性很好．

1 原理

將彈簧振動(dòng)實(shí)驗(yàn)中的長(zhǎng)直彈簧與電阻R串聯(lián)，由于長(zhǎng)直彈簧可看作長(zhǎng)直螺線管，電感系數(shù)為L(zhǎng)，所以構(gòu)成LR串聯(lián)電路，在此串聯(lián)電路兩端與正弦信號(hào)源相接，如圖1所示.

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

此電路滿足方程為

(1)

式中，i為交流電流，Um為信號(hào)源輸出正弦電壓振幅，ω為信號(hào)源輸出信號(hào)的角頻率，R為串聯(lián)電路的串聯(lián)電阻，RL為長(zhǎng)直螺線管的等效電阻．解方程(1)得電路穩(wěn)態(tài)電流[1]

式中，φ0為電路中電流的初相位．由此，可得電阻R二端電壓為

(2)

在彈簧系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，即彈簧長(zhǎng)度不變，電阻R二端電壓信號(hào)在數(shù)子存儲(chǔ)示波器屏上的顯示，如圖2所示．

圖2 彈簧長(zhǎng)度不變R二端電壓信號(hào)的顯示

ma=-κ(l-ls)

(3)

l-ls=Asin(ωjt+φ10)

式中A為振動(dòng)系統(tǒng)的振幅，ωj為振動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)角頻率，φ10為振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)初相位，所以

l=Asin(ωjt+φ10)+ls

因此電阻R二端電壓為

(4)

圖3 彈簧振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)周期

由于ω值很大，ωj值相對(duì)很小，彈簧振動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)信息通過(guò)彈簧電感元件反映到電路中．因此，振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)過(guò)程通過(guò)電阻R二端電壓信號(hào)體現(xiàn)出來(lái)，此信號(hào)輸入到數(shù)字存儲(chǔ)示波器，利用數(shù)字示波器掃描模式顯示，記錄一段時(shí)間內(nèi)的電壓波形，使用示波器光標(biāo)模式中的手動(dòng)模式測(cè)量波形兩高峰之間的時(shí)間差，或測(cè)幾個(gè)波形高峰之間的時(shí)間差取平均值，即為彈簧振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)周期，如圖3所示．

m=κQj

(5)

由于理想彈簧下掛質(zhì)量m等于彈簧的等效質(zhì)量、托盤(pán)質(zhì)量與砝碼質(zhì)量之和，即

m=ms+mt+mf

其中，ms為彈簧的等效質(zhì)量，mt為托盤(pán)質(zhì)量，mf為砝碼質(zhì)量；并設(shè)mj=mf+mt，式(5)變?yōu)?/p>

mj=κQj-ms

(6)

用電子天平稱出托盤(pán)質(zhì)量mt，通過(guò)改變mj質(zhì)量，測(cè)出相應(yīng)的彈簧振動(dòng)周期，根據(jù)mj與Qj關(guān)系數(shù)據(jù)作最小二乘法擬合，求出彈簧的勁度系數(shù)κ、彈簧的等效質(zhì)量ms值．

2 實(shí)驗(yàn)裝置簡(jiǎn)介

實(shí)驗(yàn)裝置連接如圖4所示,彈簧用銅鎳等金屬合金材料制成，其彈簧直流電阻RL=2.290 Ω(用直流電橋測(cè)得)，電阻箱為交流電阻箱，正弦信號(hào)發(fā)生器為20 MHz的EM32201 DDS型全數(shù)字合成任意波發(fā)生器，數(shù)字存儲(chǔ)示波器為60 MHz的RIGDL DS5062CA型，電子天平為JT2002型，連接彈簧的細(xì)導(dǎo)線用柔軟性能很好、很細(xì)的漆包線．

圖4 實(shí)驗(yàn)裝置連接示意圖

3 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和方法

(1)用JT2002電子天平稱出托盤(pán)質(zhì)量mt，并計(jì)錄下來(lái)．

(2)按圖4接線，實(shí)驗(yàn)裝置如圖5所示．

圖5 實(shí)驗(yàn)裝置照片

(3)由于彈簧的電感系數(shù)較小，為了獲得較好實(shí)驗(yàn)效果，電阻R選取2 400.0 Ω；打開(kāi)信號(hào)源電源，信號(hào)源輸出波形選正弦波，選輸出頻率f=4 850.0×103Hz,信號(hào)源輸出幅度Um=6.00 V；打開(kāi)數(shù)字示波器電源，示波器觸發(fā)方式選自動(dòng)，光標(biāo)模式選手動(dòng)，光標(biāo)類(lèi)型選時(shí)間，信源選擇選CH1，為使振動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)電壓波形顯示約半屏，CH1垂直控制選擇500 mv/div，示波器水平掃描選200 ms/div，調(diào)整好儀器；按下單刀開(kāi)關(guān)，接通電路．

(4)彈簧下端不掛托盤(pán)及不放砝碼時(shí)，用手輕輕稍微下拉彈簧，靜態(tài)后放手，讓其自由振動(dòng)，按一下數(shù)字示波器的“RUN”開(kāi)關(guān)之后，示波器屏上就顯示幅度隨振動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)而變化的波形，從屏左邊向右掃描，接近完成一次掃描時(shí)，按下數(shù)字示波器的“RUN”開(kāi)關(guān)，示波器屏上振動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)變化的波形一直保持到下一次按數(shù)字示波器的“RUN”開(kāi)關(guān)之前；調(diào)整兩條時(shí)間測(cè)量光標(biāo)，使其分別對(duì)準(zhǔn)屏上相鄰波峰的峰點(diǎn)，如圖3所示，示波器屏右上角就顯示出兩峰之間的時(shí)間之差，這個(gè)時(shí)間之差就是振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)周期，記入表格1，重復(fù)操作5次．

(5)在彈簧下端掛托盤(pán)而不放砝碼時(shí)，按上述測(cè)量方法測(cè)量振動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)周期并記入表1，重復(fù)操作5次．

(6) 在彈簧下掛砝碼盤(pán)，并分別放 500，1 000,

1 500,2 000,2 500 mg的砝碼,分別重復(fù)上述測(cè)量方法測(cè)量彈簧振動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)周期并記入表1，重復(fù)操作5次．

(7)關(guān)掉示波器及信號(hào)電源，取下砝碼并將砝碼放回砝碼盒．

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

表1砝碼質(zhì)量與相應(yīng)振動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)周期實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表mt=1.490 g

mj/gTj1/msTj2/msTj3/msTj4/msTj5/msT-j/ms0632.0632.0632.0632.0632.0632.01.490688.0696.0696.0696.0696.0694.41.990720.0712.0712.0712.0712.0713.62.490736.0728.0728.0736.0728,0731.22.990744.0752.0744.0752.0752.0748.83.490760.0760.0768.0768.0768.0764.83.990784.0784.0784.0784.0792.0785.6

表2 數(shù)據(jù)處理表

由表2得

Lmm=∑(mji-mj)2=10.810 1 g2

147.195 8× 10-4gs2

相關(guān)系數(shù)r=0.999 6,說(shuō)明質(zhì)量mj與相應(yīng)的Qj值線性關(guān)系很好．

ms=733.887×1 334.286×10-5

-2.348 6=7.443 5 g

因此，回歸方程為

mj=733.886Qj-7.443 5

在回歸方程中κ及ms的標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算如下：首先從回歸線上取得的mj=733.886Qj-7.443 5值與相應(yīng)的mji值之差按貝塞爾公式求出其標(biāo)準(zhǔn)差，設(shè)υi為殘差，則

υi=mji-(kQji-ms)

(7)

將κ，ms值代入式(7)，求得殘差υi，并求出相應(yīng)的殘差平方填入表3．

表3 數(shù)據(jù)處理表

得

根據(jù)以上數(shù)據(jù)求實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差[4]

因此，參數(shù)κ，ms的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為

彈簧的勁度系數(shù)的實(shí)測(cè)結(jié)果[4]為

κ=(733.9±8.7) g/s2

正負(fù)號(hào)后之值按標(biāo)準(zhǔn)差給出，它并非置信區(qū)間．

彈簧的等效質(zhì)量的實(shí)測(cè)結(jié)果為

ms=(7.44±0.12) g

正負(fù)號(hào)后之值按標(biāo)準(zhǔn)差給出，它并非置信區(qū)間．

5 結(jié)束語(yǔ)

本實(shí)驗(yàn)將傳統(tǒng)物理實(shí)驗(yàn)中的非電學(xué)物理量轉(zhuǎn)換為電學(xué)物理量進(jìn)行測(cè)量，為測(cè)量彈簧振動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)周期提供了一種直觀的測(cè)量方法，同時(shí)也為觀察彈簧振動(dòng)系統(tǒng)在一定時(shí)間內(nèi)的振動(dòng)情況提供了方便；把一個(gè)純粹的力學(xué)實(shí)驗(yàn)變成了集力學(xué)、電磁學(xué)、電子測(cè)量技術(shù)為一體的綜合性實(shí)驗(yàn)，并且也充分利用了高等學(xué)校物理實(shí)驗(yàn)室所共有的電子儀器．

參考文獻(xiàn)

1 北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系高等數(shù)學(xué)教材編寫(xiě)組.常微分方程與無(wú)窮級(jí)數(shù).北京:人民教育出版社,1978.50～51

2 (美)F.W.Sears著.郭泰運(yùn)譯.大學(xué)物理學(xué).北京：人民教育出版社，1979.336～337

3 金子瑜.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì).石家莊:河北人民出版社,1985.276～277

4 施昌彥.測(cè)量不確定評(píng)定與表示指南.北京:中國(guó)計(jì)量出版社,2004.34～35，56～58