任保文

(西安電子科技大學(xué)物理系 陜西 西安 710071)

下面給出幾種常見(jiàn)情況的準(zhǔn)確解．

1 橢圓形截面螺繞環(huán)的自感計(jì)算

如圖1所示,設(shè)細(xì)線密繞螺繞環(huán)的橢圓截面半軸長(zhǎng)為a,h,環(huán)心到橢圓中心的距離為b,總匝數(shù)N.細(xì)線導(dǎo)線電流為I,甚至電流無(wú)角向分布.由安培環(huán)路定理得,螺繞環(huán)內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

圖1 螺繞環(huán)

設(shè)環(huán)面方程為

切點(diǎn)為

橢圓截面上的磁通量為

Φ的表達(dá)式中r1,r2是方程(h2cos2θ+a2sin2θ)r2-2brh2cosθ+h2b2-a2h2=0的兩個(gè)根．有

其中

而

故有

則自感為

其近似表達(dá)式為

對(duì)于圓形截面螺繞環(huán),有a=h,n=0其自感為

若a=5 cm,b=15 cm,N=1 000.其理論值為

L理=1.062 39×10-2H

近似值為

L近≈1.062 35×10-2H

由數(shù)值計(jì)算可知,理論值與近似值的誤差甚微,可以忽略.

由能量法有

也可求得自感L，以下計(jì)算略.

2 矩形截面螺繞環(huán)的自感計(jì)算

如圖2所示，設(shè)螺繞環(huán)截面為矩形,長(zhǎng)寬分別為2a,2h．

圖2 矩形螺繞環(huán)截面

同理得磁通量

式中b-a=r1cosθ,b+a=r2cosθ,h=r3sinθ;

得

故螺繞環(huán)的自感為

可得近似式

若螺繞環(huán)截面為正方形(k=k0),可得近似式

直接用近似法有

若a=5 cm,b=15 cm,h=4 cm,N=1 000.得自感的理論值、近似值和直接近似值分別為

L理=1.093 7×10-2H

L近=1.093 6×10-2H

L直近=1.110 6×10-2H

由數(shù)值計(jì)算可知,理論值與近似值誤差甚微.直接近似誤差接近2%,一般需要修正，由上面可以看出，大學(xué)物理教課書(shū)中的近似方法直到k的一階項(xiàng)是正確的，由此亦可判定理論結(jié)果的正確性程度，求積分時(shí)亦可用數(shù)值積分來(lái)處理．由于螺繞環(huán)在磁介質(zhì)研究中的常用性,因此，該結(jié)果不管在理論上還是實(shí)踐中都有一定的借鑒意義.

參考文獻(xiàn)

1 趙凱華,羅蔚茵．電磁學(xué)．北京：高等教育出版社，2006.12

2 趙凱華,羅蔚茵，陳熙謀．新概念物理題解．北京：高等教育出版社,2006.6

3 任保文,鄭亞娥. 單自由度非線性保守系統(tǒng)作大振幅振動(dòng)時(shí)周期的計(jì)算方法.大學(xué)物理，2005,24 (3):15～17