李毛親

（臺(tái)州學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院 數(shù)學(xué)系，浙江 臨海 317000）

矩陣乘積的精彩
——貫穿于《線性代數(shù)》始終的矩陣乘積的教學(xué)方法探討

李毛親

（臺(tái)州學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院 數(shù)學(xué)系，浙江 臨海 317000）

探討了在《線性代數(shù)》教學(xué)過(guò)程中關(guān)于矩陣乘積的問(wèn)題。首先是矩陣乘法引入時(shí)要注意的問(wèn)題，其次是在矩陣分塊以后探討矩陣乘積的規(guī)律，然后是用內(nèi)積的觀點(diǎn)來(lái)看待矩陣的乘積。這樣從多個(gè)側(cè)面引導(dǎo)學(xué)生去理解矩陣的乘積可以開(kāi)闊他們的視野，提高他們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

矩陣的乘積；分塊矩陣；矩陣的秩

矩陣貫穿于《線性代數(shù)》的始終，很多問(wèn)題的解決都會(huì)借助于這個(gè)有效的工具。因此矩陣的學(xué)習(xí)在《線性代數(shù)》中是至關(guān)重要的，因而關(guān)于矩陣教學(xué)的重要意義也就無(wú)需贅言了。本文主要探討矩陣乘法的教學(xué)。在引入矩陣乘法定義之后，很多線性代數(shù)中的問(wèn)題都會(huì)變得簡(jiǎn)化，這種簡(jiǎn)化既包括形式上的簡(jiǎn)化也包括內(nèi)容上的簡(jiǎn)化。再者，也可以使得對(duì)一個(gè)問(wèn)題有不同角度的理解，這些內(nèi)容在教學(xué)中都是教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生去體會(huì)和完成的。有些思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法也是需要教師幫助學(xué)生探討，以至于使學(xué)生能夠熟練地掌握和應(yīng)用。

1 矩陣乘積引入時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題

我們從以下幾個(gè)方面給出引入矩陣乘積概念時(shí)需要注意的問(wèn)題（1）前者的列數(shù)等于后者的行數(shù)及乘法法則

在講授矩陣的乘積時(shí)第一個(gè)需要注意的問(wèn)題是矩陣乘法引入時(shí)，對(duì)兩個(gè)矩陣形狀的要求，即當(dāng)兩個(gè)矩陣A，B相乘時(shí)，前者的列數(shù)應(yīng)該等于后者的行數(shù).在具體進(jìn)行矩陣乘積時(shí)，應(yīng)該使學(xué)生理解為什么要有這樣的規(guī)定.再一個(gè)是乘法的法則，該法則也是學(xué)生第一次遇到的特殊的乘法法則.下面的例題對(duì)這個(gè)概念的理解很有幫助.

（2）前者的行，后者的列

在矩陣乘積的教學(xué)中，教師一再?gòu)?qiáng)調(diào)“前者的行，后者的列”.事實(shí)上，這包括兩個(gè)方面的含義，其一是若AB=C，則乘積C的行數(shù)為A的行數(shù)，列數(shù)為B的列數(shù).例1就是一個(gè)很好的例子.其二是，矩陣C的第i行元素是矩陣A的第i行元素與矩陣B的乘積，即A的第i行元素與B決定了C的第i行元素：

通過(guò)以上兩個(gè)事實(shí)的探討，使得學(xué)生理解前者的行，后者的列的真正含義.為了進(jìn)一步強(qiáng)化這個(gè)概念，還可以通過(guò)如下的簡(jiǎn)單的例題使得學(xué)生進(jìn)一步理解在矩陣乘積中“前者的行，后者的列”的重要性.

（3）矩陣乘積的不可交換性

矩陣乘積是學(xué)生遇到的第一個(gè)不可交換的乘積，這個(gè)概念的建立也需要通過(guò)例題的講解和作業(yè)的練習(xí)來(lái)完成.因?yàn)閺男○B(yǎng)成的乘法交換律會(huì)不時(shí)地干擾學(xué)生的思維，所以，教師在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間段內(nèi)都要注意強(qiáng)調(diào)這種“不可交換性”.

（4）乘法不適合消去律

矩陣乘積也是學(xué)生遇到的第一個(gè)不適合消去律的乘法.在引入矩陣乘法時(shí)，應(yīng)該提到這一點(diǎn)，但是，只有在引入逆矩陣的概念之后學(xué)生才真正理解為什么矩陣的乘法不適合消去律.即使是理解了這個(gè)為什么之后，還是會(huì)時(shí)不時(shí)地犯錯(cuò)誤，例如當(dāng)AB=0時(shí)，還是會(huì)有“A=0或B=0”的判斷錯(cuò)誤.這個(gè)性質(zhì)的掌握也要通過(guò)不斷地練習(xí)和教師的及時(shí)強(qiáng)調(diào)和提醒來(lái)完成.

（5）矩陣的乘法適合結(jié)合律的證明

矩陣的乘法適合結(jié)合律是一個(gè)很普通的性質(zhì)，到目前為止，學(xué)生所學(xué)習(xí)過(guò)的代數(shù)運(yùn)算都適合結(jié)合律.但是，結(jié)合律的證明卻并不是顯而易見(jiàn)的.在證明該性質(zhì)時(shí)，需要特別地強(qiáng)調(diào)矩陣乘積AB=C中，C的元素的構(gòu)造，這會(huì)使得學(xué)生進(jìn)一步理解“前者的行，后者的列”的含義.要證明A（BC）=（AB）C兩個(gè)矩陣相等，就要證明它們對(duì)應(yīng)元素相等.等號(hào)左邊矩陣位于第i行第j列的元素由A的第i行和BC的第j列元素的乘積得到，由（2）可知，BC的第j列元素由B乘以C的第j列的元素得到.同理等號(hào)右邊第i行第j列的元素也可類似確定.有了這樣清晰的認(rèn)識(shí)，結(jié)合律的證明就不再困難了.

2 講了矩陣分塊以后的矩陣乘法

講了矩陣的分塊以后，可以從另一個(gè)角度去看矩陣的乘法，這有利于解決不同的問(wèn)題.設(shè)A=（aij）mn，B=（bij）ns，AB=C.分別把矩陣 A 和 B 按行和列分塊.

則如下的幾種理解可以幫助學(xué)生從不同的側(cè)面理解矩陣的乘法及其應(yīng)用.（1）C 的元素

3 講了歐氏空間內(nèi)積以后的矩陣乘積

在引入歐氏空間的概念后，可以用內(nèi)積的觀點(diǎn)來(lái)看待矩陣乘積的元素.乘積C的元素是A的行向量和B的列向量的內(nèi)積，這里的內(nèi)積是n維向量空間的普通內(nèi)積.

以上這點(diǎn)，在講了歐氏空間的內(nèi)積之后再度提起，就是要引導(dǎo)學(xué)生用內(nèi)積的觀點(diǎn)來(lái)看待矩陣乘積的元素，這有利于理解齊次線性方程組的解空間與其系數(shù)矩陣的行空間之間的相互垂直的關(guān)系.事實(shí)上，齊次線性方程組Ax=0，即

如果用向量?jī)?nèi)積的觀點(diǎn)來(lái)看，則向量x是齊次線性方程組Ax=0的解當(dāng)且僅當(dāng)x與A的所有行向量正交，即 x 與 A 的行空間正交.這樣 Ax=0 的解空間與 A 的行空間互為正交補(bǔ).設(shè) V1=L（ξ1，ξ2，…，ξm），Ax=0的解空間為V2，則Fn=V1V2，且V1⊥V2.這也從另一個(gè)側(cè)面證明了系數(shù)矩陣的秩與解空間的維數(shù)之和等于未知量的個(gè)數(shù).

4 矩陣的初等變換與矩陣的乘積

對(duì)矩陣作初等行變換相當(dāng)于左乘一個(gè)初等矩陣，作列變換相當(dāng)于右乘一個(gè)初等矩陣.這句話表面上看起來(lái)很好理解，但是在實(shí)際的教學(xué)中也是要注意的一個(gè)問(wèn)題.由于教科書(shū)中這方面的基礎(chǔ)習(xí)題較少，所以適當(dāng)?shù)匮a(bǔ)充一些基礎(chǔ)練習(xí)題是必要的.

5 矩陣乘積的應(yīng)用

本節(jié)將通過(guò)例子給出矩陣乘積的一些應(yīng)用.

例 4 設(shè)矩陣 Amn，Bns滿足 AB=0，證明 R（A）+R（B）≤n.

證明：把矩陣 B 按列分塊為 B=（β1，β2，…，βs），則 AB=（Aβ1，Aβ2，…，Aβs）.所以 Aβi=0，i=1，2，…，s，即 B的所有列向量都是線性方程組Ax=0的解.

設(shè) R（A）=r，則齊次線性方程組 Ax=0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系含有 n-r個(gè)向量，設(shè)為 η1，η2，…，ηn-r，則向量組β1，β2，…，βs可由向量組 η1，η2，…，ηn-r線性表出，所以 R（β1，β2，…，βs）≤R（η1，η2，…，ηn-r）.于是

在下面的例題中，我們將利用一個(gè)最基本也是最常用的結(jié)論探討有關(guān)矩陣秩的一些證明方法.

例5 設(shè) A是一個(gè)m×n矩陣，若R（A）=r，則

（1）存在一個(gè)行滿秩的矩陣B和一個(gè)列滿秩的矩陣C使得A=BC.

（2）存在可逆矩陣P使得PA的后m-r行元素全為零；存在可逆矩陣Q使得AQ的后n-r列元素全為零.

證明：前面我們已經(jīng)用分塊矩陣的方法證明了該命題，現(xiàn)在用另一種方法證明.

設(shè) R（A）=r，R（B）=t，由上題知，存在可逆矩陣P，Q使得

［1］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組，高等代數(shù)（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2011.

［2］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，2011.

The Splendidness of the Metrix Multiplication--an approach to teaching matrix multiplication in linear algebra

LI Mao-qin
（School of Mathematics and Information Engineering,Taizhou University,Linhai 317000,China）

In the paper, the teaching of matrix multiplication in linear algebra is discussed. Firstly, when the multiplication of two matrices is introduced, some problems need to be taken into account. Secondly,after learning block matrix,some regular rules about multiplication are presented,which,under the guidance of teachers,students should pay attention to.The matrix multiplication is learned in view of inner product.By different way to see matrix multiplication,the academic horizons of students can be extended,which helps improve students' ability to analyze and solve problems.

matrix multiplication;block matrix;rank of a matrix.

耿繼祥）

O151.2

A

1672-3708（2012）03-0051-05

2012-01-12；

2012-03-16

李毛親（1958- ），女，山西太原人，碩士，副教授，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)及教學(xué)研究。