牛秀琴

(四川師范大學 數(shù)學與軟件科學學院，四川 成都 610066)

改進的鄰域均值濾波去噪算法研究

牛秀琴

(四川師范大學 數(shù)學與軟件科學學院，四川 成都 610066)

鄰域均值濾波算法作為圖像去噪算法的經(jīng)典方法，不僅可以有效地消除噪聲對圖像的干擾程度，并且能夠快速平滑圖像，但它的缺點是會使圖像邊緣模糊，窗口越大，模糊程度越明顯。本文針對椒鹽噪聲，分析原鄰域均值濾波算法，通過與能量最小化原理相結合，提出新的改進的鄰域均值濾波算法，這個算法構造了兩個不同能量最小化函數(shù)模型，即E1模型和E2模型。兩個模型均從圖像像素點局部鄰域出發(fā)，通過求解局部鄰域能量最小判斷是否利用鄰域均值替換原像素灰度值。這個新的去噪算法不僅改變了原鄰域均值濾波算法單一的替換灰度值的做法，降低了將非噪聲點誤判為噪聲點的可能性，并且可以根據(jù)圖像的大小自適應調節(jié)閾值，最后達到去除噪聲的效果。通過與鄰域均值濾波算法進行實驗對比，取得較好的去除噪聲效果。

圖像去噪；鄰域均值濾波算法；能量最小化

引言

圖像去噪作為圖像處理的一個重要環(huán)節(jié)，不僅可以幫助人們更加準確的運用圖像，并能應用到其他眾多領域，例如醫(yī)學、物理、航天等。圖像去噪算法可以有效地降低噪聲對原始圖像的干擾程度，并且增強視覺效果。圖像去噪算法的經(jīng)典算法很多，如文獻[1]-[5]。這些方法被應用到很多領域，并且產(chǎn)生了很多的改進方法。

本文基于鄰域均值濾波算法，基于能量最小化原理，對其在最小化局部鄰域能量的過程中判斷噪聲點來替換灰度值并加以恰當?shù)淖赃m應閾值作為判斷條件，不僅增強圖像去除噪聲的效果，并且能夠很好的保持圖像邊緣信息。本文將在第一章介紹鄰域均值濾波原理；第二章介紹能量最小化原理；第三章主要介紹改進的鄰域均值濾波去噪算法；第四章給出相關的實驗結果分析比較；最后在第五章給出結論。

1 鄰域均值濾波

首先我們先來看圖像中鄰域系統(tǒng)[6]的概念：鄰域系統(tǒng)：

圖像中像素點p(i，j)通過周圍的像素點集合U與另一個像素點 q(i，j)相關。p(i，j)的鄰域系統(tǒng) Np°定義為：

從上面定義可以看出像素點p(i，j)的鄰域系統(tǒng)Np°是不包含其自身的，我們也可以稱之為空心鄰域系統(tǒng)；若加上像素點 p(i，j)本身，則表示為 Np或者 N。

通常情況下，對于一幅給定的圖像G，若它的每個像素點為 p(i，j)，我們取其鄰域 N。鄰域 N 的形狀和大小可以根據(jù)圖像特點確定。一般情況下，取的鄰域形狀為正方形，矩形或是十字形?，F(xiàn)在常用鄰域系統(tǒng)[7][8]有4-鄰域系統(tǒng)，8-鄰域系統(tǒng)，12-鄰域系統(tǒng)，如下圖表示。圖1.1中以實心點為中心，小點的虛線方框包含的鄰域范圍稱作4-鄰域，即圖1.2；圖1.1中以實心點為中心，實線方框包含的鄰域范圍稱作8-鄰域，即圖1.3。圖1.1中以實心點為中心，大些的虛線方框包含的鄰域范圍稱作12-鄰域，即圖1.4。

圖1.1

圖1.2

圖1.3

鄰域均值濾波是一種線性濾波法，它主要是為了去除圖像掃描過程中產(chǎn)生的顆粒噪聲，主要采用的是鄰域平均法[8][9]。鄰域平均法是用像素點 p(i，j)和其鄰域N中全部點的像素灰度均值替換像素點p(i，j)對應的灰度值f(i，j)。4-鄰域系統(tǒng)、8-鄰域系統(tǒng)以及12-鄰域系統(tǒng)的均值濾波算法數(shù)學表達式分別是(1.1)和(1.2)是在圖像上3×3的正方形滑動窗口下內計算均值的；而(1.3)是在圖像上5×5的正方形滑動窗口下內計算均值的。

下面我們舉個實例：我們選取圖像lena.png(大小為512*512)作為對象，采用8-鄰域系統(tǒng)(即式子(1.1.2))對其進行鄰域均值濾波處理，取對應矩陣的一部分進行比較，其中 x=2，3，4，5，6，y=8，9，10，如下圖1.5：

圖1.5

通過觀察圖1.5，我們發(fā)現(xiàn)矩陣中每一個像素灰度值都是用周圍8個像素灰度均值替換，比如：

鄰域均值濾波算法對于去除包含低密度噪聲圖像噪聲是一種比較有效的去除噪聲方法。它利用灰度均值替換，減小圖像噪聲方差，達到去除噪聲的目的。

下面我們對圖像couple.bmp(大小為256×256)通過8-鄰域系統(tǒng)鄰域均值濾波作用，給出對比圖像，如下圖1.6：

圖1.6

從上圖1.6，我們可以發(fā)現(xiàn)鄰域均值濾波處理后的圖像變得比原始圖像模糊，這也是它存在的一個缺點：模糊圖像細節(jié)。特別的，隨著鄰域系統(tǒng)的增大，圖像模糊的程度越明顯。

2 能量最小化原理

能量最小化[10]最初是源自圖論相關的最大流最小割定理[11][12]。下面我們先來介紹這個定理：

最大流最小割定理[11][12]在任何網(wǎng)絡中，最大流的值等于最小割的容量，即fmax=cmin(K)。

上面的最大流與最小割定理，為圖像處理提供了方便。這樣在我們求解最大流問題時就可以轉化成求解最小割問題。圖論中，最小割即網(wǎng)格內點的連線上的容量。我們將圖像數(shù)字化后的矩陣看成網(wǎng)格，那么矩陣的元素即網(wǎng)格的每個頂點，通過構造一定的能量函數(shù)來計算每個頂點之間容量，即將最小割問題應用到圖像處理內就表現(xiàn)為最小化能量函數(shù)值。下面我們用圖像知識來詳細解釋這個問題。

在圖像處理中，通常情況下我們將圖像數(shù)字化后可看成是有很多像素點p(i，j)∈p構成的一個矩陣T，這個矩陣的每一個元素就是像素點所對應的灰度值fp(i，j)∈F。當我們給原本的圖像加入噪聲后，就會發(fā)現(xiàn)原圖對應的像素灰度值發(fā)生改變，那么去除圖像噪聲就轉化成糾正噪聲點的灰度值問題。椒鹽噪聲是將圖像中原本像素點變成黑點或白點，對應的像素值也就是由原來的0-255變成0或255。那么對于圖像來說，如何才能夠將像素點p(i，j)∈p與它的鄰居用能量聯(lián)系起來并達到最小化呢？在實際運算中，能量函數(shù)的計算就是通過我們前面提到的鄰域系統(tǒng)將像素點聯(lián)系起來。能量函數(shù)的構造方法如下：

一般的，圖像上像素點 p(i，j)∈p 的能量函數(shù)用E(f)表示，在圖像去噪中E(f)由兩部分構成：

式子(2.1)中 E(d)表示勢能團的能量值，E(s)表示像素點灰度替換值與像素點灰度原值的能量值。

對于圖像去噪，最重要的就是如何構造E(f)中的E(d)與E(s)。本文改進的鄰域均值濾波算法的能量函數(shù)具體構造方法將在下一章具體說明。

3 改進的鄰域均值濾波算法

基于原本的鄰域均值算法，并結合能量最小化[10]的原理在是否替換像素點值加了自適應閾值作為判斷條件，更準確地進行噪聲點灰度值的更換，具體步驟如下：

1)對原本大小為c×d的圖像A加一定噪聲系數(shù)的椒鹽噪聲得到圖像B；

2)令圖像C等于圖像B，通過下列數(shù)學表達式(3.1)計算圖像C的每一個像素點對應的能量初始值E0，并且計算所有像素點的E0之和E00。按照所定義的能量函數(shù)表達式不同，將其稱為模型E1和模型E2，如下：

其中Es、ED有兩種定義的方式：

上面的數(shù)學表達式(3.1)所計算的能量函數(shù)值能表現(xiàn)鄰域系統(tǒng)(本文兩種算法模型采用4-鄰域系統(tǒng)，可根據(jù)實際需要改動)內圖像每個像素點與周圍像素點的一個差異程度，從能量的角度可以稱上式的E為像素點的能量函數(shù)。

其中，Es表示像素點 p(i，j)自身的能量勢能，ft(i，j)表示p(i，j)替換后的像素灰度值，f(i，j)表示p(i，j)的數(shù)字化圖像后顯示的灰度值；E(d)表示勢能團內像素點p(i，j)與其他各點的能量值。

3)利用鄰域均值算法替換每個像素點的灰度值，本文將采用8-鄰域系統(tǒng)和12-鄰域系統(tǒng)。

4)計算此時每個像素點相對應的E，計算方法同步驟2)。

5)依次通過比較每個像素點E與E0的大小關系并設定一定的閾值，判斷是否需要用均值替換原像素值。具體規(guī)則：如果滿足條件E＜E0且E00/w＜E0，其中 w 為約束閾值，w=(c-1)×(d-1)，c，d 為步驟1中圖像的大小，則用鄰域均值替換原本的像素點值；否則，不替換，仍保持原本像素值。完成之后，保存圖像為C1。(為得到更好的去除噪聲效果，此步驟可以迭代多次)

6)完成上面替換，保存圖片，計算原始圖像A與C1的最小均方根誤差MSE值(Mean Square Error)與峰值信噪比PSNR值(Peak Signal to Noise Ratio)。

PSNR是一種應用最廣泛，最普遍的評價圖像質量的客觀標準，它的單位是dB。它具有一定的局限性，在許多實驗結果都顯示，PSNR的數(shù)值無法和人眼看到的視覺品質完全一致，可能會出現(xiàn)一下情況：第一、PSNR值較高，但視覺上看起來效果不好；第二、PSNR較低，但視覺上圖像質量更清晰。

MSE是一種經(jīng)過多次實驗驗證的較好的評判圖像質量的客觀標準。

本文采用的計算MSE值與峰值信噪比PSNR值的方法分別如下式：

上式中：M，N表示圖像數(shù)字化后的矩陣橫坐標與縱坐標的值，即圖像的大小為M×N是對應的，G(i，j)表示不含噪聲的原圖像的像素灰度值，F(xiàn)(i，j)表示去除噪聲后的圖像的像素灰度值。

判斷標準：PSNR值越高，MSE值越低，圖像去除噪聲效果越好。

4 相關實驗結果比較

我們選取8-鄰域與12-鄰域系統(tǒng)作為上小節(jié)算法步驟3)中提到的可選的鄰域系統(tǒng)，分別在兩種鄰域下對圖像進行去除噪聲實驗，比較改進均值濾波算法與原均值濾波算法結果。實驗采用圖像大小為256*256的diamond.png作為測試圖像，噪聲系數(shù)為0.08的椒鹽噪聲。經(jīng)過實驗研究，當模型E1和模型E2迭代次數(shù)為38次，基本可達到最優(yōu)去除噪聲效果。下圖4.1與圖4.2分別表示選擇鄰域系統(tǒng)為8-鄰域系統(tǒng)與12-鄰域系統(tǒng)的實驗結果；同時用表格的形式將對應圖像的MSE值與PSNR值給出，如表4.1，表4.2：

表4.1 圖4.1對應的PSNR值與MSE值

表4.2 圖4.2對應的PSNR值與MSE值

從視覺上看圖4.1，可以明顯看到在8-鄰域系統(tǒng)下，模型E1和模型E2的去除噪聲效果比原鄰域均值濾波算法好得多。從表4.1可得，模型E1的PSNR值最高，MSE值最小，去除噪聲效果最好。

圖4.1

圖4.2

從視覺看圖4.2，可以明顯看到在12-鄰域系統(tǒng)下，模型E1和模型E2的去除噪聲效果比原鄰域均值濾波算法好得多。從表4.2可得，模型E1的PSNR值最高，MSE值最小，去除噪聲效果最好。但是兩圖說明：12-鄰域系統(tǒng)的效果沒有8-鄰域效果好，這是因為此法是基于鄰域均值濾波算法，繼承了它的缺點：鄰域越大，滑動窗口隨之增大，模糊圖像的程度增強。

通過試驗比較，我們發(fā)現(xiàn)此方法可以有效的替換噪聲點的像素灰度值，并且可以取得很好的效果。

我們還對其他測試圖像進行了測試，下面僅將圖像pallon.pgm(圖像大小為256*256)結果給出，噪聲系數(shù)同樣為0.08，鄰域系統(tǒng)選擇8-鄰域，如圖4.3：

表4.3 上圖4.3的PSNR值與MSE值

圖4.3

從上面看出，對于圖像pallon.pgm的去除噪聲的視覺效果模型E1和模型E2差不多，但從表4.3得PSNR值與MSE值上可得到模型E1比模型E2稍好些。

5 結論

改進鄰域均值濾波算法通過對傳統(tǒng)的鄰域均值濾波算法進行分析，基于能量最小化原理，通過構造新的能量函數(shù)，提出了是否替換像素灰度值的判斷方法，在去除噪聲的同時更有效地保證了圖像的邊緣和紋理信息。通過實驗比較，可以發(fā)現(xiàn)E1模型有較好的實驗效果；選取8-鄰域系統(tǒng)比選取12-鄰域系統(tǒng)去除噪聲效果更好，并有較高的PSNR值。此方法的優(yōu)點是可以應用到其他經(jīng)典方法之上以及更大的窗口系統(tǒng)，并且可以根據(jù)圖像的大小自動調節(jié)約束閾值。同時計算量也沒有增加很大的負擔，時間上與原來鄰域均值濾波去噪算法差別不大。

總之，改進的鄰域均值濾波算法不僅可以增強去噪效果，同時可以很好的保持邊緣與細節(jié)，并且可以應用到其他經(jīng)典方法之上或其它領域，比如低質文字提取骨架以及去除含有噪聲文字的噪聲問題[6][7][8]以及圖像分割問題[13]等領域。。

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Research on Improved Arithmetic of Neighborhood Mean Filtering

Niu Xiu-qin
(School of mathematics and science，Sichuan Normal University，Chengdu Sichuan 610066，China)

Neighborhood mean denoising algorithm as one method of image denoising algorithm，can not only effectively remove image noise，but also can be quickly smooth image.Meanwhile，it can make the image edge blur.First，this paper proposes new energy models based on Energy Minimization principle and Neighborhood mean filter，which is named Energy model，such as model E1 and model E2，and then，proposes a new Neighborhood Mean Denoising Filter.According to solve the local neighborhood energy minimum，two models judge whether pixel grayscale value is substituted.The new Neighborhood Mean Denoising algorithm not only change the single way of original neighborhood mean filter algorithm，but also reduce the possibility of the good pixels be mistaken for the noise pixels.Meanwhile，it can change the threshold free.This filter is particularly effective in suppressing Salt&pepper noise.

image denoising；mean filtering；energy minimization

TP391

A

1673-2014(2012)02-0004-05

2012—03—10

牛秀琴(1987—)，女，山西運城人，碩士研究生，主要從事數(shù)字圖像處理、模式識別研究。

(責任編輯 李學斌)