周艷麗，王 超，陳英才

（臺(tái)州學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，浙江 臺(tái)州 318000）

理想氣體擴(kuò)散的Monte Carlo模擬

周艷麗，王 超，陳英才

（臺(tái)州學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，浙江 臺(tái)州 318000）

用Monte Carlo方法模擬了理想氣體系統(tǒng)通過一小孔的擴(kuò)散。模擬直觀展現(xiàn)了氣體分子通過小孔的擴(kuò)散過程。模擬結(jié)果表明，一旦經(jīng)過擴(kuò)散達(dá)到平衡，系統(tǒng)將不會(huì)再回到最初的分布，這說明擴(kuò)散過程是一個(gè)不可逆過程；在擴(kuò)散過程中，系統(tǒng)的混亂程度不斷增大。氣體擴(kuò)散快慢與初始分子數(shù)以及小孔的尺寸有關(guān)。初始分子數(shù)越多，小孔尺寸越大，擴(kuò)散過程進(jìn)行的就越快。模擬結(jié)果與菲克定律一致。

理想氣體；擴(kuò)散；菲克定律；Monte Carlo 模擬

1 工程概況

熱學(xué)是大學(xué)物理的重要組成部分。在許多高校，熱學(xué)部分的講授通常側(cè)重于熱力學(xué)系統(tǒng)的平衡態(tài)問題，而對(duì)于非平衡態(tài)過程，考慮到需要用大量抽象的概念和數(shù)學(xué)推導(dǎo)，因此往往只做定性介紹。這明顯不利于學(xué)生對(duì)熱力學(xué)系統(tǒng)非平衡態(tài)過程的認(rèn)識(shí)和理解。擴(kuò)散是一種典型的非平衡態(tài)過程。在本文中，我們利用Monte Carlo方法對(duì)理想氣體的擴(kuò)散進(jìn)行模擬，直觀展現(xiàn)擴(kuò)散過程的特點(diǎn)。Monte Carlo模擬又稱統(tǒng)計(jì)模擬，是一種采用統(tǒng)計(jì)抽樣理論近似求解物理或數(shù)學(xué)問題的方法。［1］該方法在科學(xué)研究中有廣泛的應(yīng)用，近年來也常被用于教學(xué)研究。［2-7］

所謂擴(kuò)散是指：在混合氣體內(nèi)部，當(dāng)某種氣體的密度分布不均勻時(shí)，該氣體分子由密度大的地方向密度小的地方移動(dòng)的過程。［8］擴(kuò)散實(shí)際是質(zhì)量轉(zhuǎn)移的過程。假定混合氣體中某一成分氣體密度只在x方向發(fā)生變化，則單位時(shí)間內(nèi)該成分氣體通過x=x0處面元△S的質(zhì)量可表示為

擴(kuò)散是一種比較復(fù)雜的過程。本文只考慮由兩種分子質(zhì)量相同的氣體構(gòu)成的混合氣體的純擴(kuò)散過程。假定這兩種成分氣體最初分別位于由擋板隔開的兩個(gè)容器中，擋板中央有一可開關(guān)的小孔。打開小孔，兩種氣體則可通過小孔擴(kuò)散進(jìn)入對(duì)方容器。

2 模型與模擬方法

對(duì)于氣體系統(tǒng)而言，分子之間存在大量的隨機(jī)碰撞。正是由于這些碰撞，系統(tǒng)才會(huì)由非平衡態(tài)經(jīng)過弛豫最終達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡。因此，在模擬研究氣體系統(tǒng)相關(guān)性質(zhì)時(shí)必須要體現(xiàn)分子之間的碰撞?？紤]到隨機(jī)碰撞的直接結(jié)果就是使每個(gè)分子的速度和空間位置的改變出現(xiàn)隨機(jī)性，這樣在模擬中就可以用分子速度或分子空間位置的無規(guī)改變來反映分子之間的隨機(jī)碰撞。本文研究氣體的擴(kuò)散，也就是研究密度分布不均勻時(shí)氣體分子空間位置的改變。因此，在模擬中我們撇開了分子速度而只考慮分子空間位置的改變，用分子空間位置的無規(guī)改變來反映分子之間的無規(guī)碰撞。具體的模型、模擬方法如下：

我們的模型系統(tǒng)建立在二維正方格子點(diǎn)陣上（格子常數(shù)為a），如圖1所示。正方形區(qū)域α和β在x和y方向的尺寸均為L，兩區(qū)域之間有一擋板（位于x=0），擋板中央有一可以開關(guān)的小孔。分子質(zhì)量相同的A、B兩種理想氣體最初分別位于α、β區(qū)域 （A和B氣體分子分別用實(shí)心圓和空心圓表示，如圖1所示）。氣體分子用質(zhì)點(diǎn)代替，每個(gè)分子只能占據(jù)一個(gè)格點(diǎn)，分子與分子或分子與邊界不能同時(shí)占據(jù)同一個(gè)格點(diǎn)（排除體積作用）。

圖1 模型結(jié)構(gòu)示意圖，其中實(shí)心圓和空心圓分別表示A和B兩種氣體分子。Fig.1 The sketch of the system,where the molecules of gas A and gas B are represented by the solid circles and empty circles,respectively.

模擬開始時(shí)，先關(guān)閉擋板中央的小孔，并分別在α和β區(qū)域生成NA0個(gè)A氣體分子和NB0個(gè)B氣體分子，然后讓兩種氣體分子進(jìn)行相當(dāng)長時(shí)間的無規(guī)運(yùn)動(dòng)以使系統(tǒng)達(dá)到平衡。最后，打開小孔并適時(shí)觀察分子通過小孔的擴(kuò)散過程。

在模擬中，氣體分子的空間位置改變是通過單個(gè)分子的嘗試運(yùn)動(dòng)來實(shí)現(xiàn)的，具體做法如下：模擬系統(tǒng)共有NA0+NB0個(gè)分子，對(duì)于每一次嘗試運(yùn)動(dòng)，先隨機(jī)選擇一個(gè)分子，然后再隨機(jī)選擇該分子周圍4個(gè)近鄰格點(diǎn)中的一個(gè)作為其新位置。假定新位置沒有被其它分子占據(jù)，那么嘗試運(yùn)動(dòng)視為成功。我們定義一個(gè)Monte Carlo步長（MCS）為時(shí)間單位，在一個(gè)Monte Carlo步長內(nèi)共有NA0+NB0次分子嘗試運(yùn)動(dòng)。當(dāng)系統(tǒng)經(jīng)過一定時(shí)間演化達(dá)到平衡后，我們便終止抽樣并開始新的模擬。本文所給出的結(jié)果都由200次獨(dú)立抽樣模擬平均得到。本文選用格子常數(shù)為長度單位，正方形區(qū)域α和β在x和y方向的尺寸均為L=100；同時(shí)為了便于討論，我們?cè)谀M時(shí)總保持NA0=NB0，即，A、B兩種氣體具有相同的分子數(shù)。

3 模擬結(jié)果與討論

開始模擬時(shí)，先關(guān)閉小孔并分別在α和β區(qū)域生成A、B氣體分子各1000個(gè)。兩區(qū)域的氣體經(jīng)過相當(dāng)長時(shí)間的無規(guī)運(yùn)動(dòng)之后達(dá)到平衡，氣體分子在兩區(qū)域形成均勻分布，如圖2所示，這與實(shí)際情況相符。

圖2 氣體分子的初始分布。其中A種氣體處在α區(qū)域；B種氣體處在β區(qū)域，兩種氣體的分子數(shù)均為1000。Fig.2 The initial distribution of the gas molecules.Here,gas A is in the α region,while gas B is in the β region,and the number of molecule of each gas is 1000.

圖3 α、β兩區(qū)域中A種氣體分子數(shù)隨時(shí)間的演化，A氣體的分子總數(shù)為1000，小孔尺寸為1。Fig.3 The evolution of the number of molecules of gas A in α and β regions,where the total number of molecules of gas A is 1000,and the hole size is 1.

小孔打開后（小孔打開的時(shí)刻定義為零時(shí)刻），α區(qū)域的A分子要通過小孔擴(kuò)散進(jìn)入β區(qū)域，而β區(qū)域的B分子則要進(jìn)入α區(qū)域，系統(tǒng)原來的平衡被打破。經(jīng)過一定時(shí)間的擴(kuò)散，系統(tǒng)達(dá)到新的平衡，分子的空間位置也將出現(xiàn)新的分布。圖3給出了α、β兩區(qū)域中A氣體分子數(shù)隨時(shí)間的演化。由圖可以看出，最初A氣體分子全部在α區(qū)域，但是隨著時(shí)間延長，α區(qū)域的A氣體分子數(shù)不斷減少，而β區(qū)域A氣體分子數(shù)則不斷增大，這實(shí)際上展現(xiàn)了A氣體分子通過小孔由α區(qū)域向β區(qū)域擴(kuò)散的過程。經(jīng)過相當(dāng)長的時(shí)間之后，α、β兩區(qū)域中A氣體分子數(shù)趨于相等 （α和β區(qū)域內(nèi)B氣體分子數(shù)隨時(shí)間的演化也具有上述相同的規(guī)律），系統(tǒng)達(dá)到了新的平衡狀態(tài)。此時(shí)，不僅每種成分氣體在α和β區(qū)域內(nèi)分子數(shù)趨于相等，而且分子在整個(gè)空間的分布也達(dá)到均勻，如圖4所示。在達(dá)到新的平衡之后，我們始終沒有觀察到系統(tǒng)重返初始分布的情形，這說明擴(kuò)散過程本質(zhì)上是不可逆的，是自發(fā)進(jìn)行的。根據(jù)熵增加原理，對(duì)于所有不可逆熱力學(xué)過程，系統(tǒng)總是朝著熵增大的方向進(jìn)行。同時(shí)，由統(tǒng)計(jì)物理知識(shí)，一個(gè)系統(tǒng)的熵與系統(tǒng)的混亂程度相關(guān)，熵越大，系統(tǒng)就越混亂。在我們的系統(tǒng)中，氣體系統(tǒng)通過擴(kuò)散由最初的平衡分布（圖2）到最終的平衡分布（圖4）。在整個(gè)擴(kuò)散過程中，由于A、B兩種氣體的相互摻入，系統(tǒng)的混亂程度不斷增大。當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到最終的平衡分布時(shí)，A、B兩種氣體相互滲透并形成均勻分布，系統(tǒng)的混亂程度達(dá)到最大，這與熵增加原理得到的結(jié)論一致。

圖4 系統(tǒng)經(jīng)擴(kuò)散達(dá)到平衡時(shí)氣體分子的分布，其中A、B兩種氣體分子數(shù)均為1000，小孔尺寸為1。Fig.4 The equilibrium distribution of the gas molecules after the diffusion process,where the number of molecules of gas A and gas B is 1000 respectively,and the pore size is 1.

系統(tǒng)處于平衡態(tài)并不意味著分子的空間分布絕對(duì)不變。在系統(tǒng)達(dá)到平衡之后，我們分別連續(xù)記錄了α區(qū)域內(nèi)的A氣體和B氣體分子數(shù)，并考察其隨時(shí)間的變化，圖5給出了相應(yīng)的模擬結(jié)果。由圖可以很明顯看出：系統(tǒng)達(dá)到平衡之后，α、β兩區(qū)域內(nèi)各成分氣體的分子數(shù)在平衡值附近仍存在一定的漲落，這說明氣體系統(tǒng)的平衡是一種動(dòng)態(tài)平衡。

圖5 系統(tǒng)平衡時(shí)，α區(qū)域內(nèi)A、B氣體分子數(shù)的漲落，其中兩中氣體分子總數(shù)均為1000。Fig.5 The fluctuation of the number of the molecules of gas A and gas B inαregion when the system is at the equilibrium state,where the number of molecules of both the two gas is 1000 respectively.

圖6 （a）初始分子數(shù)不同時(shí)，氣體擴(kuò)散速率隨時(shí)間的變化；（b）小孔尺寸不同時(shí)，氣體擴(kuò)散速率隨時(shí)間的變化。其中，圖中的實(shí)線由公式（6）擬合得到。Fig.6 （a） The time dependence of the diffusion rate at two different initial number of molecules. （b） The time dependence of the diffusion rate at two different hole sizes.Here,the solid lines are fitted by eq. （6）.

在我們的模型中，A、B兩種氣體的分子質(zhì)量相同，因此公式（1）可表示為：

利用公式（6）所描述的函數(shù)關(guān)系可以對(duì)模擬結(jié)果進(jìn)行很好的擬合，如圖6中實(shí)線所示，這說明我們的模擬結(jié)果是與菲克定律一致的。

4 結(jié)論

本文用Monte Carlo方法模擬了理想氣體系統(tǒng)通過小孔的擴(kuò)散。模擬直觀展現(xiàn)了氣體分子通過小孔的擴(kuò)散過程，揭示了氣體分子位置的改變和分布特點(diǎn)。模擬得到的結(jié)果與實(shí)際擴(kuò)散過程定性一致。模擬結(jié)果表明，分子數(shù)密度分布的不均勻性是導(dǎo)致氣體擴(kuò)散的根本原因。當(dāng)系統(tǒng)經(jīng)過擴(kuò)散達(dá)到平衡時(shí)，系統(tǒng)將不會(huì)再回到最初的分布，這說明擴(kuò)散過程是一個(gè)不可逆過程。在擴(kuò)散過程中，系統(tǒng)的混亂程度不斷增大，從而導(dǎo)致熵不斷增大。氣體系統(tǒng)擴(kuò)散快慢與初始分子數(shù)以及小孔尺寸有關(guān)。初始分子數(shù)越多，系統(tǒng)擴(kuò)散越快；小孔尺寸越大，系統(tǒng)擴(kuò)散越快。模擬結(jié)果與菲克定律一致。

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［4］吳迪，奚博權(quán)．Monte Carlo 方法在物理教學(xué)中的應(yīng)用［J］．阜新礦業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，1993，12（3）：116-119．

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［8］趙凱華，羅蔚茵．熱學(xué)［M］．北京：高等教育出版社，2000：244-246．

Monte Carlo Simulation on the Diffusion of Ideal Gas

ZHOU Yan-li，WANG Chao，CHEN Ying-cai
（School of Physics and Electronics Engineering,Taizhou University,Taizhou 318000,China）

The diffusion of ideal gas through a small hole is simulated by using the Monte Carlo method.The simulation results exhibit the characters of the gas diffusion process visually. Simulation results indicate that, once the system diffuses to reach the equilibrium, it will not go back to the initial distribution, indicating that the diffusion is a nonreversible process naturally. During the diffusion process, the disorder degree of the system increases gradually.The diffusion is dependent on the initial number of molecules and the hole size.The more the initial number of molecules is,or the larger the hole size is,the more quickly the diffusion undergoes.The simulation results are in good agreement with the Fick’s law.

ideal gas;diffusion;Fick’s law;Monte Carlo simulation

周小莉）

O4-39；O552.3

A

1672-3708（2012）03-0005-06

2011-10-13；

2012-01-30

周艷麗（1979- ），女，河南南陽人，碩士，實(shí)驗(yàn)師，主要從事實(shí)驗(yàn)室管理及實(shí)驗(yàn)教學(xué)。