李小朝，劉愛超

（黃淮學院 數(shù)學科學系，河南 駐馬店 463000）

關于文科線性代數(shù)課程教學的幾點思考

李小朝，劉愛超

（黃淮學院 數(shù)學科學系，河南 駐馬店 463000）

在文科線性代數(shù)課程的教學中，合理地運用線性方程組知識，可以變抽象為直觀，變復雜為簡單。文科線性代數(shù)課程的分層教學既要充分考慮學生的數(shù)學基礎和數(shù)學認知能力，又要充分考慮學生對知識的不同需求和學習興趣，真正做到因材施教、因需施教。為了調(diào)動學生學習的積極性和主動性，應強化隨堂閉卷練習。

線性代數(shù)；線性方程組；矩陣；文科生

線性代數(shù)是大學公共課之一，由于概念抽象，計算復雜，令很多學生望而生畏，文科生更是如此。文科學生數(shù)學基礎普遍不好，容易對線性代數(shù)課程產(chǎn)生畏難情緒。如何才能讓文科學生學好線性代數(shù)，是任課教師不得不思考并必須面對的問題。以下筆者結(jié)合教學實踐，就文科線性代數(shù)課程的教學談幾點看法。

1 線性方程組知識的合理運用

線性方程組是線性代數(shù)教學的中心環(huán)節(jié)，矩陣、行列式、向量組的線性相關性、秩的求法、線性空間的基變換、坐標變換等，都與線性方程組有著直接或間接的聯(lián)系，同時學生中學階段學習過簡單的線性方程組知識，所以，由線性方程組引入問題，或利用線性方程組知識分析討論問題，學生容易接受。

1.1 從線性方程組出發(fā)引入課程教學

由線性方程組出發(fā)引入線性代數(shù)課程的教學內(nèi)容，是很多大學教師講授線性代數(shù)課程的共同選擇。由于學生在中學階段學習過簡單的線性方程組知識，所以在講解行列式和矩陣的概念之前，可以通過一些簡單線性方程組的求解來引入這些概念。例如：可以通過消元法給出二元一次線性方程組的解，然后把這些解寫成二階行列式的比值的形式，再進一步給出抽象的n階行列式的概念；可以通過介紹n個變量m個方程的線性方程組，把它的系數(shù)和變量都寫成整體的形式，即給出矩陣的概念。至于相對抽象的矩陣的初等變換，其實就是對應線性方程組消元的過程，因此可以一邊對方程組消元，一邊對矩陣進行初等變換，這樣學生十分容易接受。盡管線性方程組通常被視為一個抽象的數(shù)學對象，但是與線性代數(shù)的內(nèi)容相比它是具體的，學生容易接受和掌握。由線性方程組出發(fā)引入線性代數(shù)課程的教學內(nèi)容，舉例給出線性方程組的一些具體應用，可以幫助學生領會線性代數(shù)的內(nèi)涵，能使學生全面、深入地認識線性代數(shù)的研究對象，有利于激發(fā)學生的學習興趣。

1.2 利用線性方程組知識解釋抽象的概念

一些不易解釋清楚的線性代數(shù)概念，利用線性方程組知識來講解，往往能使問題簡單化。例如，求向量組的秩時，只需要將向量組中各向量作為列向量組成矩陣后，只作初等行變換將該矩陣化為行階梯形矩陣，則可直接寫出所求向量組的秩和極大無關組。

解：可以先把向量組作為列向量組成矩陣A，再利用初等行變換將A化為行最簡形矩陣B：

上面給出的是例1的完整解法，應該說教師在課堂上都能輕松地按此法講解?？墒牵捎谑谡n對象是文科生，“有相同的線性組合關系”這一概念，單靠教師的語言解釋學生很難弄明白。利用同解線性方程組知識可以幫助學生理解這一概念，盡管一般情況下線性方程組的內(nèi)容安排在向量組的線性相關性內(nèi)容的后面，這并不妨礙我們先拿來用。

同時成立，即矩陣A的列向量組與B的對應的列向量組“有相同的線性組合關系”。

2 分層次教學的有效實施

目前，線性代數(shù)等數(shù)學課程的分層次教學引起了高校的重視，在獲得了一些寶貴經(jīng)驗的同時，也有不少待完善之處。筆者認為，對于文科線性代數(shù)課程來講，分層時既要充分考慮學生的數(shù)學基礎和數(shù)學認知能力，又要充分考慮學生對知識的不同需求和學習興趣，真正做到因材施教，因需施教；宜把學生分成A、B兩個層次，應允許學生自愿選擇適合自己的層次。

A層次學生的數(shù)學基礎相對比較好，理解能力與領悟能力均較強，對數(shù)學有一定興趣。由于以后考研或者從事科學研究的需要，他們對線性代數(shù)有較高的需求。教師在教學過程中，可對教學內(nèi)容進行擴充，加大難度，拓展知識面；可采用啟發(fā)式、問題發(fā)現(xiàn)式等教學方法；對于教材中一些簡單的基本概念，可以先讓學生自學，然后在課堂上做簡要的講解；對于比較抽象的定理、公式等內(nèi)容，課堂上要進行詳細的推導和講解，要讓學生理解線性代數(shù)的內(nèi)涵，掌握線性代數(shù)的理論體系。

對于 A層次學生的教學，還要注重新知識的引入和傳授，以拓寬學生的視野，提高學生的學習興趣。例如，在講解矩陣的跡時，可以特別強調(diào)跡為零的矩陣。跡為零的矩陣就是對角線元素之和為零的矩陣，但是怎樣能得到這樣的矩陣呢？在讓學生思考之后，教師可以這樣講解：對任意給定的n階方陣A和B，可定義一種新的運算由此得到的矩陣都是跡為零的矩陣，而這種運算剛好是李代數(shù)中的一個最基本的運算，典型的李代數(shù)在矩陣上的實現(xiàn)都是跡為零的矩陣。這樣，可以讓學生看到，矩陣的跡這個古老的知識點在現(xiàn)代數(shù)學中仍然具有很強的生命力（李代數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學的一個主流研究方向）。再如，在講解線性空間的概念時，可以引入群的概念。線性空間所要滿足的四條法則，剛好就是交換群或者Abel群的定義，而群又是近世代數(shù)的基礎知識，在現(xiàn)代數(shù)學中也是一個很熱門的研究方向。通過引入群的概念，不但能提高學生的學習興趣，也有利于學生掌握線性空間的概念。

對于B層次的學生來說，線性代數(shù)的教學應以“夠用”為主要目的，即要能夠滿足學生學習后續(xù)課程的需要，要能夠滿足學生畢業(yè)后的工作需要。因此，在教學過程中，教師要結(jié)合教學重難點適當調(diào)整學時；要減少運算技巧的訓練，適當強化數(shù)學思想和方法的培養(yǎng)；要強化知識的直觀性和應用性，盡量通過實例或圖形來說明概念；要重視定理和公式的應用，一些定理的證明和公式的推導可以少講或不講；講解例題時要由易到難，由淺入深；要注重歸納類比、邏輯推理等方面的訓練，以提高學生的綜合能力。

3 作業(yè)的有效性

在文科線性代數(shù)課程的教學中，通常學生在課堂上回答問題的積極性非常高，課堂氣氛十分活躍，但不少學生并沒有真正理解相關知識的內(nèi)涵。課堂或課后作業(yè)對文科線性代數(shù)課程來講十分重要，它有利于學生掌握和鞏固學習內(nèi)容，也是教師了解學生對教學內(nèi)容掌握情況的有效途徑。

常規(guī)性作業(yè)一般是課后習題，它能滿足基本的教學需要。教師在布置作業(yè)時不僅要充分考慮學生的基礎和學習需求，還要根據(jù)分層次教學的需要體現(xiàn)層次性。教師評價作業(yè)的原則要明晰，要鼓勵學生根據(jù)典型例題進行題目變形，要通過有效的措施盡量杜絕抄襲作業(yè)現(xiàn)象。筆者認為，為了調(diào)動學生學習的積極性和主動性，隨堂閉卷練習是必不可少的。在一章講完后，教師要對章節(jié)的知識點進行歸納總結(jié)，并進一步明確所要達到的教學目標，然后安排一節(jié)課左右的時間進行閉卷練習。閉卷練習的題目應以課后的習題為主，不宜過難，但可以靈活地加入一些新的題型，以便在檢驗教學效果和督促學生獨立完成課后作業(yè)的同時，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力，提升學生的綜合素質(zhì)。

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2011-09-07

李小朝（1981―），男，河南新蔡人，講師，博士．

〔責任編輯 張繼金〕