程 躍，鄭 嚴

(1.成都大學工業(yè)制造學院，四川成都 610106;2.西南交通大學機械工程研究所，四川成都 610031)

0 引言

機械零件作為機構的重要組成部分，其可靠性程度對于整個機構的安全運行具有非常重要的意義.建立極限狀態(tài)方程(Limit State Function，LSF)是進行機械零件可靠性分析的前提條件，但在通常情況下，對于復雜的機構，機械零件的極限狀態(tài)方程與基本隨機變量之間不存在顯式關系.目前，解決這類問題常見的方法是利用響應面法(Response Surface Method，RSM)［1］和Kriging法［2］，其思路是將隱式極限狀態(tài)方程進行顯式化重構處理，然后再采用顯式極限狀態(tài)方程的可靠性分析方法進行機械零件的可靠度計算.雖然這2種方法在實際結構的可靠性分析中取得了一定的成果，但仍存在一些問題，比如，當結構極限狀態(tài)方程非線性程度較高時，RSM的二次多項式模型很難真實地刻畫極限狀態(tài)方程，若使用高階多項式模型，則待定系數(shù)較多，需要更多的樣本點，從而導致計算效率下降［3］.因此，在RSM的基礎上有學者提出了非參數(shù)化的RS模型—Kriging方法，該方法在一定程度上解決了對高度非線性方程的近似，但是其建模過程也更為復雜［3］.

支持向量機(Support Vector Machine，SVM)［4，5］是Vapnik等根據(jù)統(tǒng)計學習理論中結構風險最小化原則提出的借助最優(yōu)化方法的機器學習系統(tǒng).SVM具有優(yōu)良的小樣本學習和預測能力，具有良好的泛化性能，能克服傳統(tǒng)的“維數(shù)災難”難題.本研究通過對國內外相關文獻的分析發(fā)現(xiàn)，機械零件可靠性分析目前常用的方法有一次二階矩法、隨機有限元法和蒙特卡羅法等，但很少有將SVM應用于機械零件可靠性分析中［6－8］.基于此，本研究利用支持向量機回歸(Support Vector Regression，SVR)來擬合隱式極限狀態(tài)方程，結合改進的一次二階矩法，給出了基于SVR的機械零件可靠性分析方法，并用2個算例證了該方法的可行性、正確性和計算精度.

1 SVR描述

設l個給定的數(shù)據(jù)樣本對，{(x1，y1，x2，y2，…，xl，yl)}，其中，xi=［x1i，x2i，…，xni］為n維輸入向量，yi為對應的輸出向量，i=1，2，…，l.SVR就是在高維特征空間中尋找一個線性函數(shù)，f(x)=wФ(x)+ b，其中，Ф(x)為非線性映射函數(shù)，以便用f(x)來預測任一輸入x所對應的輸出y值［9－11］.通常，SVR需定義ε線性不敏感損失函數(shù)，L(f(x)，y，ε)，如圖1所示.

圖1 ε線性不敏感損失函數(shù)

式中，y為真實輸出值，f(x)為預測輸出值，ε為線性不敏感損失函數(shù)，表示當f(x)與y之間的差值在［－ε，ε］范圍內時，該損失等于0，是可以忽略的.

同時，引入松弛變量ζi和ζ*i，確定函數(shù)f(x)= wФ(x)+b，中的w和b值可轉換為求解如下優(yōu)化問題［5，9－11］:

式中，C為懲罰因子.引入Lagrange函數(shù)可得到優(yōu)化問題(2)的對偶形式［5，9－11］:

式中，αi和 α*i為Lagrange乘子向量，K(xi，xj)= Ф(xi)Ф(xj)為核函數(shù).

求解式(3)得最優(yōu)解，

則，

式中，N為支持向量個數(shù)，SV為支持向量集.

則，回歸預測函數(shù)f(x)為，

2 基于SVR的機械零件可靠性分析流程

基于SVR的機械零件可靠性分析流程如圖2所示.

在對機械零件進行可靠性分析時，一般對于較為復雜的機構而言，零件的極限狀態(tài)方程，Z= g(X)，與影響其可靠性的n個隨機變量，X1，X2，…，Xn，之間不存在顯式關系，導致機械零件的可靠性分析需付出較大的計算代價.對此，我們利用SVR優(yōu)良的小樣本學習和預測能力對隱式極限狀態(tài)方程進行顯式化重構處理，結合改進的一次二階矩法，給出一種基于SVR的機械零件可靠性分析方法，其具體步驟為:

圖2 基于SVR的機械零件可靠性分析流程示意圖

(1)在進行SVR訓練之前，首先采用中心復合抽樣方法獲得一定數(shù)量的數(shù)據(jù)樣本點x，由Ansys分析計算每個樣本點xi對應的輸出yi，從而獲得一定數(shù)量的樣本對.一般情況下，機械零件可靠性分析中的隨機變量為零件所承受的外載荷、零件的幾何形狀和尺寸、零件材料的物理特性等，這些隨機變量各自的取值范圍差別較大，在SVR訓練中容易出現(xiàn)不穩(wěn)定性和泛化性差的現(xiàn)象.所以，在SVR訓練程序之前應加入歸一化數(shù)據(jù)程序，訓練測試完畢之后再反歸一化輸出數(shù)據(jù).

(2)對樣本對進行數(shù)據(jù)歸一化處理后，本研究參考林智仁教授的LIBSVM分析軟件進行SVR訓練.通過反復調試和測試SVR模型精度，選取合適的核函數(shù)和SVR參數(shù)，從而獲得高精度的顯式化極限狀態(tài)方程.通過假定初始設計點并對各隨機參數(shù)進行標準化變換，利用改進一次二階矩法求解機械零件可靠性指標β值.

3 算 例

下面通過1個假定的隱式極限狀態(tài)函數(shù)算例和1個實際工程算例來驗證本文所提方法在機械零件可靠分析中的可行性、正確性和計算精度.

3.1 數(shù)值算例

設極限狀態(tài)函數(shù)為，

式中，x1，x2，x3為獨立標準正態(tài)分布的隨機變量.各隨機變量的均值和標準差為，μx1=3，σx1=0.6，μx2=5，σx2=0.75，μx3=8，σx3=0.8.

按照前述抽樣策略，抽取110個樣本，并將其全部作為訓練樣本，其中隨機抽取30個作為測試樣本.將所有樣本對進行數(shù)據(jù)歸一化處理后，反復調試，選取多項式核函數(shù)，K(xi，xj)=［G×(xi·xj)+ r］d，ε-SVM回歸，G=3，r=1，d=3，損失函數(shù)，ε=0.0001，懲罰參數(shù)，C=1 000.將訓練樣本對進行SVR訓練，然后用測試樣本對進行檢驗，最大絕對誤差為0.0185，最小絕對誤差為0.0001，其相對誤差曲線如圖3所示.

圖3 相對誤差曲線

圖3所示相對誤差曲線表明，SVR預測精度較好，證明了用SVR模型替代真實極限狀態(tài)方程進行可靠性分析是可行的.

同時，利用本文方法和MC法計算其失效概率和可靠度指標結果列于表1.

表1 數(shù)值算例的計算結果

從表1數(shù)據(jù)可以看出，本文方法的計算結果非常接近MC法的結果，驗證了本文方法的正確性和計算精度.

3.2 工程算例

計算某剪切機上聯(lián)接銷可靠性，此聯(lián)接銷共有2個，用來聯(lián)接油缸活塞桿(剪切缸桿)與刀架小車.在組件剪切過程中，推力由活塞桿的端頭承受，當剪切完成后，活塞桿收縮，通過聯(lián)接銷帶動刀架小車運動，聯(lián)接銷承受剪切缸桿的拉力.聯(lián)接銷承受載荷和約束情況如圖4所示.

圖4 聯(lián)接銷承受載荷與約束示意圖

根據(jù)此聯(lián)接銷的實際工作情況，選擇外載荷、彈性模量、泊松比、屈服極限以及聯(lián)接銷與其他物體之間的摩擦系數(shù)作為輸入變量.各變量的統(tǒng)計參數(shù)如表2所示.

表2 聯(lián)接銷各變量統(tǒng)計參數(shù)

根據(jù)“應力—強度干涉”模型可得出聯(lián)接銷的極限狀態(tài)方程為，

根據(jù)前述抽樣策略，抽取200個樣本點，利用有限元分析計算得到每一個樣本點對應的f(E，γ，F(xiàn)，F(xiàn)r)數(shù)值解，從而得到200個樣本對.將獲得的200個樣本對全部作為訓練樣本對，隨機抽取50個作為測試樣本對.將輸入樣本對進行數(shù)據(jù)歸一化處理后，經(jīng)過參數(shù)調試，選取多項式核函數(shù)，ε-SVM回歸，G =26，r=1，d=6，損失函數(shù)，ε=0.0005，懲罰參數(shù)，C=109.將本文方法與MC法和RSM進行比較，計算結果見表3.

表3 工程算例的計算結果

從表3數(shù)據(jù)可以看出，本文方法與RSM的計算效率相當，均比MC法效率高.并且本文方法的計算結果最為接近MC法的結果，相對誤差較小，計算精度高.

4 結 論

以SVR為極限狀態(tài)方程的重構工具，擬合實際機械零件的隱式極限狀態(tài)方程，結合改進的一次二階矩法，提出了一種基于SVR的機械零件可靠性分析方法.該方法充分利用了SVR優(yōu)良的小樣本學習能力，全局尋優(yōu)和良好的泛化性能，提高了可靠性計算的效率和精度.同時，本文通過數(shù)值算例證明了用SVR模型替代真實極限狀態(tài)方程進行可靠性分析是可行的，并利用該方法對某剪切機上的聯(lián)接銷進行可靠性分析，方法的計算結果最為接近MC法的結果，相對誤差較小，計算精度高.

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