賈明斌，趙大亮

(1.山東職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部，山東濟(jì)南 250104;2.山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東濟(jì)南 250014)

1 預(yù)備知識

X表示全序集，設(shè)TX為X上的完全變換半群，f∈TX，若對任意的x∈X，都有f(x)≥x，則稱，f為增序完全變換.X上的所有的增序完全變換關(guān)于完全變換的復(fù)合做成一個(gè)半群，記為T+(X).設(shè)E為X上的等價(jià)關(guān)系，f∈TX，若(x，y∈X)(x，y)?(f(x)，f(y))∈E，則稱，f為保E的完全變換.X上的所有保E的完全變換構(gòu)成 TX的一個(gè)子半群，記為TE(X).令，

則，T+E(X)為TE(X)的子半群.

設(shè)θ∈T+E(X)，在集合T+E(X)上定義運(yùn)算如下，

此外，fθg為通常完全變換的復(fù)合，則在此新定義的運(yùn)算下得到一個(gè)新的半群，稱其為保E增序完全變換的變量半群，將其記為，T+E(X;θ).類似定義，TE(X;θ)，F(xiàn)E(X;θ).顯然，TE(X;θ)和FE(X;θ)都為T+E(X;θ)的擴(kuò)半群.在本研究中，我們將討論T+E(X;θ)上的格林*關(guān)系的刻畫.

用π(f)表示由X上的完全變換f所誘導(dǎo)的X上的一種分化，即，

定義，f*:π(f)→f(X)如下，f*(F)=f(F)，F(xiàn)∈π(f).顯然，f*為雙射.對X上的任子集A?X，記，

設(shè)f∈T+(X)，則有，f∈T+E(X)，當(dāng)且僅當(dāng)對任意B∈X/E存在B′∈X/E，使得，f(B)?B′.因此，若f∈T+E(X)，則對任意的A∈X/E，f-1(A)要么為一些E-類的并，要么為空集.對任意f∈T+E(X)記，

顯然，E(f)也是X的一種分化，由π(f)，E(f)的定義知，對任意的M∈π(f)都包含在某個(gè)U∈E(f)中，即π(f)細(xì)化E(f).

設(shè)E為X上的等價(jià)關(guān)系，Y，Z為X的子集，f:Y→Z為一映射.若對(x，y)∈E，都有，(f(x)，f(y))∈E，則f稱為保E的.若，(x，y)∈E，當(dāng)且僅當(dāng)(f(x)，f(y))∈E，則f稱為保E*的.顯然，f為保E的未必是保E*的.

2 T+E(X;θ)上的格林*關(guān)系

定理1 設(shè)f，g∈T+E(X;θ)，f≠g，則以下結(jié)論等價(jià):

(iii)存在一個(gè)保E*雙射，＞:f(X)→g(X)，使g=＞f，而且θ|f(x)和θ|g(x)為保E*的單射.

證明 (i)?(ii).

設(shè)(f，g)∈L*，則在T+E(X;θ)的擴(kuò)半群中存在h，k，使f=k?g=kθg，g=h?f=hθf.由此及f，g∈T+E(X;θ)知，h，k∈TE(X;θ).由f=kθg知，π(g)細(xì)化π(f)，由g=hθf知，π(f)細(xì)化π(g).所以，π(f)=π(g).

又，f=(kθ)(hθ)f，所以，θ|f(x)是單射，進(jìn)而有，π(θf)=π(f).類似地，θ|g(x)是單射，所以，π(θg)=π(g).從而有，

下面證明，

取U∈E(f)，則存在A，B，C∈X/E，使，

從而有，

所以，

從而可得，E(f)細(xì)化E(g).類似地，E(g)細(xì)化E(f)，故，E(f)=E(g).

顯然，E(f)細(xì)化E(θf).下設(shè)，V∈E(θf)，則存在A′，B′∈X/E，使

所以有，

進(jìn)而有，

所以，E(θf)細(xì)化E(f)，從而有，E(θf)=E(f).類似地，E(θg)=E(g).從而有，

因?yàn)椋?θf)=π(f)，π(g)=π(θg)，所以，θ|f(x)和θ|g(x)都為單射，又，E(θf)=E(f)，E(g) =E(θg)，所以，θ|f(x)和θ|g(x)都為保E*的.

定義，

顯然，＞為良定義的，而且，g=＞f.設(shè)x，y∈f(X)，則f-1(x)，f-1(y)為π(f)=π(g)中的不同元素，從而有，

故，＞ 為單射.又對 ?y∈ g(X)設(shè)，x= f(g-1(y))，則，

從而＞為滿射，所以＞為雙射.

下面證明＞為保E*的.

取，(x，y)∈E，x，y∈f(X)，則有，

f-1(y)包含在同一個(gè)U∈E(f)=E(g)內(nèi)，?(＞(x)，＞(y)=(gf-1(x)，gf-1(y))∈E，即＞為保E*的.

假設(shè)條件(iii)成立，只需在T+E(X;θ)的擴(kuò)半群TE(X;θ)中找到h，k，使得，

即可.

取A∈X/E，令A(yù)′=A∩θf(X)，以下根據(jù)A′可分兩種情況進(jìn)行討論:

(1)若A′=＞，定義，h(x)=x，x∈A;

(2)若A′≠＞，設(shè)x，y∈A′，則存在x′，y′∈X，使得，

又，(x，y)=(θf(x′)，θf(y′))∈E，且θ|f(x)為保E*的，從而有，(f(x′)，f(y′))∈E.

設(shè)f(x′)∈B，存在B，C∈X/E，使＞(B)?C.取定c∈C，定義，

若存在x″∈X，使，x=θf(x″)=θf(x′)∈A′，又 θ|f(x)是單的，所以，f(x″)=f(x′)，從而有，＞(f(x″))=＞(f(x′))，故h在A上是良定義的.

類似地，可得h在X上是良定義的.

下面證明，h∈TE(X;θ).

設(shè)(x，y)∈E，則存在A∈X/E使得x，y∈A，令A(yù)′=A∩θf(x).同樣，分兩種情況進(jìn)行討論:

(1)A′=＞，則(h(x)，h(y))=(x，y)∈E.

(2)A′≠＞，則分以下幾種情況討論:①若x，y∈A′，則存在x′，y′∈X，使，(x，y)=(θf(x′)，θf(y′))∈E，又θ|f(x)為保E*的，從而有，(f(x′)，f(y′))∈E，又＞ 為保E的，從而有，(h(x)，h(y))= (＞(f(x′))，＞(f(y′)))∈E;②若x，y∈A-A′，則h(x)=h(y)=c，顯然，(h(x)，h(y))∈E;③若x∈A-A′，y∈A′，則存在y′∈X，使y=θf(y′)，由h的定義知，(h(x)，h(y))=(c，＞(f(y′)))∈E，所以，h∈TE(X;θ).

下面證明，

取x∈X，令x′=θf(x)，則，

從而有，

類似地，存在k∈TE(X;θ)，使，f=kθg，所以，

定義1 設(shè)φ:π(f)→π(g)，若對任意的E類-A，都存在，B∈X/E，對每一個(gè)P∈πA(f)，都有θ(B)∩φ(P)≠＞，則φ稱為容許Eθ的.另外，若φ為雙射，而且φ，φ-1都是容許Eθ的，則φ稱為容許E*的.θ

定理2 設(shè)f，g∈TE+(X;θ)，則以下結(jié)論等價(jià):

(ii)對任意的E-類A，都存在B，C∈X/E，使，

(iii)存在一個(gè)容許 E*θ的雙射，ψ:π(f)→π(g)，使，f*=g*ψ.

證明 (i)?(ii).

設(shè)(f，g)∈R*，則存在T+E(X;θ)的某個(gè)擴(kuò)半群中元h，k，使，

由此及f和g為保E的知，h，k∈TE(X，θ).

對任意的E-類A，都存在，B，C∈X/E，使h(A)?B，k(A)?C，從而有，

由(ii)知，f(X)=g(X)，現(xiàn)定義，ψ:π(f)→π(g)，如下，

顯然，ψ為良定義雙射，而且，f*=g*ψ.

下面證明ψ為容許E*θ的.

設(shè)A∈X/E，存在B∈X/E，使f(A)?gθ(B).記，

則，xi∈f(A)?gθ(B)，而且存在，y∈θ(B)，使xi=g(y)，從而有，y∈θ(B)∩g-1(xi)，進(jìn)而有，

所以，ψ為容許Eθ的.

類似地，ψ-1為容許Eθ的.

故，由定義可知，ψ:π(f)→π(g)，為容許E*θ的雙射.

假設(shè)(iii)成立，以下在擴(kuò)半群中找h，k，使，

對任意的E-類A，設(shè)B∈X/E，使得，

對任意x∈A，令Px=f-1(f(x))，取z∈θ(B)∩ψ(Px)，則存在，y∈B，使z=θ(y).

定義，h(x)=y，顯然h存在.記，

則有，

從而有，類似地，存在k，使，g=fθk.從而有，(f，g)∈R*.

由以上兩個(gè)定理可立即得出以下結(jié)論.

定理3 設(shè)f，g∈T+E(X;θ)，則以下結(jié)論等價(jià):

(ii)π(θf)=π(f)=π(g)=π(θg)，E(θf)= E(f)=E(g)=E(θg)，同時(shí)對任意的E-類A，都存在，B，C∈X/E，使，f(A)?gθ(B)，g(A)?fθ(C).

定理4 設(shè)f，g∈T+E(X;θ)，則以下結(jié)論等價(jià):

(ii)存在一個(gè)容許E*θ的映射，ψ:π(f)→π(g)和一個(gè)保E*雙射，＞:f(X)→g(X)，且＞可表示為兩個(gè)雙射的乘積，使＞f*=g*ψ，而且，θ|f(X)和θ |g(X)都是保E*單射.

證明 (i)?(ii).

設(shè)(f，g)∈D*，則在T+E(X;θ)的擴(kuò)半群中存在h，k，使，

則由定理2知，

而且存在保E*雙射，＞1:f(X)→h(X)，使得，h =＞1f，從而有，h*=＞1f*.而且由定理1知，θ|f(X)和θ|h(X)均為保E*單射.

類似地，存在保E*雙射，＞2:k(X)→g(X)，使得，g=＞2k，從而有，g*=＞2f*.而且由定理1知，θ|k(X)和θ|g(X)均為保E*的單射.

又由定理2知，h(X)=k(X)，從而存在容許E*的雙射ψ使，h=kψ.θ**

綜上可得，

進(jìn)而可得，

所以，＞ =＞2＞1.ψ即為所求，命題得證.

只需找到h，k，使，

由于＞可表示為兩個(gè)雙射的乘積，設(shè)這兩個(gè)雙射為＞1，＞2，＞ =＞2＞1.

(1)先定義h.令π(f)=π(h)，設(shè)，＞1:imf→imh，即h=＞1f，從而h被確定.

(2)再定義k.令π(k)=π(g)，設(shè)＞2:imk→img，即g=＞2k，從而k被確定.

下面只需證明k，h有R*關(guān)系即可.由前面有，

代換得，

又，h=＞1f，即得，h*=＞1f*.由g=＞2k得，g*=＞2k*.又，＞f*=g*ψ，變換得，h*=k*ψ，由定理2得，hR*k.

綜上得，

從而有，

由預(yù)備知識知，αL*β時(shí)，kerα=kerβ，顯然有，|imα|=|imβ|;由預(yù)備知識知，αR*β時(shí)，imα= imβ，顯然有，|imα|=|imβ|.從而可得出以下引理，

引理1(α，β)∈T+E(X;θ)，若α∈J*(β)，則|imα|≤|imβ|.

進(jìn)而可得以下推論，

推論1 在T+E(X;θ)中，有D*=J*.

［1］Howie J M.Fundementals of Semigroup Theory［M］.New York:Oxford University Press，1995.

［2］Hall T E.Congruence and Green＇s Relations on Regular Semigroups［J］.Glasgow Mathematical Journal，1972，13(2): 167-175.

［3］Pei Huisheng.Regularity and Green＇s Relation for Semigroups Transformations Preserving an Equivalence Relation［J］. Commmunications in Algebra，2005，33(1):109-118.

［4］Pei Huisheng，Zou Dingyu.Green＇s Equivalences on Semigroups of Transformations Preserving Order and an Equivalence Relation［J］.Semigroup Forum，2005，71(2):241-251.