劉栩粼 謝崇波②

①四川信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院電子與物聯(lián)網(wǎng)學(xué)院

②四川信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院軟件學(xué)院

本文針對(duì)小車倒立擺系統(tǒng)在控制過程中存在的不確定性和外部擾動(dòng)，提出了一種H∞魯棒LQR控制器。首先，建立I級(jí)小車倒立擺的線性數(shù)學(xué)模型；然后，分別基于Riccati方程和LMI算法設(shè)計(jì)H∞魯棒LQR控制器；最后，進(jìn)行了仿真驗(yàn)證與分析。研究結(jié)果表明，H∞魯棒LQR控制方法不僅調(diào)節(jié)時(shí)間短，而且能補(bǔ)償系統(tǒng)所受到的內(nèi)外干擾，保證了系統(tǒng)的魯棒性和穩(wěn)定性，較好地滿足了系統(tǒng)性能要求。

1 引言

小車倒立擺系統(tǒng)（Cart-pole inverted pendulum system）作為一個(gè)典型的非線性欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)[1]，被眾多科研學(xué)者用于驗(yàn)證控制算法的正確性和可行性。比如，彭錦等人研究了線性二次型最優(yōu)控制算法在小車倒立擺控制系統(tǒng)中的應(yīng)用，得出二次最優(yōu)控制不僅實(shí)現(xiàn)了二級(jí)直線倒立擺的穩(wěn)定控制，并且具有較強(qiáng)的抗干擾能力[1]；文獻(xiàn)2基于小車倒立擺控制系統(tǒng)開設(shè)了《自動(dòng)控制原理實(shí)驗(yàn)》教學(xué)實(shí)踐課程，提高了課程組實(shí)驗(yàn)教學(xué)整體水平。但目前大多數(shù)控制方法都依賴于倒立擺控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析，模型與模型之間存在著偏差以及受到外部干擾等，會(huì)使系統(tǒng)無法獲得理想的控制效果[3]。

為了解決上述問題，許多學(xué)者將魯棒控制方法（Robust Control Method,RCM）應(yīng)用于小車倒立擺系統(tǒng)。屠永等人針對(duì)倒立擺不確定系統(tǒng)的魯棒性問題，只考慮被控系統(tǒng)模型的參數(shù)攝動(dòng)對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的影響，對(duì)系統(tǒng)的輸出反饋進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)[4]；文獻(xiàn)5在文獻(xiàn)4的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了基于LMI算法的魯棒H∞控制器，使倒立擺系統(tǒng)具有更好的抗干擾性；李樹奎[6]等人研究了倒立擺的虛擬現(xiàn)實(shí)仿真教學(xué)平臺(tái)，所設(shè)計(jì)的控制器能使系統(tǒng)具有更好的穩(wěn)定性；劉微微[7]等人通過增加系統(tǒng)自身的擾動(dòng)及LQR控制器中加權(quán)陣R的改變，驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的控制方法的魯棒穩(wěn)定性。

參考文獻(xiàn)5至7魯棒控制方法，本文在軌跡跟蹤控制過程中，存在擺桿質(zhì)量不確定性和外部擾動(dòng)的情況下，主要以級(jí)小車倒立擺系統(tǒng)為研究對(duì)象，首先，建立其線性化的數(shù)學(xué)模型[9-11]，接著，分別基于算法設(shè)計(jì)控制器，最后分別進(jìn)行仿真驗(yàn)證與分析。研究結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的魯棒控制器，不僅調(diào)節(jié)時(shí)間短，并且能較好地補(bǔ)償系統(tǒng)所受到的內(nèi)外干擾，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，實(shí)時(shí)控制性好，有利于工程的實(shí)際應(yīng)用。內(nèi)容安排如下：在第二節(jié)中，介紹級(jí)小車倒立擺系統(tǒng)的非線性數(shù)學(xué)模型；第三節(jié)設(shè)計(jì)基于算法的控制器；第四節(jié)展示所提出的控制方法的有效性，即倒立擺的擺桿和小車的位置、小車速度、擺桿角度、擺桿角速度以及控制輸入量等5種響應(yīng)的MATLAB/Simulink仿真結(jié)果。最后，在第五節(jié)中，對(duì)所提出的控制方法進(jìn)行總結(jié)。

2 垂直起降飛行器模型

線性模型如下所示。

圖1 小車倒立擺物理模型

表1 倒立擺結(jié)構(gòu)參數(shù)表

根據(jù)拉格朗日方程[15]，且滿足擺桿轉(zhuǎn)角為小角度，即，可得到級(jí)小車倒立擺系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，如下所示。

將以上的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的LQR最優(yōu)控制問題模型，則可得到以下系數(shù)矩陣：

3 H∞魯棒LQR控制器設(shè)計(jì)

從模型式（2）中不難發(fā)現(xiàn)，在擺桿質(zhì)量不確定的基礎(chǔ)上，加入干擾項(xiàng)，增加了對(duì)倒立擺系統(tǒng)控制的難度[16]，因此，本文基于算法設(shè)計(jì)一個(gè)H∞魯棒控制器。

針對(duì)以下不確定線性系統(tǒng)：

（2）閉環(huán)系統(tǒng)在LQR意義下是最優(yōu)的；

則式（5）等價(jià)于：

可得到，擾動(dòng)抑制性能等價(jià)于式（8）：

3.1 Riccati方程的H∞控制LQR控制器

針對(duì)式（3），設(shè)計(jì)反饋控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且滿足式（8）的充分必要條件是：方程。

3.2 LMI的H∞控制LQR控制器

線性矩陣不等式（Linear Matrix Inequality，LMI）技術(shù)是控制科學(xué)、系統(tǒng)辨識(shí)、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)等領(lǐng)域里有效工具。許多控制理論、分析及綜合問題都可以通過構(gòu)造技術(shù)來進(jìn)行求解。

在式（18）反饋下，閉環(huán)系統(tǒng)具有魯棒H∞性能指標(biāo)，即：

4 仿真結(jié)果

結(jié)合小車倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型式3、表1，設(shè)小車的質(zhì)量和擺桿為剛體，在外界存在干擾的情況下，擺桿的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼?.2倍時(shí)，取其他數(shù)據(jù)在第3節(jié)中已經(jīng)提供，分別利用第3.1節(jié)、3.2節(jié)中算法對(duì)控制器進(jìn)行求解狀態(tài)反饋控制器。最后，得到仿真結(jié)果如圖2～圖4所示。

圖2 響應(yīng)過程

圖3 跟蹤過程

圖4 兩種輸入控制力的跟蹤過程

5 結(jié)束語(yǔ)