[摘 要] 對(duì)于可逆MA(1)模型，在正態(tài)白噪聲假設(shè)下和精確的參數(shù)的似然函數(shù)的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)復(fù)雜計(jì)算推導(dǎo)出模型參數(shù)的 Fisher信息陣。

[關(guān)鍵詞]MA(1)模型 似然函數(shù) Fisher信息陣

一、引言

滑動(dòng)平均模型是時(shí)間序列分析中常見(jiàn)的模型之一.關(guān)于該模型的很多文章一般是從近似的似然函數(shù)出發(fā)做進(jìn)一步的理論推導(dǎo)，這樣會(huì)得出不精確的結(jié)果，理論上的不完善限制了該模型的廣泛應(yīng)用。

有鑒于此，本文在假定可逆模型:

中白噪聲序列 是正態(tài)的條件下，使用精確的似然函數(shù)求出參數(shù) 的Fisher信息陣，以便進(jìn)一步研究模型參數(shù)的理論推斷方面的問(wèn)題和模型的應(yīng)用。

二、Fisher信息陣

引理2.1 對(duì)于 模型(1.2)， 假定是正態(tài)的，則 序列 在相鄰n個(gè)時(shí)刻的觀測(cè)值

的聯(lián)合分布為：

(2.1)

其中，， 而參數(shù) 基于

的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：

(2.2)

定義2.1設(shè) X為一歐氏空間，B 為其上Borel子集構(gòu)成的-域，為B上的一-有限測(cè)度， 為定義于B上的一族概率測(cè)度， 對(duì) 有密度函數(shù) 則定義 關(guān)于的信息陣為(若下式中均值存在

引理2.2在引理2.1的記號(hào)下，關(guān)于參數(shù)的信息陣為：

其中，

(2.8)

證明：記

則由可知， 基于的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：

由此可得：

的Fisher信息陣

可以表為：

(2.16)

而利用下列等式

由及(2.10)-(2.15)經(jīng)復(fù)雜計(jì)算可得：

最后， 注意到由(2.9)可得從參數(shù) 到

的Jacobi矩陣為：

而關(guān)于參數(shù) 的信息陣為：

由此及(2.16)-(2.23)即得(2.4)。

推論2.1在引理2.1的記號(hào)下， 關(guān)于參數(shù) 的

信息陣為：

證明：注意到從參數(shù) 到

而關(guān)于參數(shù) 的 信息陣為：

由此及引理2.2和(2.30)即得(2.24)。

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