俄國教育家烏申斯基說：直觀的教學(xué)不是以抽象的概念和詞語為根據(jù)，而是以兒童直接感知的具體形式為根據(jù)。認(rèn)識過程的第一階段，即生動的直觀，在一定程度上是通過直觀教學(xué)實(shí)現(xiàn)的。在各種類型的直觀性現(xiàn)象中(實(shí)物的、圖畫的、符號的)，數(shù)學(xué)教學(xué)里廣泛使用的是符號的直觀性(圖形、圖像、圖式、圖表)。符號直觀性的手段是個約定的符號體系，借助于這個體系，把所研究的物體、現(xiàn)象和過程的那個側(cè)面，同其他的性質(zhì)區(qū)別開來，并表現(xiàn)為純粹的形式。例如，一般使用的圖形就是直觀性的手段，因?yàn)樗阉芯康奈矬w的幾何形狀(結(jié)構(gòu))同這個物體的其他性質(zhì)區(qū)別開來，并且把它表示成純粹的形式。但是，符號的直觀性不是一下子就能明確起來的。符號的直觀性作為約定的符號體系，實(shí)質(zhì)上是一種特殊的語言，為了明白它的意義，必須象對待所有的語言一樣，專門地進(jìn)行學(xué)習(xí)。只有這樣，符號的直觀性才能成為有效的教學(xué)手段。而一般來說，數(shù)學(xué)直觀性教學(xué)包括下面三個方面的途徑。

一、數(shù)學(xué)知識的具體化

數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐?？梢哉f，任何抽象的數(shù)學(xué)概念、命題、甚至數(shù)學(xué)思想和方法都有具體、生動的現(xiàn)實(shí)原型。下面則進(jìn)一步說明直觀性在數(shù)學(xué)概念形成過程中的作用。概念的形成是從形成最簡單形式的認(rèn)識即感覺開始，并按照如下圖式進(jìn)行的復(fù)雜的心理過程：感覺——感知——表象——概念。這個過程通常分為兩個階段：感性階段，即形成感覺、感知和表象的階段，理性階段，即對表象進(jìn)行概括和抽象而形成概念的階段。

概念形成過程的感性階段，對應(yīng)于認(rèn)識途徑的第一階段，即“生動的直觀”，因而，完成這個階段要求利用直觀的手段。如果學(xué)生從來沒有看到過立方體的模型，他就不能有立方體的印象，因而也就不可能形成立方體的概念。在形成概念的過程中，如果運(yùn)用直觀性促進(jìn)了過程的發(fā)展，幫助學(xué)生概括和抽象出所要形成的概念的本質(zhì)特征，那么，運(yùn)用直觀性才是有效的。為了形成立方體的概念，必須給學(xué)生看一些形狀、大小、顏色和制作材料不同的物體的幾何體。再給學(xué)生看這些物體之中的一個，并且對他們說，這就是立方體，然后，在忽略大小、顏色和制作材料的差別的情況下，學(xué)生(在一年級已經(jīng)能夠)一點(diǎn)不差地從物體的幾何體中拿出所有的也具有這種形狀的物體。在這里，從物體的集合中分出子集，分辨出屬于同一類的物體，都是按照一個還沒有充分分析的特征即外部形狀進(jìn)行的。兒童習(xí)慣按照形狀辨認(rèn)立方體，還沒有認(rèn)識它的各種性質(zhì)。

形成立方體概念的下一步工作是分析這個形狀，以便弄清楚它的性質(zhì)。為此同樣也利用直觀的材料，讓學(xué)生通過觀察，找到取出的所有形狀為立方體的物體的共同之處，以及它們同剩下的物體之間的區(qū)別，確信所有的立方體都有8個頂點(diǎn)和6個面。但是有一些我們沒有列為立方體的物體，也有8個頂點(diǎn)和6個面，于是發(fā)現(xiàn)正方體的所有的面都是正方形。

可以看出，這樣利用直觀材料效果更好，因?yàn)樗龠M(jìn)學(xué)生進(jìn)行“概括”，即找出所有的立方體都具備的共同性質(zhì)。形成立方體概念還剩下幾個步驟是抽象化，即把這些一般性質(zhì)從其他的非本質(zhì)的性質(zhì)中區(qū)分出來。下一步，即在構(gòu)成邏輯上有次序的概念體系時，學(xué)生將自己得出結(jié)論，立方體是長方體的一種。在這個對立統(tǒng)一之中存在著概念發(fā)展的辯證法。上面的例子表明，在形成概念的過程中利用直觀材料，應(yīng)當(dāng)向?qū)W生的概括和抽象的活動發(fā)展。例如，任意兩個有理數(shù)之間的有理數(shù)集合的無限性，不能有具體感知包含這個集合的有限線段而得到證實(shí)，相反地，卻成為用來反駁的材料。有理數(shù)集的稠密性這個性質(zhì)，不能通過實(shí)驗(yàn)的方法來發(fā)現(xiàn)，它不是根據(jù)幾何的直觀形象來證實(shí)，而是根據(jù)邏輯推理確定的。這個例子證實(shí)了蘇聯(lián)的心理學(xué)家們的結(jié)論，對直觀材料的感知，由于這個材料的客觀特殊性，不僅能起正面的作用，有時還能起反面的作用。

二、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)演示

科學(xué)學(xué)習(xí)是知識不斷內(nèi)化的活動。教一個活動的最好方法是演示，學(xué)一個活動的最好方法是做。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)的模式是“教師講授——模仿練習(xí)——強(qiáng)化記憶——測驗(yàn)講評”。數(shù)學(xué)知識形成的過程被淡化了，數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)探索過程湮滅于機(jī)械訓(xùn)練的海洋中，這使得學(xué)生思維易形成定勢、創(chuàng)新意識薄弱，波利亞認(rèn)為“數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面，一方面是歐幾里德式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這個方面看，數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)演繹科學(xué)，但是另一方面，在創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)，看起來卻像是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)”。他認(rèn)為，與其他自然科學(xué)一樣，實(shí)驗(yàn)在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程中同樣是重要的。數(shù)學(xué)教學(xué)要結(jié)合教材內(nèi)容，適當(dāng)?shù)膭?chuàng)設(shè)學(xué)生動口、動手、動腦的機(jī)會，感知知識的形成、發(fā)展過程。如華師大版本中對稱圖形的教學(xué)，讓學(xué)生在紙上滴上墨點(diǎn)，然后將紙折疊，這樣就得到了一副對稱圖形，并且對稱軸也自然得出。

三、數(shù)學(xué)教學(xué)手段的現(xiàn)代化——電化顯示

如今，多媒體電腦等現(xiàn)代化教學(xué)手段已逐步走進(jìn)課堂，這對突破傳統(tǒng)的教育觀念，加速教學(xué)內(nèi)容和教育形式的改革，促進(jìn)教學(xué)手段和管理水平的現(xiàn)代化產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。尤其幾何畫板在初中數(shù)學(xué)的幾何教學(xué)中發(fā)揮著重要的作用。幾何的精髓是什么？幾何就是不斷變化的幾何圖形中，研究不變的幾何規(guī)律。比如不論三角形的位置、大小、形狀和方向等如何變化，三角形的三條中線都交于一點(diǎn)，中點(diǎn)四邊形的問題等等。在過去的幾何教學(xué)中，使用常規(guī)作圖工具，手工繪制的圖形是靜態(tài)的，容易掩蓋了極其重要的幾何規(guī)律。而幾何畫板的精髓就在于——在運(yùn)動中保持給定的幾何關(guān)系。這樣，發(fā)現(xiàn)恒定不變的幾何規(guī)律就變得容易了。同樣，F(xiàn)lash中的矢量圖形也能很好的展示幾何動態(tài)圖形的關(guān)系，即使對于數(shù)學(xué)能力較差的同學(xué)而言，有了更直觀形象的幫助，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律也不再像以前那樣困難。

以上是直觀手段在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾點(diǎn)應(yīng)用，而具體的操作則是因人而異、因課而異的。

（作者單位：江蘇省常州市戚墅堰實(shí)驗(yàn)中學(xué)）