李紅偉

(河南教育學院數學系,河南鄭州 450046)

復變函數論中冪級數教學的探討分析

李紅偉

(河南教育學院數學系,河南鄭州 450046)

闡述了在復變函數論冪級數教學中,通過介紹相關的數學前沿問題和與級數相關的數學史,激發(fā)學生興趣,加深學生對知識聯系性的認識.

復變函數論;冪級數;教學;數學史;興趣

1 級數的重要性

把解析函數表示為級數不僅有理論上的意義,而且有實用的意義.例如,在Rudin所著的《Real and Complex Analysis》[1]中,就是證明了一個關于冪級數的等式:

并利用等式(2)證明了劉維爾定理、最大模原理、代數學基本定理、柯西不等式等.

冪級數的應用還表現在函數值的近似計算上.對于一些比較復雜的函數,為了便于研究,往往希望用一些簡單的函數來近似表達.多項式函數是最為簡單的一類函數,因此,多項式經常被用于近似地表達函數,這種近似表達在數學上常稱為逼近.英國數學家泰勒在這方面做出了不朽的貢獻.其研究結果表明:解析函數在一個點的鄰域內的值可以用函數在該點的值及各階導數值組成的無窮級數表示出來.因此在一個點的鄰域內我們可以用多項式函數逼近解析函數到任意精確的地步.因此利用冪級數可以制造三角函數表、對數表等,這在航海、天文和地理學上有著重要的意義.

關于逼近論的進一步發(fā)展,可查閱Runge[1],Weierstrass,Bernstein等人的一些經典結論[2].冪級數還可以用來證明歐拉公式,用于定積分的近似計算,解常微分方程等[3].

2 介紹與級數相關的前沿問題,以激發(fā)學生興趣

美國克雷數學研究所列出了7個千禧年數學難題[4],解決任一個都有100萬美金的獎勵,其中之一就是黎曼猜想[5],由德國大數學家黎曼于1859年提出.我們把泰勒級數做一下推廣就成為Dirichlet級數

級數(4)的收斂域是Res>1.黎曼運用路徑積分把它解析開拓到全平面.黎曼猜想Riemannζ函數的所有非平凡零點都位于復平面Res=的直線上.如果黎曼猜想被完全證明,整個解析數論將獲得全面發(fā)展.

3 介紹與級數相關的數學史

3.1 級數在世界上的發(fā)展歷史

級數在數學中早已出現,其最早的形式通常是公比小于1的無窮幾何級數,公元前3世紀古希臘哲學家亞里士多德就已認識到這種級數有和.無窮級數還散見于中世紀后期數學著作中,并被用于計算變速運動物體所走過的路程.

16世紀、17世紀的歐洲,文藝復興帶來了人們的覺醒,資本主義工場手工業(yè)的繁榮和向機器生產的過渡,促使技術科學和數學急速發(fā)展.例如在航海方面,為了確定船只的位置,要求更加精密的天文觀測.彈道學成為軍事方面研究的中心課題,運河的開鑿,堤壩的修筑,行星的橢圓軌道理論等,也都需要很多復雜的計算.古希臘時期發(fā)展起來的初等數學已漸漸不能滿足當時的需要了.

隨著航海、天文學和地理學的進展,迫切要求三角函數表、對數表和航海表等的插值有較高的精確度,因此許多插值方法應運而生.其中牛頓插值公式(或稱格里戈里(Gregory)—牛頓內插公式)用了有限差分方法,這一公式由泰勒發(fā)展成把函數展開成無窮級數的最有力的方法.泰勒由此引申出一個重要定理:函數在一個點的鄰域內的值可以用函數在該點的值及各階導數值組成的無窮級數表示出來,即(用現在的符號)

泰勒定理的首次正式出現是在1715年版的《正和反的增量法》的第23頁上,作為命題7的第2個推論.但在1712年7月26日泰勒給梅欽的信中已敘述了這一結果,不過當時未給出證明.泰勒用他的定理把函數展開成級數,得到如正弦函數及對數函數等的標準展式,并用這一方法求微分方程的通解.他還用級數去解數學方程,得到根的近似值,尤其注意到去解根式方程和超越方程.

從現代的觀點來看,泰勒的證明是不嚴密的,他沒有考慮收斂問題.在半個世紀里,數學家們并沒有認識到泰勒定理的重大價值.這一重大價值是后來由法國數學家拉格朗日(Lagrange J L)發(fā)現的.拉格朗日在他1797年的巨著《解析函數論》中,用代數方法率先證明了泰勒展開式,并給出了帶有拉格朗日余項的泰勒展開式并指出,不考慮余項就不能用泰勒級數.當時,被稱為拉格朗日微分中值定理.在此書中他主張用泰勒級數來定義導數,并以此作為整個微分、積分理論之出發(fā)點.泰勒定理的嚴格證明是在定理誕生一個世紀之后由柯西(CauchyA L)給出的.柯西的證明于1839年載入他的《關于級數的收斂》一書.

1810年前后,法國數學家、物理學家傅里葉和捷克數學家波爾察諾等人開始確切處理無窮級數.波爾察諾強調必須考慮級數收斂性.1811年傅里葉給出了一個無窮級數收斂的較滿意的定義,它近似于現代教科書中的定義.19世紀20年代,法國數學家柯西在他的《分析教程》一書中給出了至今還沿用的級數收斂,柯西還研究了函數項級數和泰勒級數.

挪威數學家阿貝爾奠定了冪級數收斂的一般理論,也是第一次給出這種級數展開式成立的可靠證明,從而解決了在實數和復數范圍內分別求冪級數的收斂區(qū)間和收斂半徑的問題.他糾正了柯西關于連續(xù)函數為項的一個收斂級數的和函數一定連續(xù)的錯誤,還利用一致收斂的思想,正確地證明了“連續(xù)函數為項的一個一致收斂級數在收斂域內是連續(xù)的”.可惜他當時未能從中把一致收斂的性質抽象概括出來,形成普遍的概念.

函數項級數的一致收斂性概念最初由英國數學家斯托克斯和德國數學家賽德爾認識到,但確切的表述則是由德國數學家魏爾斯特拉斯于1842年前后給出的,他提出了級數理論中關于一致收斂的概念及其判別準則,他還建立了逐項積分和逐項微積分的條件.魏爾斯特拉斯完全擺脫了幾何直觀,以冪級數為工具,用嚴密的純解析推理展開了函數論.定義解析函數是可以展開為冪級數的函數,圍繞著奇點研究函數的性質.近幾十年來,復變函數論又有很大的推進.

18世紀,天文學的發(fā)展(天文現象大都是周期現象)引起了數學家們廣泛研究三角級數并用于天文理論之中.當時的著名數學家歐拉、克萊羅、達朗貝爾、拉格朗日等在這方面都做了不少開創(chuàng)性工作.1729年歐拉著手研究插值問題,1747年他將所得到的方法應用于行星擾動理論中出現的一個函數上,得到了函數的三角級數表示.

三角級數理論進一步的發(fā)展歸于1822年法國數學家傅里葉的著作《熱的分析理論》的出版.該書基本思想是用特殊的周期函數(三角函數)表示周期函數,他的工作表明,相當廣泛的函數類都可以用三角級數表示.這是分析學在19世紀的首項重要工作,它不僅使分析方法進入新的物理領域,而且擴展了函數概念,推進了偏微分方程理論.但他并沒有解決函數具有收斂的傅里葉級數的確切條件,經過法國數學家柯西和法國數學家泊松的努力也沒得到滿意的結果.德國數學家狄利克雷在一篇題目為《關于三角級數的收斂性》論文中給出了傅里葉級數展開的充分條件——狄利克雷條件.德國數學家黎曼在1854年寫的一篇題目為《利用三角級數表示一個函數的可能性》的論文中也表明有界可積函數的傅里葉級數在任一點處的收斂性只依賴于在該點鄰域的特性.但是傅里葉級數收斂與它本身的必要而充分條件的問題并沒有得到解決.此后,在引入了一致收斂概念之后,德國數學家海涅對傅里葉級數的一致收斂進行了研究,得出了一些結論.杜布爾—雷蒙給出了一個連續(xù)函數的傅里葉級數在一個到處稠密的點集上不收斂的例子.對傅里葉級數收斂點的研究,最終導致康托爾創(chuàng)立集合論.

3.2 級數在中國的發(fā)展歷史

兩千多年前的《周髀算經》和《九章算術》都談到算術級數和幾何級數.

劉焯(隋朝)結合天文學的發(fā)展,創(chuàng)立了等間距二次內插法計算日、月的位置.

張遂(僧一行)采用了不等間距二次內插法推算出每兩個節(jié)氣之間黃經差相同,而時間距卻不同.這種算法基本符合天文實際,在天文學上是一個巨大的進步.不僅如此,張遂的《大衍歷》應用內插法中三次差來計算月行去支黃道的度數,還提出了月行黃道一周并不返回原處,要比原處退回1度多的科學結論.《大衍歷》對中國天文學的影響是很大的,直到明末歷法家們都采用這種計算方法,并取得了好的效果.

宋代大科學家沈括所著的《夢溪筆談》(11世紀),開創(chuàng)了“會圓術”(最早的由弦到矢的長度求弧長的近似計算公式)和“隙積木”(一種級數求和法).

元代郭守敬與王恂、許衡等人編制了《授時歷》(1280年),應用“招差術”發(fā)明三次函數的內插法.

明末《崇禎歷書》中已經介紹了三角函數表的編造方法,即所謂六宗、三要和二簡法.這種造表法利用普通三角函數關系公式推算,相當煩瑣,并且也不能算出任意角的三角函數值.

清代關于無窮級數的研究是一個相當活躍的領域.清初明安圖以中國傳統的數學結合西方數學的成果,論證了三角函數的冪級數展開式和圓周率的無窮級數表示式等9個公式,成功地解析了9個求圓周率的公式,寫成《割圓密率捷法》一書,一共提出了9個基本方程,列出三角函數和反三角函數的冪級數表達式,并且計算出展開式的各項系數,為三角函數和反三角函數的解析研究開辟了新的途徑.明安圖在數學研究上的這一豐碩成果在中國數學史上占有重要地位,被清朝學者稱為“明氏新法”、“弧矢不祧之祖”.他在數學上的貢獻對中國近代數學發(fā)展產生了深遠的影響.

曾紀鴻用反三角函數的冪級數展開式求得圓周率的第24位準確數字.

在晚清數學家中,李善蘭無疑是最杰出的一人.李善蘭的主要數學成就有:尖錐術、垛積術、素數論.在西方的微積分未傳入中國的情況下,李善蘭獨自用尖錐術發(fā)現冪函數的定積分公式、二次平方根的冪級數展開式,以及各種三角函數、反三角函數的冪級數展開式.他所使用的求對數的方法,比傳教士帶進來的方法要高明、簡捷.

徐有壬(1800—1860)的《測圓密率》和《造表簡法》則對于清代數學家關于三角函數展開式的研究成果,作了較為全面的總結.此外,戴煦的《對數簡法》和李善蘭的《對數探源》,給出了自然對數的冪級數展開式.由此可見,清代數學家已經基本上解決了初等函數的冪級數展開式問題.

通過中外數學史的對比,學生增強了愛國主義信念;通過對一些科學家事跡的介紹,學生樹立了追求科學真理的遠大理想,淡泊名利;通過一些數學理論知識的形成過程,學生可以了解數學發(fā)展的過程,大膽嘗試,勇于實踐,不怕失敗,逐步提高.

4 對教材內容的處理

結合學生的認知特點,和數學分析平行的一些結論往往只敘述而不給出證明,例如柯西收斂準則、一致收斂級數和函數的連續(xù)、逐項積分定理等;而重點講述了具有復變函數特色的一些結論,例如魏爾斯特拉斯定理、泰勒定理.在數學分析中,函數項級數能逐項求導的條件是苛刻的,然而解析函數項級數求導的條件卻比較寬松些,結論更強些,魏爾斯特拉斯定理表明了可以逐項求導至任意階.雖然在數學分析中也提到了泰勒定理,但是由于解析函數具有無窮可微性,兩者的表現形式不太一樣,證法也不同,筆者還是著重講了泰勒定理的證明,其中也包含了方法論的內容.洛朗展式就是對泰勒展式的推廣,證明方法雷同.

此外,在講課時,筆者還經常給學生介紹一些相關書籍以供參考,教學生上網查資料等.激發(fā)學生學習數學的興趣,鼓勵學生對一些疑難問題勇于嘗試,敢于提出自己的猜想,在課堂上跟學生共同討論、共同進步.

[1] RUD IN W.Real and ComplexAnalysis[M].3rd Ed.北京:機械工業(yè)出版社,2004.

[2] 托德J.函數構造論導引[M].馮慈璜,譯.謝庭藩,校.上海:上?？茖W技術出版社,1980.

[3] 吳奇峰.冪級數的若干應用[J].韶關大學學報:自然科學版,1994,15(2):41-48.

[4] 郭海鷗.21世紀數學七大難題評述[J].河南教育學院學報:自然科學版,2008,17(4):10-11.

[5] 張南岳,陳懷惠.復變函數論選講[M].北京:北京大學出版社,1985.

D iscussion and Analysis on Power Series Teaching of Complex Analysis

L IHong-wei

(Departm ent of M athem atics,Henan Institute of Education,Zhengzhou450046,China)

By introducing relevant frontiermathematics problems and mathematics history related to series in power series teaching of complex analysis,stimulate the students’interest and deepen their cognition of knowledge continuity.

complex analysis;power series;teaching;mathematics history;interesting

G642.4

A

1007-0834(2011)01-0051-03

10.3969/j.issn.1007-0834.2011.01.016

2010-11-10

河南省教育廳自然科學研究計劃項目(2010B110007)

李紅偉(1981—),女,河南安陽人,河南教育學院數學系講師.