孫 珍

(安康學(xué)院數(shù)學(xué)系,陜西安康 725000)

射影幾何的應(yīng)用分析

孫 珍

(安康學(xué)院數(shù)學(xué)系,陜西安康 725000)

闡述射影幾何學(xué)有關(guān)定理和結(jié)論,探討了射影幾何中仿射變換、交比、調(diào)和分割在解決平面幾何問(wèn)題中的應(yīng)用,以及利用透視對(duì)應(yīng)完成幾何作圖的應(yīng)用.

射影幾何;仿射變換;交比;調(diào)和分割;透視對(duì)應(yīng)

0 引言

射影幾何所處理的是構(gòu)成幾何圖形的最根本的定性方面和描述方面的性質(zhì),而且不用線段與角的度量.在經(jīng)典幾何中,射影幾何處于一種特殊的地位,通過(guò)它可以把一些幾何聯(lián)系起來(lái).歐式幾何是射影幾何的子幾何.

1 相關(guān)定義與定理[1]

定義1經(jīng)過(guò)一切透視仿射不改變的性質(zhì)和數(shù)量,稱為仿射不變性和仿射不變量.

定義2一線束中4直線被任一直線(不通過(guò)線束中心或頂點(diǎn))所截4點(diǎn)的交比,稱為4直線的交比,記為(ab,cd)=AC· BD/(AD·BC).

定義5若(AB,CD)=-1,稱C,D兩點(diǎn)調(diào)和分割線段AB.

定理1兩個(gè)一維基本圖形形成射影對(duì)應(yīng)的充分必要條件為對(duì)應(yīng)元素的交比相等.

定理2透視仿射保留同素性和結(jié)合性.

定理34直線a,b,c=a+λ1b,d=a+λ2b的交比為(ab,cd)=λ1/λ2.

2 射影幾何在解決平面幾何問(wèn)題中的應(yīng)用

2.1 仿射變換在解決平面幾何問(wèn)題中的應(yīng)用

由仿射不變性和仿射不變量,以及仿射變換保留同素性、結(jié)合性等性質(zhì),從一些圖形之間的仿射變換關(guān)系入手,巧妙利用從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想解決有關(guān)問(wèn)題,使平面幾何中的一些問(wèn)題化難為易,化繁為簡(jiǎn).

例1 如圖1,從橢圓E外一點(diǎn)P做切線PA、PB,A、B表示切點(diǎn),O是E的中心,射線OP交E于點(diǎn)C.證明面積SAOC=SCOB,SAOP=SPOB.

分析 橢圓可以看做圓的仿射變換得到的仿射像.

圖1 仿射變換的應(yīng)用Fig.1 Application of affine transformation

2.2 線束的交比在解決直線共點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用

在射影幾何學(xué)中,交比是射影不變量,是兩個(gè)一維基本圖形形成射影對(duì)應(yīng)的判定法則之一,它在整個(gè)射影幾何中處于十分重要的地位,能給我們解題提供幫助[2].

例2 證明4直線2x-y+1=0,3x+y-2=0,7x-y=0,5x-1=0共點(diǎn).

2.3 調(diào)和分割在解決角平分線(以及線段中點(diǎn))問(wèn)題中的應(yīng)用

有關(guān)角平分線的問(wèn)題,是中學(xué)幾何常見(jiàn)的問(wèn)題[3-4].三角形中一個(gè)角的內(nèi)角和外角平分線,將對(duì)邊分成兩線段的比值都和鄰邊成比例,與射影幾何中的調(diào)和分割密切聯(lián)系.

例3 已知:如圖2所示,三角形ABC中,AD垂直BC于點(diǎn)D,E為AC邊上一動(dòng)點(diǎn),連接BE交AD于點(diǎn)O,連接CO交AB于點(diǎn)F.求證:∠FDO=∠EDO.

證明延長(zhǎng)DE交BA于點(diǎn)P,DE交CF于點(diǎn)Q.由B(AQ,EC)=(FQ,OC)=(PQ,ED)和A(PQ,CD)=(PQ,ED)=(FQ, CO)得

由交比的性質(zhì)(FQ,CO)=1/(FQ,OC),所以(FQ,CO)=1或-1,1舍去.所以(FQ,CO)=-1,即點(diǎn)O和點(diǎn)C調(diào)和分割線段FQ,由角平分線的性質(zhì),所以∠FDO=∠EDO.

2.4 透視對(duì)應(yīng)在幾何作圖中的應(yīng)用

兩個(gè)點(diǎn)列和同一個(gè)線束成透視對(duì)應(yīng),這兩個(gè)點(diǎn)列就成透視對(duì)應(yīng).這個(gè)透視對(duì)應(yīng)是一個(gè)特殊的射影對(duì)應(yīng),滿足交比不變.

例4 已知直線上3點(diǎn)A,B,C,求作第4點(diǎn),使AC·BD=AD·BC.

解 過(guò)C點(diǎn)任作一直線,在其上任取一點(diǎn)A1,并在其上作出一點(diǎn)B1,使有向線段之比CA1∶CB1=∶1.以S表示AA與BB1的交點(diǎn),過(guò)S作A1B1的平行線交AB于所求點(diǎn)D.

圖2 調(diào)和分割的應(yīng)用Fig.2 Application of harmon ic division

證明設(shè)直線AA上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為D∞,于是從而

3 小結(jié)

能用射影幾何解決的平面幾何問(wèn)題很多,例如射影坐標(biāo)系的建立,在處理一些復(fù)雜射影命題時(shí)不需要太多技巧,給思考問(wèn)題帶來(lái)方便;德薩格定理以及完全四點(diǎn)形等有關(guān)知識(shí)對(duì)于解決共線共點(diǎn)問(wèn)題提供有效途徑,這里不再一一列舉.可以看出,該方法的解題思路較為開(kāi)闊和靈活.

[1] 朱德祥.高等幾何[M].北京:高等教育出版社,2001.

[2] 梅向明.高等幾何[M].北京:高等教育出版社,2000.

[3] 李長(zhǎng)明.初等數(shù)學(xué)研究[M].北京:高等教育出版社,1995.

[4] 趙振威.初等幾何研究[M].上海:華東師范大學(xué)出版社,2005.

Analysis on Application of Projective Geometry

SUN Zhen

(Depar tm ent of M athem atics,Ankang University,Ankang725000,China)

Expounds relative theorems and conclusions of projective geometry,discusses the application of affine transfo rmation,ratio and harmonic division on solving plain geometry problems aswell as the application of geometry drawing by perspective corresponding.

projective geometry;affine transformation;ratio;ha rmonic division;perspective corresponding

O185.1

A

1007-0834(2011)01-0012-02

10.3969/j.issn/1007-0834.2011.01.005

2010-10-28

安康學(xué)院重點(diǎn)扶持學(xué)科“基礎(chǔ)數(shù)學(xué)”(AZXZ0107);安康學(xué)院重點(diǎn)項(xiàng)目(2008AKXY029)

孫 珍(1977—),女,山東齊河人,安康學(xué)院數(shù)學(xué)系教師.