林曉瓏，張佳全，馮 毅

（吉林大學(xué)，吉林 長春 130022）

杠桿式回轉(zhuǎn)儀定量演示方法研究

林曉瓏，張佳全，馮 毅

（吉林大學(xué)，吉林 長春 130022）

在對杠桿式回轉(zhuǎn)儀運動現(xiàn)象進行理論分析的基礎(chǔ)上，通過測量出圓輪自轉(zhuǎn)角速度，旋轉(zhuǎn)軸進動角速度、進動角度的參數(shù)，定量研究了力矩與進動速度間關(guān)系、角速度與進動速度間關(guān)系、角動量定理的實驗驗證，最后將測量值與理論計算值進行了比較。將杠桿式回轉(zhuǎn)儀運動狀態(tài)的定量分析引入大學(xué)物理實驗，培養(yǎng)了學(xué)生實際動手能力，加深了學(xué)生對角動量定理，力矩和角動量間關(guān)系的理解。

杠桿式回轉(zhuǎn)儀；力矩；角動量；定量分析

繞旋轉(zhuǎn)對稱軸以很大的角速度轉(zhuǎn)動的物體，如果沒有外力矩的作用，由于慣性，物體轉(zhuǎn)動軸的方向保持不變。迅速轉(zhuǎn)動的陀螺受外力矩（如重力力矩）作用時，它并不是立即傾倒，而是轉(zhuǎn)動軸繞著某固定軸緩緩轉(zhuǎn)動。一個自轉(zhuǎn)的物體受外力矩作用導(dǎo)致其自轉(zhuǎn)軸繞豎直軸旋轉(zhuǎn)，這種現(xiàn)象稱為進動。

杠桿式回轉(zhuǎn)儀是一種最常見的進動演示儀器，該儀器可以直觀地演示出剛體的進動和陀螺的定軸性這一物理現(xiàn)象，幾乎所有學(xué)校用它來演示進動，以加深學(xué)生對剛體角動量與力矩的關(guān)系的理解。也有人提出了一些改進的回轉(zhuǎn)儀來更清楚的演示這一現(xiàn)象［1－2］，但是這些基本上都停留在定性的演示。如果能夠?qū)@一現(xiàn)象進行定量分析，學(xué)生通過測量各運動狀態(tài)量，并經(jīng)過自己動手計算各運動量之間的關(guān)系，將會對這一現(xiàn)象有更加深刻的認識，也培養(yǎng)了他們的動手能力與科學(xué)計算的素養(yǎng)。

1 杠桿式回轉(zhuǎn)儀運動現(xiàn)象分析

1.1 杠桿式回轉(zhuǎn)儀的結(jié)構(gòu)與運動情況

杠桿式回轉(zhuǎn)儀的結(jié)構(gòu)見圖1，裝有圓輪的鐵桿既能夠繞著水平軸轉(zhuǎn)動，又能和水平軸繞豎直軸旋轉(zhuǎn)。配重塊能沿著鐵桿移動。如果對杠桿式回轉(zhuǎn)儀進行仔細觀察，會發(fā)現(xiàn)有如下主要現(xiàn)象：

圖1 杠桿式回轉(zhuǎn)儀結(jié)構(gòu)圖

（1）調(diào)節(jié)配重塊的位置，使系統(tǒng)的重心通過支點，圓輪的自轉(zhuǎn)軸處于水平方位，整個系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。使圓輪快速轉(zhuǎn)動，可以看到無論怎樣旋轉(zhuǎn)鐵桿，圓輪的轉(zhuǎn)軸方位始終保持不變，即角動量不變。

（2）調(diào)節(jié)配重物的位置，使系統(tǒng)的重心不過支點，即整個系統(tǒng)對支點軸受有重力矩作用。如果讓圓輪繞鐵桿旋轉(zhuǎn)起來時，杠桿式回轉(zhuǎn)儀就會產(chǎn)生進動現(xiàn)象。增大圓輪自轉(zhuǎn)速度，進動速度將會減慢。改變圓輪的自轉(zhuǎn)方向，鐵桿的水平擺動角速度方向也隨之改變。

（3）圓輪自轉(zhuǎn)速度一定，如果移動配重塊位置，進動速度也將發(fā)生變化。配重塊越靠近旋轉(zhuǎn)軸，進動速度也越大。

1.2 杠桿式回轉(zhuǎn)儀運動的理論分析

下面對以上各現(xiàn)象進行理論解釋，并推導(dǎo)出各運動量之間的計算關(guān)系。為了使得計算符號統(tǒng)一，這里我們規(guī)定，圓輪的自轉(zhuǎn)速度為ω，φ為水平轉(zhuǎn)動角度（即為進動角度），ωp為進動角速度，L為角動量，M為系統(tǒng)受到對支點O的外力距。

圖2 杠桿式回轉(zhuǎn)儀簡化結(jié)構(gòu)及符號規(guī)定

其中：M1，M2分別為圓輪和配重塊重力所產(chǎn)生的力矩；m1，m2分別為圓輪和配重塊質(zhì)量；l1，l2分別為圓輪和配重塊到支點O的距離。

對于圓輪的角動量增量可以表示為：

當(dāng)系統(tǒng)不平衡時，整個系統(tǒng)受到對支點O的外力矩M的作用，則角動量不守恒。由角動量定律知，在時間內(nèi)轉(zhuǎn)輪對支點的自旋角動量L的增量為dL＝Mdt。在系統(tǒng)轉(zhuǎn)軸水平情況下，轉(zhuǎn)輪受到外力矩方向為水平向內(nèi)，dt時間后，圓輪的角動量變成L＋dL＝L＋Mdt由于M，L和L＋dL的方向均在水平面內(nèi)，所以自旋軸的方向不會向下傾斜，而僅是水平向內(nèi)偏轉(zhuǎn)。連續(xù)不斷的偏轉(zhuǎn)，就形成了進動。

對于杠桿式回轉(zhuǎn)儀所受力矩可以視為配重塊和圓輪重力產(chǎn)生力矩之和，表示為：

則進動角速度為

由角動量定理有

由上式可見，當(dāng)力矩M一定時，圓輪自轉(zhuǎn)速度越大，進動角速度越?。煌瑫r當(dāng)圓輪自轉(zhuǎn)速度一定，力矩M越大，進動角速度也將越大。

以上理論的推導(dǎo)是建立在角動量定理的基礎(chǔ)之上，為了加深對角動量和力矩關(guān)系的理解，根據(jù)角動量定理，角動量的增量是力矩對時間的積累，則有：

其中：φ2，φ1分別為t1和t2時刻鐵桿旋轉(zhuǎn)時所處角度。變換式（5），則有：

用式（4）、（6）就能夠?qū)剞D(zhuǎn)儀各參數(shù)之間的關(guān)系以及角動量定理進行定量的討論。

2 杠桿式回轉(zhuǎn)儀各運動量的測量

杠桿式回轉(zhuǎn)儀的運動量主要為圓輪的自轉(zhuǎn)速度，圓輪繞豎直旋轉(zhuǎn)軸Z轉(zhuǎn)動的進動角速度和圓輪進動的角度，我們分別使用霍爾傳感器、光電傳感器和電位器型角度傳感器來完成這些量的測定［3］。

2.1 自轉(zhuǎn)角速度的測定

自轉(zhuǎn)角速度的測定可以采用霍爾式傳感器，測量方法如圖3所示。在圓輪上按一定角度固定若干小磁鐵，霍爾傳感器固定在鐵桿上，圓輪旋轉(zhuǎn)時帶動磁鐵旋轉(zhuǎn)。當(dāng)磁鐵經(jīng)過霍爾傳感器時，霍爾傳感器產(chǎn)生電脈沖，通過記錄各電脈沖之間的間隔時間可以間接測量出圓輪旋轉(zhuǎn)角速度。即：其中：n1＝4為小磁鐵的數(shù)量，小磁鐵的數(shù)量不宜太多，太多會使傳感器無法分辨，而導(dǎo)致檢測失效。Δt1為檢測到相鄰電磁鐵的時間間隔。

圖3 定理測量的電路框圖

2.2 進動角速度的測定

進動角速度的測量采用光電式傳感器，在豎直軸軸套上固定一個光電傳感器，在豎直旋轉(zhuǎn)軸上固定擋片，擋片間隔為90°，豎直旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動時帶動擋片旋轉(zhuǎn)，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。擋片依次通過光電傳感器，光電傳感器產(chǎn)生一個脈沖。通過計算相鄰脈沖間隔時間就能準確的實現(xiàn)進動角速度的測量，即：

其中：n2＝4為均勻分布固定擋片數(shù)目，Δt2為相鄰傳感器擋光時間間隔，如果判斷擋片擋光的順序還能判斷出進動的方向。

2.3 進動角度的測量

對于進動角度的測量可以選用電位器型角度傳感器，傳感器固定部分連接到豎直軸軸套上，滑動端接在豎直旋轉(zhuǎn)軸上，如果在固定端兩端加上固定電壓U，則進動角度可以表示為：其中：U1為角度傳感器輸出電壓，經(jīng)放大、V/F變換后為數(shù)字量，由單片機計數(shù)。

3 定量實驗結(jié)果分析

根據(jù)實驗結(jié)果對理論分析進行驗證。第一組依據(jù)式（6）來驗證角動量定理，實驗方法是：固定配重塊，在不同自轉(zhuǎn)角速度下，選取1s的時間驗證進動角度的變化；在圓輪自轉(zhuǎn)速度一定的條件下，移動配重塊，驗證1s時間進動角度的變化。第二組依據(jù)式（4）來驗證力矩與進動速度之間的關(guān)系、自轉(zhuǎn)速度和進動速度之間的關(guān)系，其中：車輪質(zhì)量m1＝3.2kg，車輪半徑R＝600mm，配重塊質(zhì)量為m2＝4kg，實驗的結(jié)果見表1～表2。

表1 第一組驗證角動量定理實驗結(jié)果

表2 第二組驗證各運動量關(guān)系實驗結(jié)果

通過杠桿式回轉(zhuǎn)儀的定量演示，使學(xué)生們對力矩和角動量等有了初步的認識，再通過計算各運動量的關(guān)系，對角動量定理，力矩與進動速度間關(guān)系、角速度與進動速度間的關(guān)系能有更進一步的理解。文中也對角速度和角度的測量方法進行了介紹，通過動手測量，計算激發(fā)學(xué)生探索理論聯(lián)系實際的能力，拓展了知識面，對杠桿式回轉(zhuǎn)儀運動狀態(tài)的定量分析有著重要的意義。

［1］梁法庫，路峻嶺.力矩突變時角動量變化規(guī)律的實驗演示與分析［J］.大學(xué)物理，2004，23（2）：42-43.

［2］梁法庫，閆公敬.一種可自動改變力矩方向的課堂角動量定理演示實驗［J］.大學(xué)物理，2005，24（12）：38-39.

［3］張佳全，馮毅.傳感器測量轉(zhuǎn)速物理演示裝置的制作與研究［A］.2008年全國高等學(xué)校物理基礎(chǔ)課程教育學(xué)術(shù)研討會論文集［C］.2008.

Research of Lever Gyrostat Quantitative Demonstration

LIN Xiao-long，ZHANG Jia-quan，F(xiàn)ENG Yi

（Jilin University，Jilin Changchun 130022）

This paper is based on the theoretical analysis of lever gyrostat movement，conducts a quantitative research on the relationship between the moment and procession speed，angular velocity speed and procession speed，and tests the angular momentum theorem through the measurement of the angular velocity speed of wheel rotation and revolving spindle procession，and the procession angle.It makes comparison between the measured value and theoretical calculation eventually.Applying the quantitative analysis of lever gyrostat movement tOthe university physics experiment，it improves students practical skills，and enhances their understanding of the angular momentum theorem，relationship between the moment and angular momentum.

lever gyrostat；moment；angular momentum；quantitative analysis

O313.3

A

1007-2934（2011）06-0046-03

2011-07-02