戴明祥，楊新民，易文俊

（南京理工大學(xué) 瞬態(tài)物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京210094）

利用成本相對較低的脈沖側(cè)噴發(fā)動(dòng)機(jī)提供操縱力的控制系統(tǒng)取代結(jié)構(gòu)復(fù)雜、價(jià)格不菲的舵機(jī)系統(tǒng)將是發(fā)展靈巧彈藥的理性模式之一.近年來，脈沖修正屬于熱點(diǎn)研究領(lǐng)域，國內(nèi)外研究學(xué)者對此做了大量研究工作，并在導(dǎo)引律、制導(dǎo)控制策略、控制方式、脈沖系統(tǒng)穩(wěn)定性等方面取得了可喜成果.HABLANI比較了利用脈沖控制的零效脫靶量導(dǎo)引律（ZEM）和脈沖比例導(dǎo)引律（PPN）[1]；文獻(xiàn)[2]提出了脈沖修正動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性條件；文獻(xiàn)[3]在脈沖式末制導(dǎo)子彈導(dǎo)引律中提出了零效脫靶量比例導(dǎo)引律；徐勁祥對脈沖修正迫彈修正方案進(jìn)行了研究，提出了四象限修正方案[4]等.但對于衛(wèi)星制導(dǎo)彈藥脈沖修正矢量計(jì)算方面的研究較少.

對于脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)來說，脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)有脈沖推力大，作用時(shí)間短，點(diǎn)了即用，單發(fā)控制量較大且數(shù)量有限等特點(diǎn).正是基于上述特點(diǎn)，在脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)的靈巧彈藥中，需保證單發(fā)發(fā)動(dòng)機(jī)調(diào)控修正最優(yōu)（即不出現(xiàn)修正過量），而脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)單發(fā)控制量較大，若不正確計(jì)算出單發(fā)脈沖修正矢量，很難實(shí)現(xiàn)脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)的調(diào)控最優(yōu).

1 模型建立

1.1 發(fā)動(dòng)機(jī)模型建立

設(shè)脈沖側(cè)噴發(fā)動(dòng)機(jī)的推力軸心與彈丸質(zhì)量中心重合，如圖1所示.

圖1 脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)安裝位置

設(shè)共計(jì)N臺發(fā)動(dòng)機(jī)周向均布，如圖2所示，Ox1y1z1為彈體坐標(biāo)系.每臺發(fā)動(dòng)機(jī)之間的間隔角度.設(shè)0＃發(fā)動(dòng)機(jī)位于彈體坐標(biāo)系的Oy1軸上，順彈體旋轉(zhuǎn)方向依次定義1＃，2＃，…，N－1＃發(fā)動(dòng)機(jī)，則第i＃發(fā)動(dòng)機(jī)與Oy1軸的角度為

圖2 脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)安裝徑向分布

1.2 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系

地面坐標(biāo)系xyz[5]與大地固連，不考慮地球自轉(zhuǎn)和曲率影響，將其看為慣性坐標(biāo)系.彈道坐標(biāo)系x2y2z2隨彈丸速度矢量的改變而改變，需將彈道系坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為地面系坐標(biāo)，即：

式中，θ為彈道傾角，ψv為彈道偏角.

2 問題分析

2.1 衛(wèi)星導(dǎo)引脈沖修正彈藥控制原理

基于衛(wèi)星導(dǎo)引的脈沖修正彈藥控制系統(tǒng)主要由衛(wèi)星虛擬導(dǎo)引頭、滾轉(zhuǎn)測量機(jī)構(gòu)、彈載計(jì)算機(jī)（包括彈道解算器和決策控制機(jī)構(gòu)）、脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)組和靈巧彈丸組成.其控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)如圖3所示.

圖3 基于衛(wèi)星導(dǎo)引的脈沖修正彈藥控制系統(tǒng)組成

在彈丸自由飛行過程中，衛(wèi)星虛擬導(dǎo)引裝置實(shí)時(shí)給出彈丸空間位置和速度矢量信息.彈道解算器根據(jù)上述信息，代入相關(guān)氣動(dòng)力參數(shù)和氣象條件，解算出彈丸落點(diǎn)，與目標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)比較得到落點(diǎn)偏差；滾轉(zhuǎn)測量機(jī)構(gòu)給出脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)組各發(fā)動(dòng)機(jī)位置信息.根據(jù)落點(diǎn)偏差和發(fā)動(dòng)機(jī)位置信息，決策控制機(jī)構(gòu)需計(jì)算出發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火與否和點(diǎn)火的發(fā)動(dòng)機(jī)編號.在此過程中，決策控制機(jī)構(gòu)必須計(jì)算出各發(fā)動(dòng)機(jī)的脈沖修正矢量，從而作出最優(yōu)決策.

2.2 彈道解算

根據(jù)衛(wèi)星虛擬導(dǎo)引裝置給出的實(shí)時(shí)空間位置信息（x，y，z，v），以此作為炮口參數(shù)，建立彈丸質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程組[5]，并代入相關(guān)氣象條件，利用數(shù)值計(jì)算方法（如龍格－庫塔法）聯(lián)立求解微分方程組，得出彈丸自由飛行落點(diǎn).同時(shí)，彈道解算還給出了彈丸剩余飛行時(shí)間tr和落點(diǎn)速度矢量vt.

3 脈沖修正矢量的計(jì)算原理

理想條件：①脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)工作期間，彈體轉(zhuǎn)速恒定；②脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間和作用力大小一定（即總沖大小一定），作用力瞬間產(chǎn)生、瞬間消失；③脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)工作對彈體姿態(tài)無影響，彈體中心軸線始終與速度矢量線重合.

3.1 脈沖平均推力矢量計(jì)算

脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間極短，故將脈沖推力矢量合成為平均推力矢量.在某時(shí)刻t0決策控制機(jī)構(gòu)給出第i＃發(fā)動(dòng)機(jī)的點(diǎn)火指令（設(shè)脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火延遲時(shí)間為τ），則經(jīng)過時(shí)間τ后第i＃發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火工作.設(shè)ts為發(fā)動(dòng)機(jī)工作持續(xù)時(shí)間，F(xiàn)為脈沖推力大小，ωx為彈體轉(zhuǎn)速.圖4中，ατ為點(diǎn)火延遲彈體旋轉(zhuǎn)角度，αω為發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)彈體旋轉(zhuǎn)角度，γv為彈丸速度傾斜角.

脈沖平均推力矢量方向與彈道坐標(biāo)系Oy2軸的夾角pi為

此刻彈道坐標(biāo)系下的脈沖平均推力方向單位向量IFa為

脈沖平均推力矢量大小為

圖4 脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)工作圖

3.2 運(yùn)動(dòng)的分解

由于脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)沖量大小有限，一般為幾十或上百N·s，則單個(gè)脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)對彈丸作用產(chǎn)生的速度分量為幾m/s，對彈丸自由飛行的氣動(dòng)力影響很小，可以忽略不計(jì).

如圖5所示，假定在某空間位置A第i＃號發(fā)動(dòng)機(jī)接受到點(diǎn)火指令，產(chǎn)生的平均推力矢量如式（2）、式（3）所示.將彈丸質(zhì)心運(yùn)動(dòng)分解成沿平均推力矢量方向先加速后勻速的直線運(yùn)動(dòng)和無控彈道的自由飛行運(yùn)動(dòng).在A點(diǎn)，由衛(wèi)星虛擬導(dǎo)引頭給出空間信息（x，y，z，v），經(jīng)彈道解算器數(shù)值解出落點(diǎn)M的位置（xM，yM，zM）、自由飛行剩余時(shí)間tr和落點(diǎn)速度矢量vt.

1）直線運(yùn)動(dòng).

在發(fā)動(dòng)機(jī)工作期間，受持續(xù)恒定脈沖平均推力作用，彈丸作勻加速運(yùn)動(dòng)；當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)作用完畢后，彈丸保持勻速直線運(yùn)動(dòng).脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的速度分量Δv為

式中，aFa為脈沖平均推力產(chǎn)生的加速度.

故經(jīng)過時(shí)間tr后，沿脈沖平均推力矢量方向上的位移s為

式（6）和式（4）忽略了彈丸沿推力矢量方向橫向移動(dòng)的空氣阻力的影響.

圖5 脈沖修正矢量計(jì)算圖

2）無控彈道的自由飛行運(yùn)動(dòng).

由于忽略了速度分量對自由飛行氣動(dòng)力的影響，則自由飛行運(yùn)動(dòng)的一切參數(shù)不變，其運(yùn)動(dòng)軌跡與2.2節(jié)彈道解算描述的運(yùn)動(dòng)軌跡完全一致，故經(jīng)過時(shí)間tr后，彈丸將會位于無控彈道自由飛行的落點(diǎn)M，飛行速度為無控彈道落點(diǎn)速度vt，其在彈道系中的坐標(biāo)為（vt，0，0）.

3.3 位移的合成

如圖5，經(jīng)過時(shí)間tr后，直線運(yùn)動(dòng)的位移為lMC，則有：

無控彈道自由飛行運(yùn)動(dòng)的位移為lAM，則兩獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的合成位移lAC為

則在位置A，第i＃發(fā)動(dòng)機(jī)接收到點(diǎn)火指令，經(jīng)時(shí)間tr后，彈丸將運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（xC，yC，zC），速度矢量vC為（vCxvCyvCz），則有：

式中，θ0、ψv0分別為彈丸在A點(diǎn)時(shí)的彈道傾角和彈道偏角.

式中，θt、ψvt分別為無控自由飛行落點(diǎn)M的彈道傾角和彈道偏角.

3.4 脈沖修正矢量計(jì)算

由式（10）得出C點(diǎn)位置，由于單發(fā)發(fā)動(dòng)機(jī)調(diào)控能力有限，直線運(yùn)動(dòng)位移s一般為幾十或上百m，則C點(diǎn)至修正彈道落點(diǎn)距離很短.假定彈丸在C點(diǎn)附近的運(yùn)動(dòng)為直線運(yùn)動(dòng)（即此時(shí)忽略重力影響）.

脈沖修正矢量：脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)修正彈道在無控彈道落點(diǎn)水平面上的交點(diǎn)與無控彈道落點(diǎn)之間的方向向量.如圖5中的lMM′，M′為修正彈道落點(diǎn).

設(shè)M′點(diǎn) 坐標(biāo)為（xM′，yM′，zM′），則lCM′//vC，故lCM′＝kvC，得：

由脈沖修正矢量定義知：

聯(lián)立式（13）、式（14）解出：

則脈沖修正矢量lMM′為

式中，s、pi、Δv由式（6）、式（1）、式（4）給出；θ0、ψv0由衛(wèi)星虛擬導(dǎo)引裝置給出；vt、θt、ψvt由彈道解算器給出.

4 單發(fā)脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)調(diào)控能力分析

脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)調(diào)控能力為脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)修正矢量的模，用R表示，即R＝｜lMM′｜.

4.1 簡化處理

對于無控彈丸氣動(dòng)外形，其靜穩(wěn)定裕度一般較大，無控自由飛行彈道彈道偏角極小，可以忽略不計(jì)，即ψv0≈ψvt≈0，則sinψv0≈sinψvt≈0，cosψv0≈cosψvt≈1.由式（16）得：

Δv一般為幾 m/s，vt一般為幾百 m/s，Δv為小量，則有：

將式（18）代入式（17）得：

4.2 單發(fā)動(dòng)機(jī)調(diào)控能力分析

對于指定彈道，θt一般保持不變，即可認(rèn)為θt為常量.聯(lián)立式（1）、式（6）、式（20）知單發(fā)動(dòng)機(jī)修正能力與發(fā)動(dòng)機(jī)推力大小F、發(fā)動(dòng)機(jī)作用時(shí)間ts、彈體轉(zhuǎn)速ωx、彈丸剩余飛行時(shí)間tr、發(fā)動(dòng)機(jī)位置（γv＋αi）、發(fā)動(dòng)機(jī)作用時(shí)刻的彈道傾角θ0有關(guān).

對指定彈道上某點(diǎn)某時(shí)刻發(fā)動(dòng)機(jī)的調(diào)控能力進(jìn)行分析，則彈道參數(shù)（ωx，tr，θ0，θt）、發(fā)動(dòng)機(jī)參數(shù)（F，ts）都為常量，則此時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)調(diào)控能力只受發(fā)動(dòng)機(jī)位置的影響，即式（20）只有pi為變量.設(shè)得：

5 發(fā)動(dòng)機(jī)最優(yōu)點(diǎn)火決策的設(shè)計(jì)

設(shè)t0時(shí)刻，衛(wèi)星導(dǎo)引頭給出該時(shí)刻的位置信息（x，y，z）、速度矢量v，則彈載計(jì)算機(jī)通過彈道解算可得彈丸落點(diǎn)M（xM，0，zM），得目標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)MT（xMT，0，zMT）.其導(dǎo)引偏差矢量為lMMT＝（xMT－xM0zMT－zM）.此時(shí)第i＃號發(fā)動(dòng)機(jī)脈沖修正矢量lMM′i可由式（19）求得.

則第i＃號發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火決策條件為

式中，λ為圓概率誤差Ecp的修正系數(shù)；δ0為相角決策閾值.其決策區(qū)域見圖6的陰影區(qū)域.

圖6 點(diǎn)火決策區(qū)域

6 仿真驗(yàn)證

6.1 脈沖修正矢量驗(yàn)證

選取某典型迫擊炮彈典型彈道，間隔取4個(gè)特征點(diǎn)位置作為起控點(diǎn)，其4個(gè)特征點(diǎn)位置的彈道傾角分別為11.0°，－11.2°，－22.4°，－32.5°.建立彈丸6自由度運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，數(shù)值仿真沿周身分布的單發(fā)脈沖修正能力，與式（16）計(jì)算結(jié)果比較，如圖7所示.由此可見式（16）計(jì)算結(jié)果與6自由度仿真結(jié)果一致，驗(yàn)證了式（16）計(jì)算方法的正確性.

圖7中，由外到內(nèi)對應(yīng)于彈道傾角為11.0°、－11.2°、－22.4°、－32.5°的特征點(diǎn).

圖7 脈沖修正矢量圖

脈沖修正矢量的計(jì)算誤差為

6.2 閉環(huán)驗(yàn)證

按圖3所示組成衛(wèi)星制導(dǎo)脈沖修正閉環(huán)系統(tǒng)，設(shè)置無控彈道落點(diǎn)與目標(biāo)偏差（－235m，100m），采用式（22）設(shè)計(jì)脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火決策，進(jìn)行有控彈道仿真.考慮衛(wèi)星導(dǎo)引頭捕星定位時(shí)間、衛(wèi)星導(dǎo)引頭量測誤差、脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)沖量攝動(dòng)、彈體滾轉(zhuǎn)相位測量誤差以及風(fēng)偏等相關(guān)擾動(dòng)因素進(jìn)行仿真計(jì)算.要求Ecp≤12m，仿真結(jié)果平均脫靶量為（－7.52m，－3.50m），在Ecp要求的范圍之內(nèi)，從而驗(yàn)證了本文研究的衛(wèi)星制導(dǎo)炮彈脈沖修正矢量計(jì)算方法的有效性.

通過6自由度彈道仿真和控制系統(tǒng)閉環(huán)驗(yàn)證，充分說明了衛(wèi)星制導(dǎo)炮彈脈沖修正矢量計(jì)算方法的正確性和有效性，可以為脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)和控制決策系統(tǒng)研究提供較好的參考價(jià)值.

[1]HABLANI H B.Pulsed guidance of exoatmospheric interceptors with image processing delays in angle measurements，AIAA 2000－4272[R].2000.

[2]王中原，丁松濱，王良明.脈沖修正彈在脈沖力矩作用下的飛行穩(wěn)定性條件[J].南京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2000，24（4）：322－325.WANG Zhong－yuan，DING Song－bin，WANG Liang－ming.Flight stability condition for a projectile of corrected trajectory with impulse moments[J].Journal of Nanjing University of Science and Technology，2000，24（4）：322－325.（in Chinese）

[3]寇保華，張曉今，楊濤，等.脈沖式末制導(dǎo)子彈導(dǎo)引規(guī)律的研究[J].彈道學(xué)報(bào)，2005，17（1）：28－31.KOU Bao－h(huán)ua，ZHANG Xiao－jin，YANG Tao，et al.Study of guidance law for impulse terminal guidance sub－munitions[J].Journal of Ballistics，2005，17（1）：28－31.（in Chinese）

[4]徐勁祥.末段修正迫彈脈沖修正方案研究[J].彈箭與制導(dǎo)學(xué)報(bào)，2005，25（1）：50－52.XU Jin－xiang.A study on impulse correction scheme of terminal correction mortar projectile[J].Journal of Projectiles，Rockets，Missiles and Guidance，2005，25（1）：50－52.（in Chinese）

[5]錢杏芳，林瑞雄，趙亞男.導(dǎo)彈飛行力學(xué)[M].北京：北京理工大學(xué)出版社，2008.QIAN Xing－fang，LIN Rui－xiong，ZHAO Ya－nan.Missile flight mechanics[M].Beijing：Beijing Institute of Technology Press，2008.（in Chinese）