陳春華

(周口師范學(xué)院化學(xué)系,河南周口466000)

近幾年來,關(guān)于差分方程解的振動(dòng)性質(zhì)的研究引起了大批學(xué)者的興趣[1-6]。本文考慮一階中立型差分方程

其中Δ為向前差分算子,即Δxn=xn+1-xn;p,q, τ,σ為正常數(shù),且 p∈(0,1)。

文獻(xiàn)[1]給出了在01和τ-σ=1兩種情況下對(duì)方程(1)的振動(dòng)性進(jìn)行研究。

定義1 方程(1)的解{xn}稱為振動(dòng)的,如果xn既不最終為正,也不最終為負(fù);否則,稱為非振動(dòng)的。

1 主要結(jié)果

引理1[6]方程(1)的所有解振動(dòng)的充分必要條件是其特征方程

沒有正實(shí)根。

證 由于 F(λ)=(λ-1)λσ-τ(λτ-p)+q= 0且q>0,所以只有(λ-1)λσ-τ(λτ-p)<0時(shí)方程才可能有根,而00,方程沒有實(shí)根,所以特征方程只有在區(qū)間(p,1)內(nèi)可能有正實(shí)根。

因?yàn)?F(λ)=(λ-1)λσ-τ(λτ-p)+q在[p,1]上連續(xù),所以 F(λ)在[p,1]有最大值和最小值。顯然在邊界點(diǎn)上 F(1)=F(pτ1)=q取得最大值,那么在(p,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得 F(ξ)為最小值。顯然函數(shù) F(λ)=(λ-1)(λτ-p)+q在區(qū)間(p,1)內(nèi)是連續(xù)可導(dǎo)的,故ξ點(diǎn)也為極小值點(diǎn)。由費(fèi)馬定理知,F′(ξ)=0,即

由τ-σ>1得τ-σ-1>0,所以(τ-σ+1)s> 0,因此

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