●(諸暨市天馬高級中學 浙江諸暨 311800)

探究2011年浙江省數(shù)學高考解析幾何試題的來源及解法

●王鐵松(諸暨市天馬高級中學 浙江諸暨 311800)

2011年浙江省數(shù)學高考理科卷的解析幾何試題在直線方程表達上對學生的要求達到了前所未有的高度.筆者將對這一試題追根溯源并給出新的解法.

1 試題溯源

圖1

圖2

例1如圖1，已知拋物線C1:x2=y，圓C2:x2+(y-4)2=1的圓心為點M.

(1)求點M到拋物線C1的準線的距離；

(2)已知點P是拋物線C1上一點(異于原點)，過點P作圓C2的2條切線，交拋物線C1于點A，B，若過點M，P的直線l垂直于AB，求直線l的方程.

(2011年浙江省數(shù)學高考理科試題)

本試題的雛形出現(xiàn)在1999年浙江省數(shù)學會考中：

例2如圖2,已知點F(0,1),直線l:y=-2,及圓C:x2+(y-3)2=1．

(1)若動點M到點F的距離比它到直線l的距離小1，求動點M的軌跡E的方程.

(2)過軌跡E上一點P作圓C的切線，切點為A,B．要使四邊形PACB的面積S最小，求點P的坐標及S的最小值．

(1999年浙江省數(shù)學會考試題)

會考卷的命題重心在于探究軌跡方程及通過圓幾何關(guān)系的等價轉(zhuǎn)換變?yōu)榍髣狱c到圓心距離的最小值，其對直線方程的要求幾乎為零.

試題的另一個來源是2008年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題：

例3如圖3，P是拋物線y2=2x上的動點，點B,C在y軸上，圓(x-1)2+y2=1內(nèi)切于△PBC，求△PBC面積的最小值．

(2008年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題)

圖3

圖4

例1與例3的不同點在于切線是與直線相交還是仍與拋物線相交，但都對從一點發(fā)出2條切線及其方程的表達上提出了較高要求.注意到在2011年浙江省數(shù)學高考文科卷中，命題者給出的也是與直線相交的問題，與例3同出一轍.

例4如圖4，設(shè)P是拋物線C1：x2=y上的動點.過點P做圓C2的2條切線，交直線l：y=-3于點A,B.

(1)求C2的圓心M到拋物線C1準線的距離.

(2)是否存在點P，使線段AB被拋物線C1在點P處的切線平分，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

(2011年浙江省數(shù)學高考文科試題)

2 試題求解

例1的解答有2種基本方案：

一是利用點斜式或直線方程的兩點式寫出切線方程，雖然是2條切線但可以用同一個形式來表示，這是此類問題的特點.

設(shè)P(t,t2)，過點P的圓的切線斜率為k，則切線方程為y-t2=k(x-t).

由直線與圓相切得

從而

(t2-1)k2-2t(t2-4)k+(t2-4)2-1=0,

由韋達定理得

其中k1,k2為切線的斜率.

y-t2=(x1+t)(x-t).

由直線與圓相切得

從而

同理x2滿足

下面就是求出直線AB,PM的斜率，由2條直線垂直其斜率之積為-1建立關(guān)于t的方程即可.

上述的解法要求能預(yù)見到這樣的一個一元二次方程存在，然后進行有效的表達和運算.

二是利用直線PM的位置關(guān)系進行解析.直線PM既是∠APB的平分線又滿足與對邊AB垂直，則△APB為等腰三角形，即點P位于線段AB的中垂線上，進而將問題轉(zhuǎn)化為“中點與垂直”問題，進行更為簡潔的解析如下：

從而

也即直線PM的方程.

對比得到

3 深刻反思

3.1 在解析幾何復(fù)習中的解題教學

在解析幾何復(fù)習中，關(guān)注較多的是經(jīng)過某一點的直線，并在直線位置的變化中探究與曲線相交所產(chǎn)生的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.在解決此類問題時，學生對直線方程的挖掘與探究較少.其實，解析幾何表達的精髓無非是坐標與方程，而方程的核心則是直線方程.曲線方程往往是已知的，而直線方程則要根據(jù)位置關(guān)系進行有效的表達.常見的情況有以下幾種：經(jīng)過一個定點、已知直線的方向、經(jīng)過2個點、沒有任何位置關(guān)系的信息，可以利用直線方程點斜式、斜截式和兩點式來表示,還要有效地假設(shè)未知的信息，譬如引進斜率作為變量，或者同時引進斜率和截距作為變量.總之，直線及其位置關(guān)系只有通過方程才能展開運算，只有運算才能對幾何關(guān)系進行有效的表達.

例1中從1個動點發(fā)出2條直線，學生可能想到用點斜式或結(jié)合與拋物線的另一個交點利用兩點式來表示直線，但由于缺乏后面運算的預(yù)見性而不敢為.敢想?yún)s不敢為或者為而無所作為，這是考生中普遍存在的一個心理和能力上的障礙.筆者認為這與教學中存在的急功近利、教師單純追求復(fù)習有效有一定關(guān)系，教師沒有留出足夠的時間讓學生消化吸收，缺少真正的內(nèi)化與落實.

3.2 如何更好地整合競賽與高考資源

“高考試題競賽化，競賽試題高考化”，這是近幾年命題中出現(xiàn)的一個新動向，尤其體現(xiàn)在名校的自主招生試題中.下面是近年來各級各類競賽中出現(xiàn)的相關(guān)試題，供大家參考.

圖5

圖6

1．如圖5，已知點A(0，2)和拋物線y2=x+4上點B,C使得AB⊥BC，求點C的縱坐標的取值范圍．

(2002年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題)

2．如圖6，給定圓P:x2+y2=2x及拋物線S:y2=4x,過圓心P作直線,此直線與上述2條曲線的4個交點自上而下順次記為A,B,C,D.如果線段AB,BC,CD的長按此順序構(gòu)成一個等差數(shù)列,求直線l的方程.

(2006年江西省南昌市高中數(shù)學競賽試題)

(2005年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題)

(2009年全國高中數(shù)學聯(lián)賽新疆預(yù)賽試題)

圖7

圖8

另外在一般的模擬卷中有以下相似試題.

5．如圖9，過x軸上的動點A(a,0)向拋物線y=x2+1引2條切線AP，AQ,點P,Q分別為切點.

(1)若切線AP，AQ的斜率分別為k1,k2，求證：k1k2為定值；

(2)求證：直線PQ過定點；

(3)若a≠0，試求S△APQ:|OA|的最小值.

圖9

圖10

(1)求橢圓方程；

(2)如圖10，過圓D：x2+y2=1上任意一點P引橢圓的2條切線m,n，求證：m⊥n.

7．設(shè)Q是直線y=-1上的一個動點，O為坐標原點，過點Q作x軸的垂線l，過點O作直線OQ的垂線交直線l于P.

(1)求點P的軌跡C的方程；

(2)過點A(-2，4)作圓B：x2+(y-2)2=1的2條切線交曲線C于點M,N，試判斷并證明直線MN與圓B的位置關(guān)系.