●(常德市第六中學(xué) 湖南常德 415003)

一個(gè)三角形面積關(guān)系式的再探究

●彭世金(常德市第六中學(xué) 湖南常德 415003)

文獻(xiàn)[1]研究了有心圓錐曲線涉及三角形面積的一個(gè)關(guān)系式,得到如下命題:

受其啟發(fā),筆者想到:如果線段AB是曲線Γ過(guò)中心的弦(不在軸上),那么上述結(jié)論是否還成立?通過(guò)探究,得到一個(gè)肯定的結(jié)果.

圖1

證明如圖1，連結(jié)OP，OQ，設(shè)M(x0,y0),A(m,n),B(-m,-n),則PQ,AP,BQ的方程分別為

(1)

(2)

(3)

式(1)-式(3),得OP的方程為

b2(x0-m)x+a2(y0-n)y=0,

因此

式(1)-式(2),得OQ的方程為

b2(x0+m)x+a2(y0+n)y=0,

因此

于是

因?yàn)辄c(diǎn)M(x0,y0),A(m,n)在橢圓上,所以

2式相減得

從而

令y0-n=-tb2(x0+m),x0-m=ta2(y0+n),則點(diǎn)M到AP的距離

點(diǎn)M到BQ的距離

從而

于是

得

圖2

性質(zhì)2類(lèi)似于性質(zhì)1可證,此處從略.

[1] 梁魯湘,姜坤崇.有心圓錐曲線涉及三角形面積的一個(gè)關(guān)系式[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué),2010(12)：39.