●(臺(tái)州中學(xué) 浙江臺(tái)州 317000)

注重“一題多解、一題多變”追求有效教學(xué)
——記一堂高三復(fù)習(xí)公開(kāi)課及教學(xué)反思

●畢里兵(臺(tái)州中學(xué) 浙江臺(tái)州 317000)

中學(xué)數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)非常注重有效教學(xué)，無(wú)論是高一、高二的新課還是高三的復(fù)習(xí)課，有效教學(xué)都是熱點(diǎn)和重點(diǎn)．課堂教學(xué)的40分時(shí)間如何高效、有效地發(fā)揮，這是一個(gè)難題.課堂的引入、問(wèn)題的拋出、例題的講解、習(xí)題的布置以及作業(yè)的合理選擇等必須有效設(shè)計(jì)，才能讓課堂有效．?dāng)?shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，高質(zhì)量的數(shù)學(xué)課就必須注重?cái)?shù)學(xué)的特征，尤其是在解題中注重連通性、變通性，才能讓學(xué)生有所感有所悟．而要在這方面做得有效，筆者認(rèn)為例題教學(xué)尤其是對(duì)應(yīng)的變式教學(xué)非常重要．筆者有幸參加了當(dāng)?shù)馗呷龜?shù)學(xué)有效性教學(xué)的公開(kāi)課，就課堂教學(xué)中“如何才能更有效地讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，活用數(shù)學(xué)解題方法”，做了“一題多解、一解多題”與“一題多變、一變多題”教學(xué)方式的大膽嘗試，受到了廣泛好評(píng)，在此與讀者共享．

1 案例回顧

和通常的復(fù)習(xí)課一樣，本著“低起點(diǎn)、高要求”的目標(biāo)，先拋出一個(gè)常見(jiàn)的有關(guān)二次函數(shù)恒成立的問(wèn)題：

例1已知函數(shù)f(x)=x2+ax+3-a，a∈R.

(1)若f(x)≥0在x∈R上恒成立，求a的取值范圍；

(2)若f(x)≥0在x∈[1,2]上恒成立，求a的取值范圍．

(對(duì)于第(1)小題，學(xué)生利用一元二次不等式的解法可直接作答.)

1．1 函數(shù)思想

師：f(x)≥0在x∈[1,2]上恒成立等價(jià)于什么？

生：f(x)在[1，2]上時(shí)f(x)min≥0．

師：那么，如何求f(x)在[1,2]上的f(x)min呢？

生：利用對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間[1，2]的位置關(guān)系來(lái)分類(lèi)討論.

(以下過(guò)程由學(xué)生口述，教師板書(shū).)

綜上所述，a≥-7.

1．2 方程思想

解法2f(x)≥0在x∈[1,2]上恒成立即f(x)=0有且只有以下4種情況：

(1)無(wú)實(shí)根：Δ<0，即-6

(3)在(-∞,1]上有2個(gè)根：

故

a≥2.

(4)在[2,+∞)上有2個(gè)根：

故

-7≤a≤-6.

綜上所述，a≥-7.

(學(xué)生甲剛說(shuō)完，學(xué)生乙就站起來(lái)了.)

學(xué)生乙：可用參變分離方法．

1．3 參變分離方法

解法3f(x)≥0在x∈[1,2]上恒成立，故a(x-1)≥-(x2+3)在[1,2]上恒成立.

(1)當(dāng)x=1時(shí)，0≥-4恒成立，a∈R．

(2)當(dāng)x∈(1,2]時(shí)，不等式可化為

在x∈[1,2]上恒成立.又令

在x∈[1,2]上恒成立.故g(x)在[1,2]上遞增，g(x)max=g(2)=-7，從而a≥-7.

綜上所述，a≥-7.

(此解法給出后，學(xué)生丙又站了起來(lái).)

學(xué)生丙：a(x-1)≥(x2+3)在[1,2]上恒成立，畫(huà)出不等式左、右2邊函數(shù)的圖像，從圖像上可分析求解．

1．4 數(shù)形結(jié)合思想

解法4a(x-1)≥-(x2+3)在[1,2]上恒成立，在同一坐標(biāo)系中作出圖像

y1=a(x-1),y2=-(x2+3).

由題意知，函數(shù)y1=a(x-1)(1≤x≤2)的圖像恒在函數(shù)y2=-(x2+3)(1≤x≤2)的圖像上方.

(1)當(dāng)a≥0時(shí)，觀察圖像即得.

(2)當(dāng)a<0時(shí)，若y1=a(x-1)的圖像與函數(shù)y2=-(x2+3)的圖像相切，則

a(x-1)=-(x2+3)，Δ=0，

故

a=-6或a=2(舍去)，

當(dāng)a=-6時(shí)，切點(diǎn)為(3,-12)，不在考慮的定義域內(nèi)．

要使函數(shù)y1=a(x-1)(1≤x≤2)的圖像恒在函數(shù)y2=-(x2+3)(1≤x≤2)的圖像上方,只要當(dāng)x=2時(shí)，y1=y2即可，故a≥-7.

綜上所述，a≥-7.

(此法給出后，教師環(huán)顧四周，學(xué)生面面相覷，只聽(tīng)見(jiàn)一個(gè)學(xué)生在嘀咕.)

學(xué)生?。喝鬴(x)≥0的解集是A,則[1,2]?A．

1．5 集合觀點(diǎn)

解法5(1)當(dāng)Δ≤0，即-6≤a≤2時(shí)，不等式恒成立．

(2)當(dāng)Δ>0，即a<-6或a>2時(shí),x2+ax+3-a≥0的解集是

要使f(x)≥0在x∈[1,2]上恒成立，只要

即

故

-7≤a<-6或a>2或a<-6.

綜上所述，a≥-7.

其實(shí)這2個(gè)問(wèn)題的設(shè)計(jì)入口很寬，看似普通，但能觸動(dòng)學(xué)生思維的火花，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，讓學(xué)生在解決同一問(wèn)題時(shí)各抒己見(jiàn)，讓課堂引入變得十分有效．

1．6 變式演練

師：f(x)≥0在某個(gè)區(qū)間上恒成立，這又讓我們想到了什么？

生：如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上遞增，它的導(dǎo)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上恒大于0．

師：非常好，利用這種關(guān)系，你能把條件改一下，變成另一個(gè)題嗎？

(學(xué)生分組討論，最后形成以下3題.)

變式2已知函數(shù)f(x)=6x4+8ax3+12(3-a)x2+a+9在(0,+∞)上不單調(diào)，求a的取值范圍．

變式3已知函數(shù)f(x)=[x3+(a+3)x2+(a+9)x+a+9]e-x,且f(x)≥f(2)對(duì)任意的x∈[1,2]都成立，求a的取值范圍．

師：非常好，我們通過(guò)知識(shí)之間的聯(lián)系，把原題變成了另一種形式．下面能否利用函數(shù)單調(diào)性的定義繼續(xù)變題呢？

成立，求a的取值范圍．

其實(shí)上述5個(gè)變式的設(shè)計(jì)，看似復(fù)雜，但是都可以通過(guò)適當(dāng)變形、求導(dǎo)、移項(xiàng)等方式很快轉(zhuǎn)化為課堂中的源問(wèn)題.同時(shí)，讓學(xué)生感受到“一題多解、一解多題”與“一題多變、一變多題”，這也使筆者最初的設(shè)計(jì)得到了有效嘗試.課堂教學(xué)的有效性通過(guò)層層設(shè)計(jì)，不僅點(diǎn)燃了學(xué)生思維的火花，而且越燒越旺，為學(xué)生在解題和變題方面構(gòu)建了知識(shí)基礎(chǔ)，進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)．

2 教學(xué)反思

筆者認(rèn)為“一題多解”與“一題多變”是數(shù)學(xué)課堂有效教學(xué)重要的教學(xué)方式,它可以讓學(xué)生在研究問(wèn)題的過(guò)程中，領(lǐng)悟重要的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，靈活高效地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．

“一題多解”可訓(xùn)練思維的多向性．平時(shí)教學(xué)中要注意相關(guān)題型一般解法的指導(dǎo)，習(xí)慣稱(chēng)之為通法.學(xué)好通法，就能用一種解法去解決一類(lèi)問(wèn)題，這樣既節(jié)約了時(shí)間，又最大限度地接觸了諸多題目，可以達(dá)到“熟能生巧、以不變應(yīng)萬(wàn)變”的效果．一題多解是開(kāi)發(fā)智力、培養(yǎng)能力的一種行之有效的方法.進(jìn)行思維分析，探討階梯規(guī)律和對(duì)習(xí)題的多角度追蹤，能以少勝多地鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．掌握基本的解題方法和技巧，對(duì)溝通不同知識(shí)之間的聯(lián)系、開(kāi)拓思路、培養(yǎng)發(fā)散思維能力、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣是十分有益的．例題教學(xué)中的解法1、解法2都屬于通法，一般的學(xué)生都能想到，但是分類(lèi)討論容易疏忽，而解法3是在感覺(jué)分類(lèi)討論易錯(cuò)的前提下，想到參變分離法，此法可以避開(kāi)分類(lèi)討論，得分會(huì)更高些，在解法3中注意發(fā)現(xiàn)的話(huà)，又產(chǎn)生了解法4．在課堂教學(xué)和復(fù)習(xí)中充滿(mǎn)靈感、激情和理想的過(guò)程不能僅僅停留在習(xí)題本身文字信息所傳達(dá)的通性通法，而是應(yīng)該重視對(duì)已有解法的提煉、延伸，提高學(xué)生解題的靈活性，注重激發(fā)興趣和求知欲，使課堂教學(xué)達(dá)到事半功倍的效果．

“一題多變”可訓(xùn)練思維的變通性．利用“一題多變”構(gòu)建新知識(shí)的最近發(fā)展區(qū)，尋找知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)探究的熱情，不斷從一類(lèi)問(wèn)題引申到另一類(lèi)問(wèn)題，給學(xué)生的思維發(fā)展提供階梯，讓學(xué)生在探究中感悟知識(shí)、建構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，這才能較大幅度地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率．在例題教學(xué)中，如果注意到函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)正負(fù)性的關(guān)系，就會(huì)思考：能否設(shè)計(jì)一個(gè)函數(shù)使其導(dǎo)函數(shù)就是原問(wèn)題中的f(x)，并且具有在[1,2]上遞增性質(zhì)的函數(shù).因此有了變式1，而變式2、變式3都是單調(diào)性的不同表述而已．由高中教材函數(shù)單調(diào)性的定義，就有變式4、變式5．通過(guò)適當(dāng)變換變化為多個(gè)與原題內(nèi)容不同，但解法相同或相近的題目.“一題多變”有利于擴(kuò)大學(xué)生視野，深化知識(shí)，舉一反三，觸類(lèi)旁通，從而提高學(xué)生的解題能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)求知欲，提高課堂效率．

追求有效教學(xué)，教師必須重視研題的過(guò)程.只有教師的不斷研究、不斷反思，才能孕育教學(xué)智慧．筆者希望有一種反思文化，由此生成的教案才能真正體現(xiàn)教師的眼光、思想，由此進(jìn)行的教學(xué)活動(dòng)才能真正體現(xiàn)教師的創(chuàng)造，從而更好地走進(jìn)學(xué)生的心靈，使課堂充滿(mǎn)生命活力．

[1] 羅增儒. 數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.

[2] 羅增儒.中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實(shí)踐[M].南寧：廣西教育出版社，2008.

[3] 波利亞.怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2007.