●(浙江師范大學(xué)2010級教育碩士 浙江金華 321004)●(新城中學(xué) 江蘇無錫 214111)

簡談數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的追問藝術(shù)

●章薇薇(浙江師范大學(xué)2010級教育碩士 浙江金華 321004)●浦敘德(新城中學(xué) 江蘇無錫 214111)

提問是使用最普遍、最古老的教學(xué)方法之一，它是古希臘教育家蘇格拉底著名的“產(chǎn)婆術(shù)”之核心.新課程認為，課堂教學(xué)是教師、學(xué)生、文本之間的對話過程，提問與回答是對話交流的主要途徑.布魯納認為教學(xué)過程是一種持續(xù)不斷地提出問題和解決問題的活動，思維永遠是從問題開始的.當課堂提問后學(xué)生出現(xiàn)無法解決或回答不及本質(zhì)時，教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生答問所表現(xiàn)出來的問題再一次進行提問，這就是追問，顯然，巧妙地運用追問可以解決學(xué)生認知和能力的不足.在數(shù)學(xué)課堂中，解題教學(xué)歷來是重中之重，從某種程度上講，它的成功就是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效能提高的有力保障.在解題教學(xué)中，巧妙的追問能促進學(xué)生進一步深入的思考與研究，問出問題源頭、問出過程方法、問出數(shù)學(xué)本質(zhì).下面就數(shù)學(xué)解題教學(xué)中如何使用追問藝術(shù)談一些看法,供讀者參考.

1 云深不知處——投石問路巧追問

課堂提問應(yīng)圍繞著教學(xué)目標展開，解題教學(xué)中的數(shù)學(xué)題目必須在知識的重點、難點處設(shè)置，通過數(shù)學(xué)題目的解決過程來幫助學(xué)生掃清知識障礙，澄清模糊認識，提升思維水平.但在重點難點處設(shè)置的題目往往又不是每個學(xué)生都能輕易解決的.如果學(xué)生面對題目時，不能展開思考或根本無從下手，那么此時教師應(yīng)通過投石問路巧追問，給思維不暢者以疏導(dǎo)，令其打開思路.

案例1小麗利用影長測量學(xué)校旗桿的高度.由于旗桿靠近一個建筑物,在某一時刻旗桿影子中的一部分映在建筑物的墻上.小麗測得旗桿AB在地面上的影長BC為40 m，在墻上的影長CD為4 m，同時又測得豎立于地面的0.5 m長的標桿影長為1 m，如圖1所示,請幫助小麗求出旗桿的高度.

圖1

圖2

面對這個題，大部分學(xué)生不知所措.

師(提問)：這里的物高AB有影長嗎？

生1：有，線段CB是AB的影長.

生2：不對，BC與CD都是AB的影長.

師(追問)：那是不是BC+CD的長度就是AB的影長呢？

此處正是學(xué)生難以理解和處理的地方.讓學(xué)生進行適當?shù)挠懻摚兄趯W(xué)生對該題本質(zhì)的理解.

生3：CD+BC的長度不應(yīng)該是AB的影長.如果AB足夠短的話，它的影子就應(yīng)該是BC，而正因為AB較長，所以一段影子在地上，一段在墻上.此時我們可以把墻上的影子CD看成新的物高，畫出它的影長,即延長線段AD與線段BC交于點H，則HC為CD的影長(如圖2)(得解法1，略).

生4：如圖2，此時線段HB就是AB的影長(得解法2，略).

師(追問)：線段CB能否看成某個物體的影子？

生5：過點D作DG∥BC，則DG是AG的影長(如圖3)(得解法3，略).

圖3

圖4

生6：過點C作CF∥AD，則CB是BF的影長(如圖4)(得解法4，略).

上述追問采用了順向式追問,即順著學(xué)生的思維追問,發(fā)現(xiàn)其思考的不足或錯誤后再次發(fā)問,引導(dǎo)學(xué)生深入思考，走上正確的思維軌道.

圖5

上述追問采用了順勢遷移式追問,即學(xué)生對基本問題掌握其數(shù)學(xué)本質(zhì)后,順勢拋出類似的新問題，以此來激發(fā)學(xué)生更深層、更全面、更多元的思考,從而實現(xiàn)超越預(yù)設(shè)教學(xué)目標，完成思維的飛躍.

評注當學(xué)生思緒堵塞時，“投石”可以助其疏通思路；當學(xué)生思維欠缺深度時，“投石”可以給予適當?shù)狞c撥；當學(xué)生思考沒有方向時，“投石”可以給予引導(dǎo)與銜接.本案例中，通過教師投石問路巧追問，讓學(xué)生從不同角度、不同方向、不同層次去思考問題，求同存異，使學(xué)生機智靈活地一題多解或多解一題，進而找到獨特、巧妙的最佳方法，領(lǐng)悟問題的本質(zhì)，課堂教學(xué)進入“課已終，題猶存，意更深”的意境.

2 潤物細無聲——去偽存真細追問

學(xué)生在解決數(shù)學(xué)題目的過程中難免會出現(xiàn)差錯，作為教師不能簡單粗暴地用一個“錯”字打斷學(xué)生的回答，然后越俎代庖地說出正確答案，而應(yīng)充分利用錯誤資源中的有效信息，進行去偽存真細追問，在學(xué)生思維斷層處進行正確思維的銜接，引導(dǎo)學(xué)生弄清產(chǎn)生錯誤的原因，并把握時機讓學(xué)生揣摩正確的糾錯方法，使之成為“美麗的錯誤，不小的收獲”.

案例2判斷：直線a上一點P到圓心O的距離等于半徑R，則直線a與圓O相切.

生1：正確.因為它與切線的一個判定方法“與圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線”一致.

師(追問)：“直線與圓心的距離等于半徑”是什么意思？

意在讓學(xué)生區(qū)分點與點之間的距離與點到線之間的距離.

生2：解釋這里的距離是點到直線的距離.

師(追問)：直線a上一點P到圓心O的距離等于半徑R，是不是就直線與圓心的距離等于半徑的意思？

此時學(xué)生的認知矛盾已得到化解.

師(追問)：你能畫出符合題意的反例示意圖嗎？

意在讓學(xué)生能更深一步地找到自己錯誤的原因，從而掃除思維障礙.

評注在學(xué)生回答出錯處、思維斷層處進行追根溯源的追問，有利于促進知識的正遷移，進而讓學(xué)生重新構(gòu)建完整的知識體系，更深層次認識知識的本質(zhì)所在.本案例中，教師以設(shè)問為抓手，抓住學(xué)生的認知沖突，通過去偽存真細追問，讓學(xué)生認清相切是直線與圓的位置關(guān)系中的一種，通過點到直線距離的刻畫，完成形數(shù)轉(zhuǎn)換，其本質(zhì)就是圓心到直線的距離等于圓的半徑，使課堂教學(xué)達到“隨問潛入思，潤生細無聲”的效果.

3 一覽眾山小——水到渠成妙追問

愛因斯坦曾經(jīng)說過：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要”.在解題教學(xué)過程中，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生多角度思考問題，發(fā)表自己獨特的思考與見解，教師應(yīng)本著以人為本的理念，珍惜學(xué)生的異想天開，善待學(xué)生的驚人發(fā)現(xiàn)，并巧妙地利用追問引導(dǎo)學(xué)生從“設(shè)陷”與“避陷”中走出困境，獲得真知.

圖6

案例3如圖6，AB為⊙O的直徑，AB=AC，BC交⊙O于點D,AC交⊙O于點E,∠EBA=45°.求證:CE·AB=2BD2.

采用實地勘測、線路調(diào)查、地形測量等方法，結(jié)合GPS技術(shù)的應(yīng)用，對地形地貌變化、水系調(diào)整、植被破壞面積、損壞水土保持設(shè)施數(shù)量、水土流失面積等進行監(jiān)測。

該題意在考查學(xué)生線段的倍半關(guān)系的解決方法.先將2BD轉(zhuǎn)化成BC,并用三角形相似知識解決本題.

師(追問):本題還可以得到哪些正確結(jié)論?

學(xué)生探究得出以下結(jié)論：

(1)角度方面的結(jié)論:∠EBC=22.5°,∠ECB=67.5°,∠AEB=90°等;

(2)線段方面的結(jié)論:AE=BE,DE=BD=CD，AD⊥BC等;

有學(xué)生受到結(jié)論(3)的啟示,提出了結(jié)論:AE=2DE.

師(追問)：AE=2DE成立嗎？你是怎么做出來的？

學(xué)生：若AE=2DE，則AE=BC=BE，而在直角△BCE中，BC≠BE.

學(xué)生通過“反證法”得出這個猜測是錯誤的.

這里采用的是逆向式追問,即逆著學(xué)生的思維或知識發(fā)生的過程追問,對學(xué)生已作出的正確回答給予肯定性評價后,反過來問理由,是對思考和理解過程的追問.

評注如果教師的解題教學(xué)始終停留在解完就結(jié)束問題的層面上，那么題海戰(zhàn)術(shù)就永遠不會消失.教師應(yīng)充分利用學(xué)生獲得的現(xiàn)有資源和思維成果及時進行總結(jié)、反思、拓展、延伸，使問題的價值獲得最大化.本案例中，學(xué)生的思維是縝密的，思考是嚴謹?shù)?，但通過水到渠成妙追問，促使學(xué)生進一步交流與思考、類比與質(zhì)疑、補充與完善，進而提出更深層面的規(guī)律與更廣的結(jié)論.師生在表達和傾聽、提問和追問中，收獲的是“會當凌絕頂，一覽眾山小”的自信.

4 更上一層樓——意外拓展奇追問

葉瀾曾經(jīng)說過：“課堂應(yīng)是向未知方向挺進的旅程，隨時都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的風(fēng)景，而不是一切都必須遵循固定的路線而沒有激情的行程.”是的，課堂教學(xué)是動態(tài)生成的過程，解題教學(xué)也不例外，隨時會出現(xiàn)“意外”.如果我們能機智地為學(xué)生打破預(yù)設(shè)，并用睿智的追問，拓展學(xué)生思維，延伸思維空間，定會讓解題教學(xué)中的“節(jié)外生枝”綻放出異彩.

案例4如圖7，在菱形ABCD中，∠B=60°，點E，F(xiàn)分別從點B，D出發(fā)以同樣的速度沿邊BC，DC向點C運動，給出結(jié)論：(1)AE=AF；(2)∠CEF=∠CFE；(3)當點E，F(xiàn)分別為BC，DC的中點時，△AEF是等邊三角形；(4)當點E，F(xiàn)分別為BC，DC的中點時，△AEF的面積最大.請判斷上述4個結(jié)論的真假.

圖7

圖8

在解決了前面3個問題后，學(xué)生解決最后一問.

圖9

圖10

生2：這么做太麻煩了！如圖9，設(shè)菱形邊長為1，當E，F(xiàn)還沒有動時，

師(追問)：我們用數(shù)量的大小關(guān)系說明了當點E，F(xiàn)分別為BC，EC的中點時，△AEF的面積不是最大值.如果不用數(shù)量說明，那么還可以從哪些方面入手呢？

顯然，如果沒有及時而有效的追問，課堂中不曾預(yù)約的精彩是不會不期而至的.

評注解決一個有價值的數(shù)學(xué)問題往往是多途徑的，而學(xué)生認識問題的角度也是多元的，他們會利用自己現(xiàn)有的顯性知識和默會知識按自己的思考方式去解決問題，教師要做的就是正確的引導(dǎo)，使問題更趨向本質(zhì).本案例中，教師圍繞問題從常規(guī)方法入手，先引導(dǎo)學(xué)生研究通法，但并沒有淺嘗輒止，而是充分利用課堂中的節(jié)外生枝，因勢利導(dǎo)，通過意外拓展奇追問，從數(shù)到形層層抽絲剝繭，直至問題完美解決，課堂教學(xué)中呈現(xiàn)出“欲窮千里目，更上一層樓”的奇異之景.

可見，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的追問是激活學(xué)生思維的點燃器,是引導(dǎo)學(xué)生走向理性的助長器,是課堂預(yù)設(shè)生成的催化器，是教學(xué)智慧形成的推進器.我們應(yīng)在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中熟練掌握和運用追問，提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的效能.同時，我們還應(yīng)思考如何把教師的“課堂追問”轉(zhuǎn)化為學(xué)生的“自我追問”,讓學(xué)生在自我追問中不斷反思，自主成長.只有這樣，教學(xué)才會充滿生機和活力，課堂才會實現(xiàn)教師和學(xué)生的同步發(fā)展.

[1] 浦敘德.淺談數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的生成性追問及時機[J].中國數(shù)學(xué)教育(初中版)，2011(5)：2-4.

[2] 邵瀟野.初中數(shù)學(xué)課堂提問的優(yōu)化策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(下半月·初中)，2007(7)：9-11.

[3] 溫建紅.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的變式性提問與引申性提問[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(中旬·初中)，2010(1)：17-19.