●(咸陽(yáng)師范學(xué)院基礎(chǔ)教育課程研究中心 陜西咸陽(yáng) 712000)

一類代數(shù)無(wú)理不等式的深度探究

●安振平(咸陽(yáng)師范學(xué)院基礎(chǔ)教育課程研究中心 陜西咸陽(yáng) 712000)

筆者曾在《數(shù)學(xué)通報(bào)》2003年第5期的問題欄目提出并證明了如下無(wú)理不等式：

問題1已知x,y為正實(shí)數(shù)，且n≥2(n∈N)，求證：

這是涉及2個(gè)正實(shí)數(shù)的無(wú)理不等式，且是開平方的情形.一種思考是:對(duì)開立方的情形如何呢？通過觀察、嘗試與探究，得到

問題2已知x,y為正實(shí)數(shù)，求證：

進(jìn)一步的深度思考是：對(duì)開n次方的情形呢？關(guān)注分母里第2項(xiàng)的系數(shù)，容易得出

問題3已知x,y為正實(shí)數(shù)，且n≥2(n∈N)，求證：

于是

變形得

即

也就是

同理

兩式相加，得

接下來的思考是，交換分母里系數(shù)2n-1的位置，會(huì)有類似的不等式嗎？通過試驗(yàn)n=2，3等特殊值，筆者提出如下猜想：

問題4已知x,y為正實(shí)數(shù)，且n≥2(n∈N)，證明或否定：

需要提及的是，筆者在文獻(xiàn)[1]里就曾得出：

已知：a>0,b>0，求證

至于不等式(4)的證明，留給讀者去思考.

(本文獲得咸陽(yáng)師范學(xué)院重點(diǎn)科研課題(08XSYK110)項(xiàng)目支持.)

[1] 安振平.一個(gè)數(shù)學(xué)問題的研究性學(xué)習(xí)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2003(6)：43-44.

[2] 安振平，陳寶安.在閱讀理解與思考變化中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2008(7)：60-61.

[3] 羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.