徐自立，焦慧平，石寶峰

( 1.中州大學(xué) 信息工程學(xué)院，河南 鄭州450044 2．大連理工大學(xué) 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院，遼寧 大連 116024)

由于四階梁方程

(1)

描述了一個(gè)彈性梁的形變過(guò)程，并且在理論和實(shí)際中還有許多其他的應(yīng)用，所以最近BVP(1)的研究備受大家的關(guān)注，也取得了一系列的研究成果[1-2].本文將對(duì)其中的三解存在性給出一個(gè)新的證明.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1 設(shè)E是一個(gè)實(shí)Banach空間，D是E中的開(kāi)集，泛函J：D→R1在D上Fréchet可微.如果J′(u0)=θ，u0∈D，那么稱u0是泛函J的一個(gè)臨界點(diǎn)，并稱c=J(u0)是J的一個(gè)臨界值.

定義2 設(shè)E是一個(gè)實(shí)Banach空間，J：E→R1是C1泛函.如果{un}?E，J(un)有界，J′(un)→θ蘊(yùn)涵{un}有收斂子列，則稱泛函J滿足Palais-Smale條件，簡(jiǎn)稱P.S條件.

引理2[4]假設(shè)J∈C2(H，R1)并且有下界，滿足P.S.條件且有一個(gè)非退化、非極小、具有有限Morse指數(shù)的臨界點(diǎn)，那么J至少有3個(gè)不同的臨界點(diǎn).

2 主要結(jié)論及其證明

定理1 假設(shè)下面條件成立：

(H1)f(t，0)=0，?t∈[0，1]；

那么BVP(1)在C4[0，1]中至少有3個(gè)不同的解.

證明記H=L2[0，1]，在H上定義泛函

(2)

由文獻(xiàn)[5]易見(jiàn)泛函(2)是問(wèn)題(1)的能量泛函.下面我們僅需證明J至少有3個(gè)不同的臨界點(diǎn).

2.1 證明J∈C2(H，R1)

由(2)可知

J′(u)=u-KfKu，

(3)

J″(u)=I-Kf′(Ku)K，

(4)

所以J∈C2(H，R1).

2.2 證明J在H上有下界

由(H2)知，對(duì)任意的u∈H，

(5)

因此，J在H上有下界.

2.3 證明J在H上滿足P.S.條件

假設(shè){un}?H且?M1>0使得|J(un)|≤M1及J′(un)=un-KfKun→θ，n→∞.下面證明{un}有收斂子列.

記A=KfK，知A是緊算子，則{Aun}列緊，故存在{Aun}的子例Aun→u0，從而由J′u(n)=un-KfKun→θ知unk-Aunk→θ，所以u(píng)nh=(unk-Aunk)+Aunk→u0，由此即知{un}有收斂子列.

2.4 證明θ為J的一個(gè)臨界點(diǎn)

由J′(u)=u-KfKu及f(t，0)=0，?t∈[0，1]知J′(θ)=θ，即θ為J的一個(gè)臨界點(diǎn).

2.5 證明θ為J的一個(gè)非退化臨界點(diǎn)

為此，即證J″(θ)存在有界逆.

λ=1∈(Cρ(T))=σ(T))=σp(T)∪σc(T)∪σr(T)，

而T是緊算子，所以σ(T){0}=σp(T){0}，所以λ=1∈σp(T)，即λ=1是T的特征值.

設(shè)λ為T(mén)的任意一個(gè)特征值，對(duì)應(yīng)的特征值向量為u≠θ.那么(Tu，u)=(λu，u)=λ(u，u).而

所以T的特征值全部大于0.因?yàn)?/p>

同理，

m4π4

由于m，n均為正整數(shù)，這顯然是矛盾的，所以J″(θ)存在有界逆.

2.6 證明θ為J的一個(gè)非極小臨界點(diǎn)

由(H3)易知存在ε>0使得

所以，對(duì)?ε>0，取u∈Hm，0<‖u‖<ε，‖Ku‖c≤δ，則

即θ為J的一個(gè)非極小的臨界點(diǎn).

2.7 證明θ為J的一個(gè)具有有限Morse指數(shù)的臨界點(diǎn)

(J′(u)，u)=‖u‖2-(f(Ku)，Ku)≥‖u‖2-(f(Ku)，Ku)≥‖u‖2-|(f(Ku)，Ku)|≥‖u‖2-‖f(Ku)‖‖Ku‖>‖u‖2-π4‖Ku‖2≥‖u‖2-π4‖K‖2‖u‖2=0.

由Morse指數(shù)的定義，J在孤立臨界點(diǎn)θ處的Morse指數(shù)即為H上使得二次型(J″(θ)v，v)負(fù)定的極大子空間的維數(shù)，記為dimH-.

而對(duì)于v2?Hm⊥，因?yàn)?/p>

λm+1|(v2，em+1)|2+λm+2|(v2，em+2)|2+……≤

所以

從而dimJ-=m，所以θ點(diǎn)的Morse指數(shù)有限.

綜合證明2.1～2.7，知J滿足引理2的全部假設(shè)條件，所以由引理2可知J至少有3個(gè)不同的臨界點(diǎn)，證畢.

參考文獻(xiàn)：

[1] Bai Z, Wang H. On positive solutions of some nonlinear fourth-order beam equations[J].J Math Anal Appl， 2002(270):357-368.

[2] Li F, Zhang Q，Liang Z. Existence and multiplicity of solutions of a kind of fourth-order boundary value problem[J].Nonlinear Analysis, 2005(62): 803-816.

[3] 郭大鈞.非線性泛函分析[M].2版.濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,2001.

[4] 張恭慶.臨界點(diǎn)理論及其應(yīng)用[M].上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1986.

[5] 張恭慶,林源渠.泛函分析講義[M].北京:北京大學(xué)出版社,1987.