樊東紅 曾 彥

（欽州學(xué)院 物理和材料學(xué)院，廣西 欽州 535000）

關(guān)于t-范數(shù)的構(gòu)造方法

樊東紅 曾 彥

（欽州學(xué)院 物理和材料學(xué)院，廣西 欽州 535000）

文章對t-范數(shù)的發(fā)展歷史和取得的成果進(jìn)行了論述，并且給出了相關(guān)定義，論證了其基本性質(zhì)，對其構(gòu)造展開了全面的分析研究，得到了相應(yīng)的結(jié)果。

t-范數(shù)，度量空間，模糊集

1 t-范數(shù)的研究歷程

t-范數(shù)（即：三角范數(shù)）的歷史起源于論文《統(tǒng)計度量》[Menger 1942]，而Karl Menger的本意是構(gòu)造度量空間使得概率分配而不是數(shù)用在其中，以便刻畫所提問題中的空間二元素間的距離[1]。

t-范數(shù)起重要作用的第一個領(lǐng)域就是概率度量空間的理論[2]。Berthold Schweizer 和Abe Sklar在1961年提出了我們今天仍在使用的t-范數(shù)理論，Seratnev 在1962年給出的統(tǒng)計度量的重新定義，許多關(guān)于t-范數(shù)的結(jié)果都是在這一發(fā)展過程中得出[3]。

關(guān)于函數(shù)等式領(lǐng)域，（連續(xù)的）t-范數(shù)理論與結(jié)合性等式（它的更一般形式仍未解決）密切相關(guān)[4]。最早的起源是Abel的研究，這一方向的研究有更多的結(jié)果[5]，尤其Ja’nos Acze’l的專著對t-范數(shù)的發(fā)展有并且仍將有深遠(yuǎn)的影響[6]，在這個背景下的主要結(jié)果是借助加法生成元完全刻畫連續(xù)的Archimedeant-范數(shù)[6]。

研究的另一個方向是為解決一些（或多或少的）自然函數(shù)等式的t-范數(shù)參數(shù)族的證明，關(guān)于這一點，最重要的結(jié)果多半是Frank 的工作[8]，它表明Frank t-范數(shù)和t-對偶范數(shù)（加上序數(shù)和定理）是所謂的Frank函數(shù)等式的唯一解決辦法。

總之，只需從三種t-范數(shù)，即MT ，PT ，LT 借助同構(gòu)轉(zhuǎn)化和序數(shù)和就可以構(gòu)造出所有的連續(xù)t-范數(shù)[6]。

2 基本概念

定義2.1三角范數(shù)T（簡稱t-范數(shù)）是定義在單位區(qū)間[0,1]上的二元運算。即：對函數(shù)T： [0 ,1 ]2→ [0 ,1 ] , 使得對所有x,y,z∈ [ 0,1],有以下四個公理成立：

(T1) T(x ,y ) = T (y ,x ) (交換律)

(T2) T(x ,T (y ,z ) ) = T (T(x ,y ),z ) (結(jié)合律)

(T3) T(x ,y) ≤ T(x ,z),只要y≤z (單調(diào)性)

(T4) T(x , 1 ) = x (邊界條件)

例2.1 以下是四種基本的t-范數(shù) TM, TP, TL, TD.

TM(x ,y ) = m in(x ,y)

TP(x ,y ) =x?y

TL(x ,y ) = m ax(x + y ?1,0)

只有 TL和 TD的結(jié)合律是不完全平凡的.因為 TL可以看作：

對于 TD只有在 ,y,z 中至少有2個等于1時我們在每一側(cè)上都得到一個不等于0的值,在這種 情況下我們顯然在每一側(cè)上都有min(x ,y,z )，這四種基本t-范數(shù)很重要。定義 2.2 i)若對 t-范數(shù),不等式對所有的 ( x ,y )∈ [ 0,1 ]2成立,我們就說 T1弱于 T2,或 T2強于 T1，寫作T1≤T2。

ii)若T1≤T2且T1≠T2,則說T1< T2.即若 T1≤T2且對某個

從以上兩點連同t-范數(shù)的性質(zhì)，我們可以得到如下的包含四種基本的t-范數(shù)的比較，總體上說來, 要比較兩個t-范數(shù)的強弱不是很容易。

注： (i)由(1.3)可知,對每個t-范數(shù)T 和每個 ( x ,y )∈ [ 0,1 ]2,有 T (x ,y) ≤ T ( 1, y )= y,T (x,y ) ≤ T (x, 1 ) = x所有的t-范數(shù)在

[0,1 ]2的邊界上是重合的且對所有的 ( x ,y )∈ ( 0,1 )2,有 T (x ,y ) ≥ 0 = TD(x ,y )。因此， TD是最弱的 t-范數(shù), TM是最強的

t-范數(shù):

(ii)因為顯然 TL< TP,所以我們可以得到四種基本t-范數(shù)的序:

很顯然對 t-范數(shù)T最重要的事就是在開單位平方 (0 ,1 )2上滿足交換律(T 1 ),結(jié)合律(T 2 ), 單調(diào)性(T 3 )，然而這不足以保證在整個單位平方 [0 ,1 ]2上的單調(diào)性。S:[ 0,1 ]2→ [0 ,1], 使得對所有 x ,y,z∈ [ 0,1 ] ,滿足(T1)-(T3)和邊界條件

例2.2 以下是四種基本的t-對偶范數(shù) SM, SP, SL,SD。

事實上t-對偶范數(shù)的原始定義與以下給出的定義完全等價:

函數(shù)S:[ 0,1 ]2→ [0 ,1]是t-對偶范數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)存在t-范數(shù)T使得對所有 ( x ,y)∈[0,1]2

3 重要性質(zhì)

性質(zhì)3.1 i)從定義2.1我們可以直接推出,對于所有的 x ∈ [ 0,1 ] ,t-范數(shù)T滿足以下另外的兩個邊界條件:

因此，所有的t-范數(shù)在單位平方 [0 ,1 ]2的邊界上都是重合的。

ii) t-范數(shù)T在第二個分量上的單調(diào)性由(T3)可描述,加之(T1),等價于在兩個分支里的(聯(lián)合)單調(diào)性，即：

確實,若 x1≤x2,y1≤y2,則我們有

性質(zhì)3.2 設(shè)A是滿足(0 , 1)? A?[0,1]的集合,假設(shè)*:A2→A 是定義在A上的二元運算，且對所有的x,y,z∈A,滿足性質(zhì)(T1)?(T3)和

則函數(shù)T:[ 0,1 ]2→ [0 ,1 ] 是t-范數(shù),其中T定義為:

而且T是唯一的限制到 ( A {1})2與*限制到 ( A {1})2重合的t-范數(shù)。

性質(zhì)3.3 i)對所有的 x ∈ [ 0,1]滿足 T (x ,x ) = x的唯一的t-范數(shù)是 TM。

ii)對所有的x∈[0,1]滿足T(x,x )= 0 的唯一的t-范數(shù)是 TD。

4 T-范數(shù)的構(gòu)造

定理4.1：對于 x, y∈[0,1]，h∈[-1,1]是x，y的相關(guān)系數(shù)，則

是T范數(shù)。

證明：易得T（ha,b）∈[0,1]。以下驗證(1)式滿足T-范數(shù)的四個條件。由于TP,TM,TL是T-范數(shù),因此邊界條件，交換律和單調(diào)性顯然滿足，只需要證明結(jié)合律，即證明：

考慮相關(guān)參數(shù)均屬于[0,1]d的情況，則有

上變化，只要能證明P，Q的交集非空,就可以選擇合適的參數(shù) h3,h4使得(11)成立。

令

同理可證明 Pmax≥ Qmin，因此P，Q的交集必定非空，因此總能找到適當(dāng)?shù)膮?shù)使交換律滿足，同理可證得相關(guān)參數(shù)為其他情況是時也滿足定理，故定理得證。

這里 h是a，b的相關(guān)系數(shù)，當(dāng)h=1時,表示a，b間具有最大相關(guān)性： Th= TM，當(dāng)h=0，表明a，b間具有獨立相關(guān)性，Th= TP；當(dāng)h=-1，表明a，b間具具有最小相關(guān)性， Th= TL當(dāng) h在[0,1]間連續(xù)變化時， Th將在 TP和 TM間作連續(xù)變化，當(dāng)h在[-1,0]間連續(xù)變化時， Th將在 TP和 TL間連續(xù)變化。

上述定理即給出了一種T-范數(shù)的構(gòu)造方法。

[1]E. P. klement, R.Mesiar, E. Pap.Triangular-Norms[M].Dordrecht :Kluwer-AcademicPublisher,2000.

[2]E.P.klement,R.Mesiar,E.Pap.Problems on triangular norms and related Operators[J].Fuzzy Sets and Systems,2004,145(3):471-479.

[3]B. Schweizer, A.Sklar. Probabilistic Metric Spaces[M].North-Holland,NewYork,1983.

[4]Funda Karacal.An answers to an open problem on triangular norms[J].Fuzzy Sets and Systems,2005,155(3):459-463.

[5]M. Hosszu.Some functional equations related with the associativity law[M].Publ. Math Debrecen,1954.

[6]C.M.Ling.Representation of associative functions[M].Debrecen:Pub.Math.1965.

[7]J Aczél. Lectures on functional equations and their applications[M].New York:Academic Press,1966.

[8]J. Frank.On the simultaneous associatively of F(x, y) and x+y-F(x, y)[J].A Equations Mathematical,1979,19(2-3):194-226.

CONSTRUCTION AND PROPERTIES OF T-NORM

FAN Dong-hong, ZENG Yan
( Qinzhou University, Qinzhou 535000,China)

In this paper, the history and the results of t-norm are discussed. It gives the related definitions and discusses the basic properties of t-norm. It has a comprehensive analysis of the construction of t-norm. The corresponding results have been

.

t-norm; Metric space; Fuzzy sets

O159

A

1673-2219（2011）08-0032-04

2011－05－03

廣西自然科學(xué)基金資助項目（2011GXNSFA018151），廣西教育廳科研資助項目（201012MS194）。作者簡介：樊東紅（1964－），女，廣西忻城人，欽州學(xué)院副教授，主要研究方向為模糊系統(tǒng)及應(yīng)用。

(責(zé)任編校：劉志壯)