周立平 鄧小輝

(1. 湖南科技學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，湖南 永州 425100；2.永州市第二中學(xué)，湖南 永州 425100）

矩陣方程 A X=B的加權(quán)最小二乘對(duì)稱、反對(duì)稱解及其最佳逼近

周立平1鄧小輝2

(1. 湖南科技學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，湖南 永州 425100；2.永州市第二中學(xué)，湖南 永州 425100）

通過矩陣的奇異值分解，求得了矩陣方程 BAX= 的在加權(quán)范數(shù)下的最小二乘解、對(duì)稱最小二乘解、反對(duì)稱最小二乘解，同時(shí)也導(dǎo)出了在相應(yīng)解集中與給定矩陣最佳逼近的最小二乘解.

加權(quán)范數(shù)；最小二乘解；對(duì)稱解；反對(duì)稱解；最佳逼近

1 引言

由于許多科學(xué)計(jì)算需要考慮加權(quán)最小二乘問題，如在求解最小二乘問題Ax ? b=min時(shí)，若A中部分系數(shù)和其對(duì)應(yīng)方程的右端項(xiàng)精確知道，而其他系數(shù)和右端項(xiàng)具有一定誤差，則在計(jì)算時(shí)為盡量多保留有效信息，通常會(huì)對(duì)精確知曉的系數(shù)和右端項(xiàng)的方程乘以較大權(quán)重因子，以增加其在最小二乘問題的重要性，也就產(chǎn)生了加權(quán)最小二乘問題.為簡單起見，先對(duì)符號(hào)作如下約定. 設(shè) Rm×n表示所有 m n 階實(shí)矩陣的集合， S Rn×n表示所有n階實(shí)對(duì)稱矩陣的全體，表示所有n 階實(shí)對(duì)稱正定矩陣的全體， A SRn×n表示所有n階實(shí)反對(duì)稱矩陣的全體， O Rn×n為所有n階實(shí)正交矩陣的全體， Im表示m階單位矩陣， AT、 r ank ( A)分別表示矩陣A的轉(zhuǎn)置與A的秩，對(duì)于 A = ( aij)m×n和表示A與B的Hadamard 積， ?在無說明的情況下，均指Frobenius 范數(shù).

矩陣的加權(quán)范數(shù)通常定義如下：

定義1 設(shè) A ∈ Rm×n，，若 r ( W A )= r (A)，則定義A的加權(quán)范數(shù)為

事實(shí)上，當(dāng) W = Im時(shí)，AW= A，表明加權(quán)范數(shù)更具有一般性.

本文旨在考慮如下兩類問題：

問題I 給定 A ∈ Rm×n， B ∈ Rm×n，，則

問題II 設(shè)問題I ( a ) ,(b),(c)的解集分別為 Sa， S b， S c，給定 X ∈ Rn×n，

[1]孫繼廣.實(shí)對(duì)稱矩陣的兩類逆特征值問題[J].計(jì)算數(shù)學(xué),1988,(3):282-290.

[2]鄧遠(yuǎn)北.幾類線性矩陣方程的解與PROCRUSTES問題[D].長沙:湖南大學(xué),2003,1-99.

[3]謝冬秀,張磊.一類反對(duì)稱陣的最小二乘問題[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1993,10(3):25-34.

[4]鄧遠(yuǎn)北,胡錫炎.線性流形上矩陣方BXBT = D的對(duì)稱解[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2004,24A(4):459-463.

[5]戴華.矩陣論[M].北京:科學(xué)出版社,2001.

[6]魏木生.廣義最小二乘問題的理論和計(jì)算[M].北京:科學(xué)出版社,2006.

O151.21

A

1673-2219（2011）08-0006-05

2011－03－20

湖南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(編號(hào)：09JJ6014);湖南省教育廳重點(diǎn)資助科研項(xiàng)目

周立平（1978－），男，湖南永州人，碩士，講師，湖南科技學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系教師，研究方向?yàn)閿?shù)值代數(shù)。（責(zé)任編校：何俊華）