于 波，夏 焰，張玉坤

（1.德州學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山東 德州253023；2.安徽大學(xué) 高教所，安徽 合肥 240039）

大學(xué)高考數(shù)學(xué)成績與高數(shù)成績的弱相關(guān)性分析
——基于A大學(xué)的個(gè)案探討

于 波1，夏 焰2，張玉坤1

（1.德州學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山東 德州253023；2.安徽大學(xué) 高教所，安徽 合肥 240039）

以山東省某綜合型普通本科院校為例，采用實(shí)證研究的方法探求高考與大學(xué)生學(xué)業(yè)成績的Pearson線性相關(guān)分析與Copula函數(shù)非線性相關(guān)分析，結(jié)果顯示兩者具有較弱的相關(guān)性。表明高中數(shù)學(xué)教育及高考數(shù)學(xué)考試與大學(xué)數(shù)學(xué)教育及考查有很大不同，研究結(jié)果為我國改革高考制度和中學(xué)數(shù)學(xué)教育提供了現(xiàn)實(shí)依據(jù)。

高考改革；數(shù)學(xué)教育；學(xué)業(yè)成績；相關(guān)系數(shù)；Copula函數(shù)

1 問題提出

截止2010年，我國高等教育毛入學(xué)率已達(dá)到28%，表明我國已進(jìn)入高等教育大眾化階段。2011年的高考錄取率全國平均達(dá)到75%，源于高考是“一把尺子”衡量所有學(xué)生，人們對高考改革的呼聲越來越高，高校自主招生的覆蓋面也一再擴(kuò)大。2010年頒布的《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010－2020年）》也提出了多元錄取的高考改革方案，為高考改革提出了具體要求和指導(dǎo)原則。

本文以山東省某綜合型普通本科院校（二本）為例，以下簡稱為A校，采用實(shí)證研究的方法探求高考與大學(xué)生學(xué)業(yè)成績的相關(guān)關(guān)系，為我國高考制度改革提供現(xiàn)實(shí)依據(jù)。

A校從2000年開始招收普通本科學(xué)生，本科錄取線為山東省本科二批分?jǐn)?shù)線，在校生規(guī)模接近兩萬，眾所周知該類院校是我國實(shí)現(xiàn)高等教育大眾化的主要力量，研究結(jié)果具有普遍意義。研究對象為A校2000至2003級理工科本科畢業(yè)生及在籍學(xué)生，隨機(jī)抽取其中674名學(xué)生，對其入學(xué)后的高等數(shù)學(xué)考試成績及高考數(shù)學(xué)成績進(jìn)行相關(guān)研究。

2 研究方法

本課題采用實(shí)證研究方法對學(xué)生學(xué)業(yè)成績進(jìn)行追蹤調(diào)查研究。追蹤同一種樣本，研究在不同時(shí)刻的動態(tài)變化過程。在數(shù)據(jù)的觀測和收集方面，高考數(shù)學(xué)成績由普通高校招生錄取系統(tǒng)獲得，學(xué)生的高等數(shù)學(xué)成績由A校教務(wù)與教學(xué)等管理信息系統(tǒng)獲得。在數(shù)據(jù)的分析方面，首先利用社會統(tǒng)計(jì)分析軟件SPSS進(jìn)行相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn)，來分析二者的相關(guān)程度。由于Pearson相關(guān)系數(shù)僅能度量線性相關(guān)關(guān)系。因此我們又利用當(dāng)今在相關(guān)性領(lǐng)域分析中比較常用的連接函數(shù)（Copula函數(shù)）來分析高考數(shù)學(xué)成績與高等數(shù)學(xué)成績之間的關(guān)系，并給出二者之間的定量分析。

3 高考數(shù)學(xué)成績與高等數(shù)學(xué)成績的相關(guān)性分析

3.1 采用簡單相關(guān)系數(shù)

度量相依關(guān)系的工具主要是皮爾遜的相關(guān)系數(shù)。這個(gè)工具有著方便理解、容易計(jì)算等一系列的優(yōu)點(diǎn)，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用中起著一個(gè)舉足輕重的作用。

3.1.1 相關(guān)系數(shù)的特點(diǎn)

相關(guān)系數(shù)以數(shù)值的方式很精確地的反應(yīng)了兩個(gè)變量間線性相關(guān)的強(qiáng)弱程度。利用相關(guān)系數(shù)進(jìn)行變量間線性關(guān)系的分析通常需要完成一下兩個(gè)步驟：

第一，計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù) 。

第二，對樣本來自的兩總體是否存在顯著的線性關(guān)系進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。

（1）提出原假設(shè)，即兩總體無顯著的線性關(guān)系；

（2）選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量；

（3）計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測值和對應(yīng)的概率P－值；

（4）作出決策。

3.1.2 實(shí)例分析

（1）Pearson簡單相關(guān)系數(shù)

設(shè)X、Y是總體的兩個(gè)指標(biāo)，（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）分別是來自這兩個(gè)指標(biāo)的n組觀察值，則X、Y的相關(guān)系數(shù)ρxy記為

首先，利用SPSS軟件的相關(guān)分析模塊，得到高考數(shù)學(xué)與高數(shù)成績的相關(guān)分析結(jié)果，見表1。

表1 高考數(shù)學(xué)與高數(shù)成績相關(guān)分析結(jié)果

由表1可知：高考數(shù)學(xué)成績與高數(shù)成績間的簡單相關(guān)系數(shù)為0.049，說明兩者之間存在正的弱相關(guān)性。其相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的概率P值分別為0.205。因此，當(dāng)顯著性水平為0.05時(shí)，應(yīng)該接受相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的原假設(shè)，認(rèn)為兩總體是零相關(guān)的，但不能確定兩者之間是否存在其他非線形的關(guān)系，因此，本文采用Copula函數(shù)，來確定二者之間的關(guān)系。

（2）運(yùn)用Copula函數(shù)做相關(guān)性分析

Copula函數(shù)是一個(gè)全面度量變量之間相依性的方法，它的出現(xiàn)改變了傳統(tǒng)的用一兩個(gè)指標(biāo)來表示相關(guān)結(jié)構(gòu)的方法，它使用一個(gè)完整的、全面的表示變量間的相關(guān)性，不僅是相關(guān)程度，而是整個(gè)相關(guān)結(jié)構(gòu)。由此看來，在不能決定線性相關(guān)系數(shù)能否正確度量相關(guān)關(guān)系的時(shí)候，利用Copula理論來分析變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu)更為可靠［1］。

第一步，利用邊際分布函數(shù)，將學(xué)生的高考數(shù)學(xué)成績與高等數(shù)學(xué)成績序列（xt，yt）轉(zhuǎn)化為新的序列（ut，vt），利用MATLAB軟件畫出它們的散點(diǎn)圖（圖2），其中ut＝Fx（xt），vt＝Fy（yt），t＝1，…，T，F(xiàn)x（x），F(xiàn)y（y）分別為X，Y的邊際分布函數(shù)；

圖1 高考成績與高數(shù)成績散點(diǎn)圖

圖2 當(dāng)α＝1.0494時(shí)GumbelCopula的674次模擬數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖

根據(jù)散點(diǎn)圖的特征，首先利用Copula函數(shù)的基于經(jīng)驗(yàn)函數(shù)的BFGS方法估計(jì)法得到了與圖1散點(diǎn)圖特征相似的三種Copula函數(shù)中的參數(shù)值（見表2），然后模擬出上述三種Copula函數(shù)的散點(diǎn)圖：Gumbel Copula的模擬散點(diǎn)圖（見圖2）、Frank Copula的模擬散點(diǎn)圖（見圖3）、Clayton Copula的模擬散點(diǎn)圖（見圖4）［5］。

表2 Copula函數(shù)的估計(jì)值

圖3 當(dāng)α＝10－6時(shí)Frank Copula的674次模擬數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖

圖4 當(dāng)α＝0.0989時(shí)Clayton Copula的674次模擬數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖

第二步，利用Archimedean Copula的解析法 選擇：把［0，1］10000等分，令t分別等于各等分點(diǎn)，根據(jù)上述公式計(jì)算K（t）、＾K（t），t－K（t）、t－＾K（t），分別以t為橫坐標(biāo)，K（t）、＾K（t），及t－K（t）、t－＾K（t）為縱坐標(biāo)，利用 MATLAB軟件畫出幾種Copula的t－K（t）圖（見圖5）和它們的分布函數(shù)K（t）圖（見圖6）。通過計(jì)算Copula函數(shù) Gumbel、Frank、Clayton的K（t）與＾K（t）的距離：d11＝0.0074，d21＝0.0019，d31＝0.8100，并進(jìn)一步比較得到Frank的K（t）與＾K（t）的距離較小，因此 Frank是最優(yōu)的 Copula函數(shù)［3］。

圖5 Gumbel、Frank、Clayton的t－K（t）的比較圖

圖6 Gumbel、Frank、Clayton的 K（t）比較圖

第三步，利用Q－Q圖進(jìn)行評價(jià)：利用MATLAB軟件分別作出Gumbel、Frank、Clayton函數(shù)的Q－Q圖，見圖7、圖8、圖9。

圖7 Gumbel函數(shù)的Q－Q圖

圖8 Frank函數(shù)的Q－Q圖

圖9 Clayton函數(shù)的Q－Q圖

通過Q－Q圖比較，我們得到Copula函數(shù)Frank函數(shù)是最適合數(shù)據(jù)的。由Frank Copula函數(shù)的表達(dá)式

知，當(dāng)α→0時(shí)，表示隨機(jī)變量u，v趨向獨(dú)立，而本案例中α＝1.0×10－6，故可以認(rèn)為高考數(shù)學(xué)成績與高數(shù)成績間的相關(guān)性非常弱。

4 結(jié)論

基于Pearson簡單相關(guān)系數(shù)分析與Copula函數(shù)的分析結(jié)果，可知，該校大學(xué)生的高數(shù)成績與高考數(shù)學(xué)成績的相關(guān)性不大。究其原因，可能與高中數(shù)學(xué)教育及高考數(shù)學(xué)考試與大學(xué)生高等數(shù)學(xué)教學(xué)及考核的目的、方式不同有關(guān)。因?yàn)楦呖际沁x拔性考試，高中數(shù)學(xué)教育注重的是強(qiáng)化學(xué)生的應(yīng)試能力；而大學(xué)高等數(shù)學(xué)教育的目的培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性數(shù)學(xué)思維能力及運(yùn)用數(shù)學(xué)分析解決問題的能力，注重的是學(xué)生能力的培養(yǎng)，且大學(xué)高等數(shù)學(xué)考試強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的運(yùn)用能力。因此，我們認(rèn)為應(yīng)該改革高考數(shù)學(xué)考試的方式，發(fā)揮高考“指揮棒”作用，改變中學(xué)應(yīng)試型數(shù)學(xué)教育，強(qiáng)調(diào)學(xué)生運(yùn)用知識能力的培養(yǎng)。此外，還應(yīng)繼續(xù)擴(kuò)大高校自主招生覆蓋面及采用多種高校錄取方式，在統(tǒng)一高考之外，著重加強(qiáng)學(xué)生的知識運(yùn)用能力的考查。

［1］Sklar.A.Functions de repartition and dimensions et lears marges［J］.Publ.Inst.Statist.univ.Paris，1959，（8）：229－231.

［2］Roger B.Nelsen，Portland，Oregon.An Introduction to Copulas［M］.Springer，New York，1999.

［3］于 波，陳希鎮(zhèn)，杜 江.Copula函數(shù)的選擇方法與應(yīng)用［J］.數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，2009，（6）.

［4］于 波.Copula函數(shù)模型的選擇［J］.統(tǒng)計(jì)與決策，2009（14）.

［5］于 波.一種新的Copula函數(shù)的參數(shù)估計(jì)方法［J］.統(tǒng)計(jì)與決策，2009（11）.

［6］張楠楠.本科生入學(xué)成績與學(xué)業(yè)成績的相關(guān)性分析［J］.東北農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（社會科學(xué)版），2008，（6）.

Correlation Analysis on Scores between Entrance Exam for Math and Higher Mathematics Test in a Case of A University

Yu Bo1，Xia Yan2，Zhang Yukun1

（1Department of Mathematics，Dezhou university，Dezhou 253023，China；2Institute of Higher Education，Anhui University，Hefei 230039，China）

In a case of general undergraduate university in Shandong Province，the article explores an empirical research to identify academic achievements by ways of Pearson Linear Correlation and Nonlinear Correlation of Copula Function.The result shows that scores＇correlation between Entrance Exam for Math and Higher Mathematics Test is weak.It is convicted that there is a big difference in Math Education between a high school and a university，as well as in goals between Entrance Exam for Math and Higher Mathematics Test.

reform for University Entrance Exam；math education；academic achievement；correlation analysis；Copula Function

G642

A

1673-1794（2011）05-0015-03

于 波（1981－），男，講師，博士研究生，研究方向：統(tǒng)計(jì)方法及其應(yīng)用.

山東省教育科學(xué)“十一五”規(guī)劃課題（2008ZK0042）

2011-04-22