常 建，丁智勇

（阜陽(yáng)師范學(xué)院 物理與電子科學(xué)學(xué)院，安徽 阜陽(yáng) 236041）

MATLAB仿真李薩如圖形小議

常 建，丁智勇

（阜陽(yáng)師范學(xué)院 物理與電子科學(xué)學(xué)院，安徽 阜陽(yáng) 236041）

近年來，MATLAB因其具有很好的數(shù)據(jù)處理功能及強(qiáng)大的繪圖功能而在各個(gè)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。有很多學(xué)者已經(jīng)、正在、可能將來還會(huì)做MATLAB仿真李薩如圖形的實(shí)驗(yàn)。然而筆者在做該實(shí)驗(yàn)時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)強(qiáng)大的MATLAB軟件在做該實(shí)驗(yàn)時(shí)，卻顯得有些牽強(qiáng)。

MATLAB；仿真；李薩如圖形；牽強(qiáng)

1 引言

1.1 MATLAB簡(jiǎn)介

MATLAB是Matrix和laboratory的前三個(gè)字母的組合，因此，又有“矩陣實(shí)驗(yàn)室”之稱。它起初是由美國(guó)新墨西哥州大學(xué)計(jì)算機(jī)主任Cleve Moler編寫的fortran子程序庫(kù)接口程序，目的是方便學(xué)生在線性代數(shù)中的運(yùn)算。經(jīng)過近三十年的研究和不斷的完善，它已由當(dāng)初的“矩陣實(shí)驗(yàn)室”發(fā)展成為一種有廣泛應(yīng)用前景的，全新的計(jì)算機(jī)高級(jí)語言［1］。

數(shù)據(jù)的可視化是MATLAB的一項(xiàng)重要功能，可視化方法包括二維圖和三維圖。在仿真李薩如圖形中主要用到的是二維圖。

1.2 李薩如圖形合成實(shí)驗(yàn)

當(dāng)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與互相垂直的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位移是兩個(gè)振動(dòng)位移的矢量和。在一般情況下，質(zhì)點(diǎn)在平面上作曲線運(yùn)動(dòng)，不能形成封閉的曲線，只有當(dāng)兩個(gè)分振動(dòng)的頻率成整數(shù)比時(shí)，合振動(dòng)的軌跡才是穩(wěn)定的封閉曲線，這種曲線稱為李薩如圖形［2］。

李薩如圖形的合成實(shí)驗(yàn)在一般理工科學(xué)校都會(huì)開設(shè)。作為一個(gè)基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)設(shè)備比較簡(jiǎn)單，主要包括信號(hào)發(fā)生器、示波器。并且在實(shí)驗(yàn)過程中可以訓(xùn)練學(xué)生對(duì)示波器界面的掌握及操作。

隨著科技的發(fā)展，計(jì)算機(jī)的應(yīng)用。很多理工科學(xué)校正在逐步開設(shè)計(jì)算物理或者仿真物理這一學(xué)科。由于程序編寫簡(jiǎn)單，物理實(shí)驗(yàn)易做。MATLAB仿真李薩如圖形的實(shí)驗(yàn)在很多理工科學(xué)校是作為物理實(shí)驗(yàn)與計(jì)算機(jī)仿真的樣例出現(xiàn)在教材中的。

2 MATLAB仿真李薩如圖形

2.1 筆者的仿真實(shí)驗(yàn)

筆者在中國(guó)知網(wǎng)搜索MATLAB仿真李薩如圖形的相關(guān)文章［3－6］。這些文章中應(yīng)用MATLAB仿真的李薩如圖形生動(dòng)、形象、直觀，尤其是在頻率較大時(shí)得到的圖形要比用示波器得到的圖形穩(wěn)定性好。筆者也帶著崇拜的心情將MATLAB仿真李薩如圖形的實(shí)驗(yàn)用 MATLAB7.0軟件又重新做了一遍。卻發(fā)現(xiàn)，低頻時(shí)的仿真效果確實(shí)很好，高頻時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果卻讓筆者意想不到。以橫縱坐標(biāo)軸上波的疊加頻率為2∶1、相位差為0的兩列波的疊加來談一下。筆者的程序?yàn)椋?/p>

相比于文獻(xiàn)［3］的程序有一點(diǎn)改動(dòng)，但沒有實(shí)質(zhì)上的改進(jìn)，只是輸入方便了一些。當(dāng)筆者輸入“wx＝2，tn＝0.02”時(shí)，和文章中的圖形一樣為李薩如圖形；當(dāng)筆者輸入“wx＝200，tn＝0.02”時(shí)，得到的圖形竟然如圖（1），這顯然不是李薩如圖形；當(dāng)筆者輸入“wx＝500，tn＝0.02”時(shí)，圖形又變化成了圖（2），這也不是李薩如圖形。

我們看到，隨著橫縱坐標(biāo)軸上波的頻率（頻率比值不變）的增大，“李薩如圖形”發(fā)生了變化。我們還知道，在實(shí)驗(yàn)室里，信號(hào)發(fā)生器的頻率一般是以千赫為單位的，然而在本實(shí)驗(yàn)中，橫縱坐標(biāo)波的頻率還不足1kHZ，合成的形狀已經(jīng)完全偏離了李薩如圖形的模樣。為什么會(huì)有這樣的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，這是值得我們思考的問題。也是仿真實(shí)驗(yàn)老師做仿真實(shí)驗(yàn)時(shí)應(yīng)該注意的問題。

2.2 對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的解釋

2.2.1 第一個(gè)問題：大頻率李薩如圖形為什么會(huì)發(fā)生偏離？

實(shí)際上，在這篇文章的開篇筆者已經(jīng)告訴讀者“李薩如圖形”發(fā)生偏離的答案了。MATLAB軟件，說白了就是“矩陣實(shí)驗(yàn)室”，它對(duì)數(shù)據(jù)的處理是以矩陣形式展開的。我們可以用一個(gè)命令“whos x”，將程序運(yùn)行時(shí)的x變量的矩陣名稱、矩陣元素、占用的字節(jié)，和數(shù)據(jù)格式調(diào)出如下：

可以看出，MATLAB對(duì)數(shù)據(jù)的描述是按照矩陣元素的每一個(gè)孤立的數(shù)據(jù)來畫圖然后連接在一起，并且默認(rèn)情況下，點(diǎn)與點(diǎn)之間用藍(lán)色線連接起來，這時(shí)plot函數(shù)相當(dāng)于line函數(shù)。

例如，做余弦函數(shù)圖形的命令：x＝0：0.01：2＊pi；y＝cos（x）；plot（x，y）。實(shí)際上，這條線是由629個(gè)點(diǎn)組成的，而不是一個(gè)余弦曲線。點(diǎn)與點(diǎn)之間是直線相接，只不過點(diǎn)很多將余弦函數(shù)曲線微分化了，每一段直線合在一起，看起來似一個(gè)余弦函數(shù)圖形。如果把程序改作：x＝0：1：2＊pi；y＝cos（x）；plot（x，y），即步長(zhǎng)換作1做出的圖（3）為7個(gè)點(diǎn)的余弦曲線，讀者朋友可以清楚的看出這不是余弦曲線。

上面的例子拋磚引玉，目的在于使讀者理解李薩如圖形發(fā)生偏差的實(shí)質(zhì)。李薩如圖形看起來發(fā)生了偏差，而事實(shí)上并沒有發(fā)生偏差。這一點(diǎn)正好比上面的例子，本不是余弦曲線卻看起來似余弦曲線。以圖（1）為例，筆者再把李薩如圖形重做一次，把語句“plot（x，y）”換作“plot（x，y，＇.g＇）”，即消除掉點(diǎn)之間的連線，圖（1＇）即是間斷的點(diǎn)構(gòu)成的李薩如圖形。

至此，可能有讀者會(huì)問，我們看到頻率稍大時(shí)，圖形上藍(lán)色區(qū)域是什么呢？那只能是點(diǎn)之間的連線了。為了看出是點(diǎn)之間的連線，只需畫出兩個(gè)點(diǎn)。筆者在程序后面加了兩句：

畫出兩個(gè)點(diǎn)，并用洋紅色標(biāo)出，如圖（4）。x（5000），y（5000）分別是x，y矩陣中的第5000個(gè)元素；同樣x（5001），y（5001）是x，y矩陣中第5001個(gè)元素。由圖像可以看出這兩個(gè)矩陣中相鄰的元素在作出的圖形上卻不是相鄰的。

我們返回到函數(shù)來看，x（5000）和x（5001）兩個(gè)數(shù)字相差應(yīng)為cos（wx＊tn）。此處，wx＝200，tn＝0.02，于是 wx＊tn＝4＞π。那么，反映在余弦函數(shù)圖形上就相差了半個(gè)周期還要多，畫在圖形上當(dāng)然不可能是相鄰的了，即用MATLAB作出的李薩如圖形是不連續(xù)的。而這時(shí)再用plot函數(shù)常規(guī)作圖，點(diǎn)與點(diǎn)之間的藍(lán)色連線勢(shì)必占據(jù)一定的區(qū)域。

然而用示波器作出的李薩如圖形是一個(gè)個(gè)點(diǎn)打出來的，是連續(xù)的。這也就是說MATLAB作出的圖形跟示波器描繪的李薩如圖形性質(zhì)上就不是同一個(gè)概念。如何改進(jìn)使圖形曲線成為連續(xù)的呢？這是我們要思考的第二個(gè)問題。

2.2.2 如何改進(jìn)使圖形曲線成為連續(xù)的呢？

為了解決這個(gè)問題，即達(dá)到圖形連續(xù)的要求，我們?cè)O(shè)想只要wx＊tn足夠小，就能使畫出的兩個(gè)點(diǎn)相鄰——連續(xù)。我們知道，在實(shí)驗(yàn)室里，信號(hào)發(fā)生器的頻率可以很大。因此，我們只能把tn設(shè)置小。如果把tn縮小一個(gè)量級(jí)，再看兩點(diǎn)的位置如圖（5），兩點(diǎn)之間的位置已經(jīng)很接近了。并且在tn縮小一個(gè)量級(jí)后，中間大片區(qū)域的藍(lán)色線條也幾乎消失了。

從數(shù)學(xué)上來講這時(shí)兩點(diǎn)之間的連線跟該兩點(diǎn)處李薩如曲線的切線斜率很接近了，即圖形已經(jīng)接近連續(xù)了。我們繼續(xù)降低tn，令tn＝0.001，圖形上藍(lán)色線條已經(jīng)消失，兩點(diǎn)雖離得很近。但距離還是有的，圖形還沒有達(dá)到連續(xù)，于是再次降低tn，直到tn＝0.00005時(shí)，出現(xiàn)在圖像上的兩點(diǎn)才可以看做一點(diǎn)。但是這時(shí)才剛好達(dá)到wx＊tn＝0.01，這也就是我們用MATLAB作圖所要求的一般精度。我們?cè)賮砜匆幌聏矩陣的參數(shù)

這時(shí)，x和y矩陣中的元素已經(jīng)達(dá)到了4百萬個(gè)，字節(jié)數(shù)也到達(dá)到3千2百萬。到此，我們?cè)O(shè)置wx＝200Hz，tn＝0.00005可以作出連續(xù)的李薩如圖形了，但是計(jì)算機(jī)運(yùn)行的時(shí)間明顯變長(zhǎng)。再降低tn的值，計(jì)算機(jī)就會(huì)顯示“out of memory”。

讀者請(qǐng)注意，以上我們還只是在做wx＝200Hz的李薩如圖形的仿真，假如說我們要做wx＝10kHZ的李薩如圖形的仿真，可以算一下，如果仍然要求wx＊tn＝0.01的精度的話（這個(gè)精度一點(diǎn)都不高），應(yīng)該有tn＝0.000001，這時(shí)x、y矩陣中應(yīng)有2億零1個(gè)元素，占16億零8個(gè)字節(jié)，這時(shí)x和y矩陣中純?cè)卣加玫膬?nèi)存為3G。可想而知計(jì)算機(jī)內(nèi)存要達(dá)到多大才能處理這么龐大的數(shù)據(jù)（這里的數(shù)據(jù)是推算出來的，因?yàn)樵谶@個(gè)精度下2G內(nèi)存的計(jì)算機(jī)早已顯示“out of memory”了）。

因此，我們有理由相信，強(qiáng)大的MATLAB軟件可以做很復(fù)雜、很強(qiáng)大的運(yùn)算，但是目前計(jì)算機(jī)內(nèi)存卻還達(dá)不到這個(gè)水平，筆者在做仿真實(shí)驗(yàn)時(shí)，在2G內(nèi)存計(jì)算機(jī)中當(dāng)tn＝0.00001時(shí)，運(yùn)行該程序就會(huì)出現(xiàn)“out of memory”。也就是說筆者的計(jì)算機(jī)最大只能做到wx＝1000的李薩如圖形。而實(shí)驗(yàn)室中這頻率量級(jí)的波很小。所以，筆者認(rèn)為對(duì)于“MATLAB仿真李薩如圖形”的說法不妥，換做“MATLAB演示李薩如圖形”或者“MATLAB模擬李薩如圖形”較為合適。尤其是大頻率信號(hào)李薩如圖形的產(chǎn)生更應(yīng)該成為模擬或者演示。

3 總結(jié)

本文結(jié)合對(duì)MATLAB“仿真”李薩如圖形中遇到的問題，從計(jì)算機(jī)硬件設(shè)備角度分析了李薩如圖形的合成，尤其是稍大頻率的李薩如圖形合成中矩陣元素的個(gè)數(shù)，字節(jié)數(shù)之大。得出大頻率李薩如圖形仿真實(shí)驗(yàn)達(dá)到示波器圖形連續(xù)的效果幾乎不可能。因此，用MATLAB描述李薩如圖形，說成模擬或演示更合適。

［1］常 建，王 麗，丁智勇.MATLAB動(dòng)畫演示機(jī)械波傳播中質(zhì)點(diǎn)不隨波遷移［J］.科教導(dǎo)刊，2011，（5）（下旬刊）：74－76.

［2］潘文玲.李薩如圖形的研究［J］.物理通報(bào)，1997，（1）：5－6.

［3］石 涵.用MATLAB研究李薩如圖形及其討論［J］.物理與工程，2009，19（1）：64－67.

［4］黃 光.基于MATLAB的李薩如圖形演示及其應(yīng)用 ［J］.中國(guó)科技信息，2008，（2）：85－87.

［5］賁進(jìn)柱.廣義李薩如圖形的MATLAB程序設(shè)計(jì)與若干結(jié)論［J］.青海大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，（4）：80－84.

［6］劉 慧，王玉連，李 勇，等.MATLAB在簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成教學(xué)中的應(yīng)用［J］.科技信息，2010，（20）：434－437.

Discussion on Simulation Based on MATLAB of Lissajous Figures

Chang Jian，Ding Zhiyong

（1.School of Physics and Electronic Sciences，F(xiàn)uyang Teachers College，F(xiàn)uyang 236041，China）

In recent years，As the MATLAB has the very good data processing function and powerful drawing function that it was widely used in various fields.Many scholars did，or are doing，or maybe will also do the simulation on the MATLAB of lissajous figures.But in this experiment，the author found the powerful MATLAB seems so shrivelled.

powerful MATLAB；simulation；Lissajous figures；shrivelled

O45

A

1673-1794（2011）05-0035-03

常 建，男，阜陽(yáng)師范學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院本科生；丁智勇，男，阜陽(yáng)師范學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院教師。

安徽省質(zhì)量工程項(xiàng)目（20100634）；阜陽(yáng)師范學(xué)院2010質(zhì)量工程項(xiàng)目（2010CXSYQ02）；阜陽(yáng)師范學(xué)院2011質(zhì)量工程項(xiàng)目“高中物理科學(xué)探究典例開發(fā)研究”

2011-06-13