嚴(yán)小寶

（麗水職業(yè)技術(shù)學(xué)院 浙江 麗水 323000）

淺析條件概率

嚴(yán)小寶

（麗水職業(yè)技術(shù)學(xué)院 浙江 麗水 323000）

條件概率是概率論基礎(chǔ)知識(shí)中的一個(gè)基本概念,是積事件概率和全概率公式的基礎(chǔ),但這一概念往往不被學(xué)生所重視,以至于影響到后面的教學(xué)效果。本文就這一概念教學(xué)進(jìn)行了初步研究,并給出條件概率P（A/B）中,當(dāng)P（B）=0時(shí)的一些有趣結(jié)論，旨在開(kāi)闊學(xué)生的視野。

條件概率；概率；隨機(jī)試驗(yàn)；事件；抽簽

在多年的概率論教學(xué)過(guò)程中,筆者感覺(jué)到學(xué)生難以清楚地理解條件概率、積事件概率、全概率公式等概念,特別是在求解有關(guān)問(wèn)題時(shí),往往無(wú)處著手,出現(xiàn)思維障礙,從而影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。究其原因，基本上是對(duì)條件概率概念沒(méi)有很好地理解;在教學(xué)過(guò)程中，教師也沒(méi)有引起重視,一筆帶過(guò),而把重點(diǎn)放在全概率公式上,學(xué)生處于被動(dòng)的學(xué)習(xí)狀態(tài)。筆者擬就這一問(wèn)題的教學(xué)作如下研究。

首先，有必要弄清楚 P（A/B），P（AB），P（A）這三者之間的區(qū)別與聯(lián)系。

一是條件概率P（A/B）與概率P（A）的區(qū)別。

每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)都是在一定條件下進(jìn)行的。設(shè)A是隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)事件，則P（A）是在一定條件下事件A發(fā)生的可能性的大小。而條件概率P（A/B）是指在原條件下又添加“事件B發(fā)生”這個(gè)條件時(shí)，事件A發(fā)生的可能性大小，即P（A/B）仍是概率，P（A）與P（A/B）的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同，它們是兩個(gè)不同的概率，在數(shù)值上一般也不相等。（注：“事件B發(fā)生”特指讀者已經(jīng)知道事件B發(fā)生，而實(shí)際上事件B往往在事件A發(fā)生之前發(fā)生，但也可以在事件A發(fā)生之后發(fā)生，如例1中求P（A1/A2A3），只是讀者還不知道事件A已發(fā)生，用P（A/B）來(lái)估計(jì)事件A發(fā)生可能性的大小。

二是條件概率P（A/B）與概率P（A）的數(shù)量關(guān)系。

條件概率P（A/B）是在原隨機(jī)試驗(yàn)條件下又添加“事件B發(fā)生”這個(gè)條件時(shí)事件A發(fā)生的可能性大小，是否一定有P（A/B）≥P（A）呢？

1.當(dāng) A、B 互不相容時(shí)，A 發(fā)生時(shí) B 不發(fā)生，則 P（A/B）=0≤P（A）；

2.當(dāng) A?B 時(shí)，P（AB）=P（A），P（A/B）=≥P（A）；

3.當(dāng)A、B既不是互不相容，又不是包含關(guān)系時(shí)，因P（A/B）=大于、等于、小于 P（A）三種可能都有，如 P（A）=0.5,P（B）=0.4,當(dāng) P（AB）=0.30 時(shí)，P（A/B）=0.75＞P（A）；當(dāng) P（AB）=0.20時(shí)，P（A/B）=0.5=P（A）;當(dāng) P（AB）=0.10 時(shí)，P（A/B）=0.25＜P（A）。

三是條件概率P（A/B）與積事件的概率P（AB）的區(qū)別。

這兩個(gè)概念從形式上看是容易區(qū)分的，但對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)很容易混淆，有必要強(qiáng)調(diào)一下。條件概率P（A/B）是指事件B發(fā)生這個(gè)條件下事件A發(fā)生的概率，而P（AB）是指A、B同時(shí)發(fā)生的概率。因而“事件B發(fā)生”在P（A/B）中是作為條件，而P（AB）中是作為結(jié)果，所以兩者不相同。

例2：某班有男學(xué)生40人，女學(xué)生20人，通過(guò)英語(yǔ)六級(jí)者有15人，其中有女學(xué)生10人。在該班級(jí)中任意抽取一人，分別計(jì)算：

1.求所取的學(xué)生為女學(xué)生并且已通過(guò)英語(yǔ)六級(jí)的概率；

2.已知所取的學(xué)生為女學(xué)生，求其通過(guò)英語(yǔ)六級(jí)的概率。

解：設(shè)A=｛所取的學(xué)生已通過(guò)英語(yǔ)六級(jí)｝，B=｛女學(xué)生｝，則（1）為求事件 A、B 的積事件的概率（2）為求在事件B發(fā)生條件下事件A發(fā)生的條件概率

其次，要深刻理解當(dāng) P（B）＞0 時(shí),條件概率公式 P（A/B）=的意義。

一是要從理論上推出該公式非常困難，但從事件A、B的文氏圖可直觀地解釋一下該公式，把P（A）看成為A的面積與必然事件Ω的面積的比值，那么，P（A/B）為在B發(fā)生條件下A發(fā)生的概率，可理解為AB的面積與B的面積的比值，分別除以Ω面積，即得條件概率公式可以讓學(xué)生從心理上接受它并加深印象，而公式本身已證明是成立的，只要加以說(shuō)明就行，這樣可起到降低難度的作用。公式給出了計(jì)算條件概率的一種方法。

例3：某種品牌的彩色電視機(jī)使用壽命10年的概率為0.9,而使用壽命15年的概率為0.5,試求某臺(tái)電視機(jī)已經(jīng)使用10年的情況下，能再使用5年的概率。

解:設(shè)B=｛電視機(jī)使用壽命10年｝，A=｛電視機(jī)使用壽命15年｝，則 P（A）=0.5，P（B）=0.9 因?yàn)?A 發(fā)生必然導(dǎo)致 B 發(fā)生，即B?A，P（AB）=P（A）=0.5，P（A/B）=

二是該公式的作用不僅僅用來(lái)計(jì)算條件概率，而且條件概率往往也可以直接算得，更重要的作用是用來(lái)計(jì)算積事件AB的概率，P（AB）=P（B）P（A/B）這就是我們所說(shuō)的乘法公式。

再次，條件概率公式為全概率公式的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，從而解決了事件概率的計(jì)算問(wèn)題。

一般教材都給出條件概率 P（A/B）中P（B）必須大于 0，那么當(dāng) P（B）=0 時(shí)，P（A/B）是否有意義呢？

顯然條件概率公式是不能用了，當(dāng)A、B所在的事件空間Ω中的基本事件個(gè)數(shù)為有限個(gè)時(shí)，由P（B）=0，可得B所包含的有利事件個(gè)數(shù)為0個(gè)，由P（A/B）的含義得A的有利事件個(gè)數(shù)也為0個(gè)，所以，這時(shí)規(guī)定P（A/B）=0較妥當(dāng)。而當(dāng)Ω為無(wú)限集時(shí)，情況比較復(fù)雜。現(xiàn)舉例如下：

當(dāng)A、B所代表的事件互不影響時(shí) （具體情況時(shí)容易判斷的），規(guī)定 P（A/B）=P（A）；當(dāng) B?A 時(shí)，B 發(fā)生可推出 A 發(fā)生，這時(shí)P（A/B）=1；當(dāng)A、B是互斥事件時(shí)，B發(fā)生時(shí)，推出A不發(fā)生，得 P（A/B）=0；當(dāng) B為不可能事件時(shí)，討論 P（A/B）實(shí)際上是無(wú)意義的，在不可能事件B發(fā)生條件下A發(fā)生的概率，這句話本身就是相悖的，但為統(tǒng)一起來(lái)，可定義P（A/B）=0； 當(dāng) A、B是互不包含事件時(shí)，情況比較怎復(fù)雜，視具體情況而定。

例5：質(zhì)點(diǎn) M隨機(jī)地均等拋擲到﹝-1，+1﹞區(qū)間上，記 A=｛質(zhì)點(diǎn)落在﹝0，1﹞區(qū)間上｝，B=｛質(zhì)點(diǎn)恰好落在點(diǎn)處｝，B1=｛質(zhì)點(diǎn)落在-1，0，，1 這四點(diǎn)處｝，B2=｛質(zhì)點(diǎn)落在﹝0，1﹞區(qū)間上的有理數(shù)點(diǎn)處｝，則 P（A/B）=1，P（B/B1）=，P（B1/B2）=0。

[1]楊義群.初等概率教學(xué)中定義條件概率的二個(gè)問(wèn)題探討[J].教學(xué)與研究（中學(xué)數(shù)學(xué)）,1984,（4）:3.

[2]謝國(guó)瑞.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京:高等教育出版社,2002.

[3]王潘玲.應(yīng)用高等數(shù)學(xué)[M].杭州:浙江科學(xué)技術(shù)出版社,2004.

[4]曹之江.現(xiàn)代數(shù)學(xué)優(yōu)教原理探索[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2004,（2）:1-2.

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1672-5727（2011）04-0118-02

嚴(yán)小寶（1959—）男，浙江奉化人，麗水職業(yè)技術(shù)學(xué)院副教授，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)。

（本文責(zé)任編輯：尚傳梅）