陳照輝

以數(shù)學(xué)建模分析為基礎(chǔ)的運(yùn)籌學(xué)案例教學(xué)

陳照輝

數(shù)學(xué)建模在“運(yùn)籌學(xué)”課程教學(xué)內(nèi)容中占有重要位置?！斑\(yùn)籌學(xué)”課程可以數(shù)學(xué)建模分析為基礎(chǔ)采用案例教學(xué)法，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和建模能力。

課程教學(xué)；運(yùn)籌學(xué)；數(shù)學(xué)建模；案例教學(xué)

“運(yùn)籌學(xué)”課程是數(shù)學(xué)專業(yè)和管理類專業(yè)的核心課程之一，該課程教學(xué)的主要任務(wù)是使學(xué)生理解運(yùn)籌學(xué)中優(yōu)化決策的思想，在掌握基本的數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)上，具備建模和計(jì)算的能力。數(shù)學(xué)建模是運(yùn)籌學(xué)中不可或缺的一部分，課程教學(xué)中應(yīng)當(dāng)突出數(shù)學(xué)建模的思想。

一、數(shù)學(xué)建模與運(yùn)籌學(xué)

數(shù)學(xué)建模是通過對(duì)具有實(shí)際背景的問題的分析，了解研究對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律，然后用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法把這種規(guī)律描述出來，并對(duì)其進(jìn)行求解運(yùn)算得出結(jié)果，為決策者提供量化決策依據(jù)的過程［2］。如今數(shù)學(xué)建模在各行各業(yè)中得到了廣泛的應(yīng)用，在當(dāng)代數(shù)學(xué)中的地位也日益突現(xiàn)。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，產(chǎn)生了更多的數(shù)學(xué)方法用于解決實(shí)際問題。一般只需給出問題的數(shù)值解或近似最優(yōu)解便達(dá)到了應(yīng)用的目的。

運(yùn)籌學(xué)是研究解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)方法的一門應(yīng)用科學(xué)。運(yùn)籌學(xué)在解決實(shí)際問題的過程中形成了自己的工作步驟：（1）提出和形成問題；（2）建立模型；（3）求解；（4）解的檢驗(yàn)；（5）解的控制；（6）解的實(shí)施。要解決問題，首先要通過分析引入決策變量，然后構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)和約束條件，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。所以，建立模型是運(yùn)籌學(xué)解決問題過程中關(guān)鍵的一步。數(shù)學(xué)模型從研究對(duì)象上看，可分為確定性模型和隨機(jī)性模型；從決策變量之間的關(guān)系看，可分為線性模型和非線性模型，以及靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型。運(yùn)籌學(xué)中針對(duì)不同類型的模型提出了相應(yīng)的算法，例如求解線性規(guī)劃的單純形法，求解最短路問題的Dijkstra算法等。隨著運(yùn)籌學(xué)的發(fā)展，有些分支逐步發(fā)展起來，其中很多理論和方法已廣泛應(yīng)用于包括生產(chǎn)管理、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)分析、軍事作戰(zhàn)等領(lǐng)域［3］。

二、運(yùn)籌學(xué)與案例教學(xué)

運(yùn)籌學(xué)具有較強(qiáng)應(yīng)用性及研究?jī)?nèi)容的多樣性、交叉性等特點(diǎn)，案例教學(xué)是比較適合它的一種教學(xué)方法。

案例教學(xué)是一種以學(xué)生為中心對(duì)現(xiàn)實(shí)問題和某一特定事實(shí)進(jìn)行交互式探索的過程［4］。進(jìn)行案例教學(xué)，首先要建立相應(yīng)的案例庫(kù)，通過選擇具有代表性的案例，激發(fā)學(xué)生的興趣，引導(dǎo)學(xué)生積極思考。案例教學(xué)的實(shí)施過程中始終要保持以學(xué)生為主體，使得學(xué)生有動(dòng)力發(fā)揮他們的主觀能動(dòng)性去思考問題。給出的案例背景要易于理解，讓學(xué)生經(jīng)過思考討論后能夠建立數(shù)學(xué)模型。要注重學(xué)生計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力的培養(yǎng)，給學(xué)生利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行求解的時(shí)間條件和硬件條件。教學(xué)中發(fā)現(xiàn)在建立問題的數(shù)學(xué)模型之后大多數(shù)學(xué)生都希望立即進(jìn)行求解，以驗(yàn)證自己建立的模型是否能得到合理的結(jié)果，這就達(dá)到了以數(shù)學(xué)建模分析為基礎(chǔ)，激發(fā)學(xué)生求知欲的目的。學(xué)生會(huì)在求解中發(fā)現(xiàn)問題，從而進(jìn)一步思考。此時(shí)老師要給予適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，使其最終能夠得到最為合理的結(jié)果。

在運(yùn)籌學(xué)案例教學(xué)實(shí)施過程中，計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)是一個(gè)重要的環(huán)節(jié)。運(yùn)籌學(xué)課程是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)或數(shù)學(xué)軟件課程的后續(xù)課程，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一般只學(xué)習(xí)應(yīng)用一種軟件如Matlab或Mthematica。在本課程教學(xué)中應(yīng)當(dāng)介紹其它的一些軟件的應(yīng)用，如Excel中的規(guī)劃求解，Lingo和1stopt，這幾種軟件具有易于編程的特點(diǎn)。

三、案例教學(xué)法的應(yīng)用

教材的整數(shù)規(guī)劃一章介紹了0-1規(guī)劃。很多實(shí)際問題都可以抽象為0-1整數(shù)規(guī)劃模型，如任務(wù)分配問題、背包問題、線路設(shè)計(jì)等。課堂教學(xué)中，在介紹了0-1規(guī)劃的基本內(nèi)容之后，給出一案例，讓學(xué)生完成建模。把學(xué)生分成若干學(xué)習(xí)小組，每組的幾個(gè)同學(xué)自己去分工配合，共同完成，最后提交一篇短文，內(nèi)容包括問題描述、模型建立、求解、結(jié)論四部分。

案例描述為：有n捆線圈，每捆的長(zhǎng)度是p1、p2、……pn；有m個(gè)需要被繞的圈子，每一個(gè)被繞圈子需要長(zhǎng)度是q1，q2，……qm。用這n捆線圈去繞m個(gè)被繞圈子。要求：（1）最多2捆線圈繞一個(gè)圈子；（2）繞制過程中會(huì)有剩余的線，要求剩余線中單根最長(zhǎng)的繞法最好。

該問題為一組合優(yōu)化問題，根據(jù)運(yùn)籌學(xué)中所學(xué)，學(xué)生易想到建立0-1整數(shù)規(guī)劃模型。引入決策變量

建立模型如下：

其中，式（1）為決策變量；式（2）為目標(biāo)函數(shù)，表示使?jié)M足條件的繞制方案中剩余線中單根最長(zhǎng)的取到最大；式（3）使?jié)M足最多兩捆線繞一個(gè)圈子；式（4）使?jié)M足每個(gè)空圈子的需要；式（5）表示一捆線圈最多繞到一個(gè)圈子上。

該問題的數(shù)據(jù)給定之后，同學(xué)們?cè)谟糜?jì)算機(jī)軟件編程進(jìn)行求解時(shí)會(huì)遇到困難，因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)是一個(gè)最大化問題，不論用Matlab或Lingo進(jìn)行編程，還是用Excel中的規(guī)劃求解工具進(jìn)行求解，直接表示出目標(biāo)函數(shù)都不能給出結(jié)果。經(jīng)過提示，有的同學(xué)就想到把問題分解為m個(gè)線性規(guī)劃問題，即求解目標(biāo)函數(shù)：

其約束條件均為式（3）～（6）的m個(gè)線性規(guī)劃問題。通過求解m個(gè)問題的最優(yōu)解，最后給出問題的最優(yōu)解。實(shí)際上，以式（2）為目標(biāo)函數(shù)的問題，也可以調(diào)用1stopt軟件中的MinMax函數(shù)進(jìn)行求解。這些軟件都有其各自的優(yōu)勢(shì)，課程中介紹這些軟件是有必要的。

有的同學(xué)提出，既然n捆線圈最后剩余線的總長(zhǎng)度是一定的，那么要使得剩余最長(zhǎng)的單根線的長(zhǎng)度最大，就要使其它單根線剩余的盡量短。所以，可以想到類似于運(yùn)輸問題的表上作業(yè)法構(gòu)造一種算法，盡量先把使得無剩余或剩余很短的進(jìn)行繞線。這可謂是一種巧妙的嫁接，達(dá)到了學(xué)以致用的效果。

四、結(jié)語(yǔ)

教學(xué)過程中通過案例分析培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力，在建模過程中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，取得了較好的效果。筆者體會(huì)，“運(yùn)籌學(xué)”課程教學(xué)中以數(shù)學(xué)建模分析為基礎(chǔ)采用案例教學(xué)法，可以加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和建模能力，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和創(chuàng)新能力，培養(yǎng)學(xué)生寫作能力及團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力。

[1]張杰，郭麗杰.運(yùn)籌學(xué)課程的改革與數(shù)學(xué)建模教育[J].高等數(shù)學(xué)研究，2007（1）.

[2]運(yùn)籌學(xué)教材編寫組.運(yùn)籌學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005.

[3]張兵.案例教學(xué)在運(yùn)籌學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用[J].徐州教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2008（3）.

G642.4

A

1673-1999（2011）23-0170-02

陳照輝（1980-），男，河南周口人，碩士，重慶科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院講師，研究方向?yàn)橹悄軆?yōu)化算法及其應(yīng)用。

2011-10-17

重慶科技學(xué)院教改項(xiàng)目（201049）。