163316 黑龍江省大慶實驗中學(xué) 侯典峰
唯物辯證法認為,質(zhì)量互變規(guī)律、對立統(tǒng)一規(guī)律和否定之否定規(guī)律是支配自然界、社會和人類思維最一般的規(guī)律.數(shù)學(xué)中的辯證思想就是遵循這些規(guī)律,對數(shù)學(xué)對象矛盾雙方的相互聯(lián)系和相互制約關(guān)系認識的思維產(chǎn)物.對立統(tǒng)一思想是指人們認識事物辯證發(fā)展的一種思維法則,一分為二是對立統(tǒng)一思想的重要表現(xiàn)形式,數(shù)學(xué)中的一分為二思想,指的是在觀察、分析、處理數(shù)學(xué)問題時,要多側(cè)面,多角度、全方位地全面考慮,不僅要看到問題的一面,還要看到問題的另一面及這兩個方面在一定條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的,只有運用一分為二的思想來觀察、分析、處理,才不會使我們的視野局限于一隅,使我們思維更加開闊.在教學(xué)中,注重引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用辯證思想去觀察分析事物,研究和解決問題,既可以為學(xué)生逐步確定辯證唯物主義世界觀奠定基礎(chǔ),同時也對他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識和提高思維能力有很大幫助.
下面是筆者對一道三角證明題的直接與間接的論證,正面與反面的思考,多角度、全方位的探究.整理成文,與大家分享.
題目已知α,β均為銳角,若sin α+()β=2sinα,則α<β.
分析 發(fā)現(xiàn)題目條件給得比較少,第一感覺正面下手入口難尋找,應(yīng)用正難則反策略來思考,反證法的確很巧.
證明1 若 α≥β,由 α,β 均為銳角,可知0<cosα<1,0<cosβ<1,且 sinα≥sinβ,則
這與sin α+()β=2sinα矛盾,故α<β.
證明2 若 α≥β.由 α,β,均為銳角,可知 0<cosα<1,0<cosβ<1,且 sinα≥sinβ.
一方面sin α+()β=2sinα≥sinα+sinβ;
證明3 若 α≥β,則2α≥α+β,又 α,β 均為銳角,函數(shù)y=cosx在0,()π上單調(diào)遞減,
因此cos2α≤cos α+()β,即1-2 sin2α≤cos α+()β,
又α,β均為銳角,0<α+β<π,cos α+()β≠1,與先前推導(dǎo)出的cos α+()β=1相矛盾,故α<β.
點評 我們知道,直接從原命題的條件逐步推得結(jié)論成立,這種證明方法叫直接證明,而間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法,反證法是一種常用的間接證明方法,是從反面的角度思考問題的證明方法.具體地講,反證法就是從否定命題的結(jié)論入手,并把對命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件,進行正確的邏輯推理,使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛盾,矛盾的原因是假設(shè)不成立,所以肯定了命題的結(jié)論,從而使命題獲得了證明.
反證法的步驟:
(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立,即假設(shè)結(jié)論的反面成立;
(2)從這個假設(shè)出發(fā),通過推理論證,得出矛盾;
(3)由矛盾判定假設(shè)不正確,從而肯定命題的結(jié)論正確.
可能出現(xiàn)矛盾四種情況:
①與題設(shè)矛盾;
②與反設(shè)矛盾;
③與公理、定理矛盾
④在證明過程中,推出自相矛盾的結(jié)論.
證明1中屬于第①種情況,證明2、證明3屬于第④種情況.
反思 回顧上述解法可發(fā)現(xiàn),盡管條件與結(jié)論比較簡單,若能找到合理切入點,推出矛盾角度還是比較多的,一個想法突然顯現(xiàn),此題證明能否選正面?
經(jīng)反復(fù)思考,琢磨,得到如下幾個直接證明.
證明 4 因為α,β均為銳角,所以0<cosβ<1,0<cosα<1,由題意可知
又sinα( cosβ-1)<0,所以cosαsinβ-sinα>0,故可得sinα<cosαsinβ<sinβ,而α,β均為銳角,故α<β.
結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可知α+β>2α,α<β.
證明9 以原點為圓心,分別以1,2為半徑作兩個圓,在半徑為2的第一象限內(nèi)的圓弧上取一點 Q,使∠POQ=β,
則易知 P(2cosα,2sinα),
證明10 作△ABC,∠A=α,∠B=β,
又因為 sin(α+β)=2sinα,所以 c=2a,
按照一定的方向和路線,運用邏輯思維的方式,對問題進行一定范圍內(nèi)的縱深挖掘的思考方法稱為直接思考,變換一下思維角度,從相反的方向去思考的一種思維方法稱為逆向思維,對于某些問題,有時,若能改變其思維方向,從結(jié)論入手進行反面思考,問題可能變得比較簡單,解決變得輕而易舉,有著意想不到的效果;有時,若能善于觀察、善于聯(lián)想,善于發(fā)現(xiàn),深入思考后直接求解也可以是快速有效,解答簡潔、優(yōu)美、自然,在解決數(shù)學(xué)問題時,若能對問題多做一些辯證思考,用一分為二的思想看問題,就能創(chuàng)設(shè)更加廣闊的思維空間,提高認識數(shù)學(xué)問題的層次、拓展數(shù)學(xué)的視野,優(yōu)化思維品質(zhì),實現(xiàn)從有限(方法)到無限(問題)的飛躍.
1 侯典峰.一道三角題的直接證明[J].中學(xué)數(shù)學(xué).2009,3(上)
2 侯典峰.再談一道三角題的證明[J].中學(xué)數(shù)學(xué).2011,1(上)
3 侯典峰.化冰冷的美麗為綻放的絢麗——例談題解研究[J].數(shù)學(xué)通訊.2011,1、2(上)
4 沈文選,楊清桃.數(shù)學(xué)思想領(lǐng)悟[M].哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社.2008,1