430050 武漢第二十三中學(xué) 何同海

自從向量內(nèi)容加入新教材以來，一直是高考的重要對象，而且隨著廣大教學(xué)教研者的關(guān)注和不斷深入研究，我們對于向量及向量方法的理解越來越深刻.筆者在閱讀和學(xué)習(xí)別人的研究成果的同時，也得出了一些啟示，現(xiàn)整理成文和廣大讀者分享.

首先我們來看一個大家熟悉的向量等式和它的證明.

分析 向量等式中含有三角形面積，自然聯(lián)想到正弦定理面積公式，考慮到等式中出現(xiàn)的量的對稱性，若取出單位向量，則等式得到有效轉(zhuǎn)化.

原命題可轉(zhuǎn)化為證：e1sinα+e2sinβ+e3sinγ=0.

從而有e1sinα+e2sinβ+e3sinγ=0，故原命題成立.

由等式的結(jié)構(gòu)，很容易聯(lián)想到三角形五“心”的充要條件，通過對比，可發(fā)現(xiàn)以下結(jié)論.

聯(lián)想1 若O為△ABC的重心，則

(這是三角形重心的充要條件)

聯(lián)想2 若O為△ABC的內(nèi)心，則

(a，b，c為三角形 ABC 三個內(nèi)角 A，B，C 的對邊，r為三角形ABC內(nèi)切圓的半徑)

(這是三角形內(nèi)心的充要條件)

聯(lián)想3 若O為銳角△ABC的外心，則

(這可以看成是三角形外心的充要條件.值得注意的是考慮到與引例的一致性，我們將條件強(qiáng)化為銳角三角形，實際上，對于一般的三角形，此結(jié)論仍然成立.讀者可自己證明直角三角形和鈍角三角形的情況.)

下面，我們嘗試用我們得到的方法和結(jié)論解決一些向量問題.

說明 方法1是大家解決這道題的通常辦法，方法2利用本文引例更加直觀，一目了然.

說明 方法1利用角平分線的向量表示方法，利用平面向量基本定量，得到此值.方法2利用本文聯(lián)想更有推廣價值.

由聯(lián)想3得

說明 方法1利用外心的性質(zhì)反復(fù)構(gòu)造關(guān)于待求量的方程，計算上較為繁瑣.方法2利用本文聯(lián)想3解決起來順理成章，而且基本無計算.

法1 分析：由條件結(jié)構(gòu)聯(lián)想到向量的分解，再利用面積公式尋找關(guān)系，過P作AC，AB的平行線交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，則有

聯(lián)想本引理直接得

說明 方法利用向量的分解找到了P點(diǎn)的相對位置，確定了M，N邊上的分比，從而發(fā)現(xiàn)了小三角形面積和大三角形面積的關(guān)系.方法2利用本文引例，采用統(tǒng)一的解決模式，很快找到了大小三角形的關(guān)系.

一個人力量是有限的，希望讀者通過對本文的閱讀，啟發(fā)更多的智慧火種，將對本問題的研究不斷深入下去，得出更多的研究成果.