224054 江蘇省鹽城市亭湖區(qū)永豐初中 唐耀庭

例談試題模型建構(gòu)的演變性

224054 江蘇省鹽城市亭湖區(qū)永豐初中 唐耀庭

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)：“讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展.”若將某些典型題圖變異發(fā)展，形成一組能易中求活求深求精，融課本例習(xí)題、中考題于其中的提高型系列訓(xùn)練題組，則既能提高學(xué)生平時(shí)訓(xùn)練及綜合復(fù)習(xí)的興趣，使學(xué)生積極投入解題活動(dòng)，又能以點(diǎn)帶面，覆蓋一片，同時(shí)還能從變換中創(chuàng)設(shè)習(xí)題教學(xué)新情境，引導(dǎo)學(xué)生探索演練，廣開思路，拓展思維，培養(yǎng)思維靈活性和深刻性，提高解題能力，能使解某些數(shù)學(xué)題達(dá)到巧妙的境界，給人以賞心悅目的數(shù)學(xué)美的感受，本文以一道鹽城中考試題進(jìn)行模型建構(gòu)的演變探究，供同仁參考.

原題 (2011年鹽城)情境觀察 將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到△ABC和△A'C'D，如圖1所示.將△A'C'D的頂點(diǎn)A'與點(diǎn)A重合，并繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D，A(A')，B在同一條直線上，如圖2所示.觀察圖2可知：與BC相等的線段是______，∠CAC'= ______°.

圖1

圖2

問題探究 如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn) G，以 A為直角頂點(diǎn)，分別以AB，AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點(diǎn) E，F(xiàn)作射線 GA的垂線，垂足分別為 P，Q.試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

拓展延伸 如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，分別以AB，AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線 GA交 EF于點(diǎn) H.若AB=kAE，AC=kAF，試探究 HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖3

1 試題賞析

1.1 正確的解題思路源于基礎(chǔ)知識、基本技能和數(shù)學(xué)思想方法的熟練掌握

進(jìn)入新課改后，各地紛紛出現(xiàn)了問題情境型新題型.該題型背景新穎、設(shè)問巧妙，能有效考查學(xué)生的自學(xué)能力以及觀察分析、類比操作、抽象概括、數(shù)學(xué)歸納、語言表達(dá)等能力.本題的問題情境是通過操作積累，為學(xué)生提供了一個(gè)思維平臺——以構(gòu)造“三角形、矩形”為載體結(jié)合“拼圖、旋轉(zhuǎn)、全等、相似”等知識解決問題.并由此提供了解決問題的方法.

第(3)問只是在問題情境的基礎(chǔ)上設(shè)置了一個(gè)臺階(將三角形變?yōu)榫匦?，解此試題，必須把握住試題的核心，與問題探究相仿，只不過將全等改為相似，可以借助第(2)問構(gòu)建的幾何模型：證出FQ=AG.再證Rt△EPH∽Rt△FQH，從而使得問題解決.使得實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，數(shù)學(xué)問題形象化，體現(xiàn)了不同數(shù)學(xué)知識之間的相似性.本題考查的思想方法有：建模思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想.

1.2 試題高超的設(shè)計(jì)技巧和良好的思維策略

本題設(shè)問層層鋪墊，思維層次逐步遞升.第(1)問是對新建數(shù)學(xué)模型的再認(rèn)識，第(2)問是對新建模型的靈活應(yīng)用.這兩問幫助學(xué)生同化新建數(shù)學(xué)模型，為下一問題的解決作鋪墊.是思維層次上的一個(gè)跳躍，該問同時(shí)較好地考查了學(xué)生的思維策略：首先恰當(dāng)?shù)剡x用圖形解決問題;其次要觀察圖形，對復(fù)雜圖形要善于分解，弄清楚不同的構(gòu)成要素(AB=kAE，AC=kAF);最后要大膽猜想，嚴(yán)謹(jǐn)論證，用相似知識解決問題(HE=HF)，啟發(fā)我們在今后得教學(xué)中要注重幾何模型的教學(xué).

2 試題模型建構(gòu)的演變探究

圖4

新課程強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價(jià)值，一方面，是從實(shí)際問題中抽象出遇到的問題，回歸到數(shù)學(xué)模型，通過解決數(shù)學(xué)問題，完成對數(shù)學(xué)問題的解答;另一方面，就是以數(shù)學(xué)的眼光，審視實(shí)際生活中數(shù)學(xué)模型的“原始狀態(tài)”，學(xué)以致用.使問題具有一定的探究空間.有鑒于此，筆者對此題做了如下演變.

2.1 模型探究1 改變條件，探究結(jié)論

例1 如圖5，圖6，以△ABC的邊AB，AC為直角邊向外作等腰直角△ABE和△ACF，M是BC的中點(diǎn)，請你探究線段EF與AM之間的數(shù)量關(guān)系.

圖5

圖6

解析 利用中點(diǎn)的中心對稱性，將△CAM繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，構(gòu)造平行四邊形證明

(1)如圖7，延長AM 至 N使MN=AM，(或?qū)ⅰ鰿AM繞點(diǎn) M順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 180°得△BNM)連接 BN，CN則四邊形ABNC是平行四邊形，BN=AC，∠BAC+ ∠ABN=180°，

圖7

(2)如圖 8，延長 AM至N使MN=AM，連接 BN(或?qū)ⅰ鰿AM繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 180°得△BNM)則AC=BN，∠BAC+∠ABN=180°.

圖8

2.2 模型探究2 引申結(jié)論，步步深入

原題設(shè)不變，若連接BF，CE交于點(diǎn)P，則線段BF，CE有何位置關(guān)系?

解析 設(shè)BF，AE交于點(diǎn)Q.

如圖9，BF=CE且 BF⊥CE，

圖9

如圖10，BF=CE且BF⊥CE，

點(diǎn)評 將△ABE，△ACF繞A點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，都存在BF=CE且BF⊥CE這一結(jié)論.

2.3 模型探究3 巧改條件，另立新意

例2 變換中點(diǎn)位置將△ABE，△ACF繞A點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，取斜邊BE，CF的中點(diǎn)M，N，線段MN，AP又有何關(guān)系?

解析 如圖11.連接 MP，MA，NP，NA，

圖10

∴點(diǎn)M在線段AP的垂直平分線上，同理點(diǎn)N在線段AP的垂直平分線上，

∴線段MN垂直平分線段AP.

如圖12，連接 MP，MA，NP，NA，

∴點(diǎn)M在線段AP的垂直平分線上，同理點(diǎn)N在線段AP的垂直平分線上，

∴線段MN垂直平分線段AP.

圖11

圖12

2.4 模型探究4 強(qiáng)化條件，殊途同歸

例3 在圖9，圖10的基礎(chǔ)上，以AB，AC為邊作正方形ABFE，正方形ACGF，M，N分別是兩個(gè)正方形的中心，若正方形ABFE和正方形ACGF的面積分別為338及200，在旋轉(zhuǎn)過程中使得AP=10，求MN的長.

圖13

圖14

2.5 模型探究5 調(diào)換條件，使問題特殊化

(1)若⊙O'與⊙O外切于點(diǎn) A(見圖15)，EA，BA的延長線分別交⊙O'于點(diǎn)C，F(xiàn)，連接CF，則△ACF是_________三角形;

(2)若⊙O'與⊙O相交于點(diǎn) A，P(見圖 16)，連接EP，BP并延長分別交⊙O'于點(diǎn)C，F(xiàn)，請選擇下列兩個(gè)問題中的一個(gè)作答：

圖15

圖16

問題1 判斷△ACF的形狀，并證明你的結(jié)論;

問題2 判斷線段EC與BF的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.我選擇問題_____，結(jié)論：__________________.

(3)若⊙O'與⊙O內(nèi)切于點(diǎn)A(見圖17)，AE，AB分別交⊙O'于點(diǎn) C，F(xiàn)，連接 CF，則△ACF 是_______三角形;

(4)若⊙O'與⊙O相交于點(diǎn) A，P(見圖 18)，連接EP，BP并延長分別交⊙O'于點(diǎn)C，F(xiàn)，請選擇下列兩個(gè)問題中的一個(gè)作答：

問題1 判斷△ACF的形狀，并證明你的結(jié)論;

問題2 判斷線段EC與BF的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.我選擇問題_____，結(jié)論：_____________________.

圖17

圖18

解析 (1)等腰直角

(2)問題1 △ACF是等腰直角三角形

證明 連接AE，AB，

問題2 連接AE，AB，∴ ∠EPB=∠FPC=90°，

2.6 模型探究6 變換形式，遷移深化

將三角形變?yōu)檎叫卧O(shè)計(jì)得如下兩題

例5 如圖19，正方形ABCD中，E，F(xiàn) 分別是 AD，AB 的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AM⊥BE，交對角線BD于M，連接ME.探究ME與DF之間的位置關(guān)系并證明.

解析 ME⊥DF 將△ABE沿BA方向平移BA的長度，再繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°(或延長AM交DC于點(diǎn)H)得∠DHA=∠AEB，DH=AE，

圖19

例6 如圖20，若E，F(xiàn)分別是 AD，AB 上的點(diǎn)，且 AE=AF.過點(diǎn)A作AM⊥BE，交對角線BD于M，過點(diǎn)M作 MG⊥DF，交 AD于N，交BE的延長線于G.探究BG，AM，MG之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

解析 BG=AM+MG 將△ABE沿BA方向平移BA的長度，再繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°(或延長AM交DC于點(diǎn)H)，

圖20

20110823)