430079 華中師范大學(xué)教育學(xué)院 劉 輝

抓住基本圖形教學(xué) 提升數(shù)學(xué)思維水平

430079 華中師范大學(xué)教育學(xué)院 劉 輝

平面幾何是初中數(shù)學(xué)一個(gè)重要的內(nèi)容模塊.初中數(shù)學(xué)的平面幾何內(nèi)容以歐幾里德的《幾何原本》所建立的公理化體系為基礎(chǔ)，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力、培養(yǎng)學(xué)生的理性思維、形成實(shí)事求是的態(tài)度有重要的作用.然而，現(xiàn)實(shí)情況下，一些學(xué)生感到幾何難學(xué)，或是學(xué)習(xí)效果不佳，畏懼幾何，繼而畏懼?jǐn)?shù)學(xué)，甚至放棄數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).“對(duì)初中生來(lái)說(shuō)，首先是幾何比代數(shù)難學(xué)，許多學(xué)生連“基本題”也做不好;其次是“兩極分化”……［1］，那么，怎么樣解決這些問(wèn)題?

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》在幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)方面，要求學(xué)生“能從較復(fù)雜的圖形中分解出基本的圖形，并能分析其中的基本元素及其關(guān)系”“利用直觀來(lái)進(jìn)行思考”［2］.“平面幾何的教學(xué)，從某種意義上講，就是教會(huì)學(xué)生認(rèn)識(shí)基本圖形的性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用基本圖形的方法去分析和解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和邏輯推理能力”［3］.抓住基本圖形的教學(xué)，有助于在學(xué)習(xí)過(guò)程中提升學(xué)生的思維水平.

1 基本圖形及基本圖形法的含義

1.1 基本圖形

關(guān)于基本圖形的含義，學(xué)界并沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的界定，它不像一些基本的數(shù)學(xué)概念那樣嚴(yán)格清晰.只是在長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中，人們對(duì)基本圖形形成了一些相對(duì)穩(wěn)固的約定與共同的認(rèn)識(shí).傅佑珊老師認(rèn)為，“現(xiàn)行中學(xué)平面幾何課本中概念、定理、公理所對(duì)應(yīng)的圖形都稱為基本圖形.”可以說(shuō)，基本圖形是內(nèi)容和形式的統(tǒng)一體.因?yàn)?，每一個(gè)幾何概念、每一條幾何公理、定理及定理的推論都對(duì)應(yīng)著一定的圖形.

基于此，平面幾何中的基本圖形有概念型基本圖形與定理型基本圖形(包括公理、定理的推論在內(nèi))之分.這兩大類型的基本圖形大致將教科書(shū)上平面幾何知識(shí)點(diǎn)包括在內(nèi)了.還有一類也可作為平面幾何中的基本圖形，稱之為經(jīng)驗(yàn)型基本圖形.因?yàn)?，以這一類基本圖形為基本構(gòu)圖的幾何題會(huì)以相關(guān)的形式稍有變化地在學(xué)生的練習(xí)題中出現(xiàn)，有了相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)型的基本圖形，能夠快速引領(lǐng)學(xué)生找到解題的方向.

具體說(shuō)來(lái)，三種基本圖形的含義如下.

1.1.1 概念型基本圖形

即幾何概念所對(duì)應(yīng)的圖形.直線、角、三角形、矩形、正方形、菱形，圓等.每一個(gè)幾何概念對(duì)應(yīng)著一定的圖形.

1.1.2 定理型基本圖形

這一類基本圖形將公理、定理及推論對(duì)應(yīng)的圖形包含在內(nèi)，它們區(qū)別于概念型基本圖形之處的是，圖形的元素(如線段、角)之間有一定的數(shù)量上或空間位置上的相互關(guān)系.平面幾何中一般的定理分為性質(zhì)定理與判定定理.一般是滿足一定的條件，才會(huì)有一定的結(jié)論.如兩直線平行，同位角相等(如圖1);角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等(如圖2).一條定理、公理也對(duì)應(yīng)著一定的圖形.

1.1.3 經(jīng)驗(yàn)型基本圖形

此類基本圖形是在教學(xué)過(guò)程中，或是學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的，具有一定代表性的、典型的基本幾何圖形，是一個(gè)開(kāi)放的系統(tǒng)，通常具有從經(jīng)驗(yàn)中積累的特點(diǎn).教師在幾何教學(xué)過(guò)程中可以指導(dǎo)學(xué)生注意此類圖形所包含的幾何性質(zhì)、結(jié)論的總結(jié)，如“母子相似三角形”(如圖3)、“射影定理”(如圖4)、“角平分線加平行線會(huì)有等腰三角形”(如圖5)等.每個(gè)人都可以在自己的經(jīng)驗(yàn)積累的基礎(chǔ)上進(jìn)行總結(jié)，這樣的范例式圖形越豐富，學(xué)生學(xué)起幾何來(lái)也就越容易.一般綜合性較大、學(xué)生感到困難的幾何題，究其本質(zhì)也就是一些基本圖形的疊加與組合.

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

1.2 基本圖形法

基本圖形法，是指“在幾何圖形中分解或構(gòu)造出起主要作用的基本圖形，通過(guò)這些基本圖形建立已知條件與要得出結(jié)論之間的聯(lián)系，以求得問(wèn)題的解決.”

讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用基本圖形法，對(duì)復(fù)雜的幾何圖形進(jìn)行分解，從中抽出基本圖形出來(lái)，對(duì)于提高學(xué)生的幾何解題能力有著直接的促進(jìn)作用.

2 基本圖形教學(xué)的運(yùn)用

所謂抓基本圖形的教學(xué)，一是教師在幾何內(nèi)容的教學(xué)過(guò)程中要以平面幾何中的基本圖形為出發(fā)點(diǎn)，讓學(xué)生以此為抓手，掌握基本的概念、定理、公理等基本知識(shí)，即知道有哪些知識(shí)可用;二是教學(xué)生會(huì)用基本圖形法，在紛繁復(fù)雜的幾何圖形中分解出基本圖形出來(lái)，化繁為簡(jiǎn)，化難為易，即掌握知識(shí)該怎樣運(yùn)用.

下面從知識(shí)表征、知識(shí)的掌握記憶、復(fù)雜圖形的分解等方面來(lái)研究基本圖形在教學(xué)中的運(yùn)用.

2.1 運(yùn)用基本圖形掌握數(shù)學(xué)概念

以“三線八角”為例，如圖6這一基本圖形之中包含了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角三個(gè)相關(guān)的概念.這三種角的共同特征都是由兩條直線被第三條直線所截而成的角，而角與角之間不同的位置關(guān)系也就造成了三類角的名稱的不同.有學(xué)生在學(xué)習(xí)這些概念時(shí)要么對(duì)于單獨(dú)的一種角的判斷錯(cuò)誤，要么是對(duì)于這三類角的判斷互相混淆.在教學(xué)過(guò)程中，一般是一個(gè)一個(gè)地解決，先讓學(xué)生借助這幅圖，結(jié)合教師對(duì)概念的講解，依次理解同位角的含義、內(nèi)錯(cuò)角的含義、同旁內(nèi)角的含義.分別學(xué)習(xí)三類角的概念之后，為檢驗(yàn)他們是否真正掌握理解了三類角概念的含義，讓他們?cè)谝环鶊D中指出同位角有哪些、內(nèi)錯(cuò)角有哪些、同旁內(nèi)角有哪些.當(dāng)學(xué)生能在一幅圖中清楚準(zhǔn)確地分辨出三類角時(shí)，就表明學(xué)生對(duì)這三類角的概念含義已完全掌握了.

圖6

教科書(shū)上對(duì)幾可概念是用語(yǔ)言文字形式進(jìn)行表征的，相對(duì)而言，概念型基本圖形對(duì)幾何概念以圖象形式進(jìn)行的表征更為形象、直觀.從認(rèn)知心理學(xué)的角度來(lái)看，幾何圖形作為一種視覺(jué)通道的信息，更容易在人的頭腦中形成表象，對(duì)于知識(shí)的表征以圖象的形式貯存.這種表征適合處于初中階段的學(xué)生的思維發(fā)展水平，使知識(shí)變得更易于理解和接受.相反，如果，不注重概念型基本圖形，而只關(guān)注于對(duì)文字進(jìn)行解釋的角度來(lái)把握概念，那么，效果就會(huì)大打折扣.抓住概念型基本圖形，有助于促進(jìn)學(xué)生對(duì)幾何概念的理解掌握，這為他們進(jìn)一步學(xué)習(xí)幾何知識(shí)打下基礎(chǔ).

2.2 運(yùn)用基本圖形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)

以人教版九年級(jí)下冊(cè)的銳角三角函數(shù)這一章節(jié)知識(shí)為例.要想順利地解決解直角三角形的問(wèn)題，理解掌握30°，45°，60°這三個(gè)特殊銳角的正弦值、余弦值及正切徝是必須過(guò)的第一關(guān).有學(xué)生在學(xué)習(xí)這一章節(jié)的內(nèi)容時(shí)，總是記不住，記錯(cuò)或記混了.其實(shí)，只需要抓住兩個(gè)特殊的直角三角形，即等腰直角三角形與一個(gè)角是30°的直角三角形，它們?nèi)呏确謩e是1∶1∶，1∶∶2，再結(jié)合正弦、余弦、正切它們的定義，即對(duì)邊比斜邊、鄰邊比斜邊、對(duì)邊比鄰邊;就很容易地得出這三個(gè)特殊銳角的三角函數(shù)值了，在理解的基礎(chǔ)上記憶這些三角函數(shù)值也就沒(méi)什么困難了.

平面幾何知識(shí)主要是以陳述性知識(shí)的形式進(jìn)行呈現(xiàn)的.在對(duì)陳述性知識(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)過(guò)程中，記憶是必須的.后繼的學(xué)習(xí)將以前面掌握的知識(shí)為基礎(chǔ)，因此必須要保持記住一些知識(shí)塊.而從記憶的策略來(lái)講，零散的知識(shí)點(diǎn)形成的知識(shí)結(jié)構(gòu)太過(guò)于分散，不利于形成知識(shí)模塊.運(yùn)用基本圖形，結(jié)合相關(guān)的概念定義，有助于理清知識(shí)點(diǎn)之間的來(lái)龍去脈及相互關(guān)系.即不僅是促進(jìn)學(xué)生對(duì)于知識(shí)的理解，而且有助于促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的保持記憶，形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu).

2.3 運(yùn)用基本圖形法，分析復(fù)雜的幾何圖形

在平行線的性質(zhì)里有“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”這一條.對(duì)應(yīng)的基本圖形，如圖7比較簡(jiǎn)單，屬于定理型基本圖形.在此基礎(chǔ)上，稍有變化形成圖8.這時(shí)四條線形成的三個(gè)角之和為360°，也不算難.

圖7

圖8

圖9中，x軸與y軸交于O點(diǎn)，AB交 y軸于 A點(diǎn)，DE交 x軸于 E點(diǎn)，AB∥DE，∠OAB與∠OED的角平分線交于P點(diǎn)，求∠P的度數(shù).

分析 此題借助基本圖形圖8的基礎(chǔ)，從圖中分解出B-A-O-E-D這個(gè)圖，利用圖8的結(jié)論，

圖9

四邊形PAOE內(nèi)角和為360°，

3 基本圖形教學(xué)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法

基本圖形法并不只是簡(jiǎn)單地為了解決微觀層面的學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的問(wèn)題，這種方法蘊(yùn)含了更高層面的數(shù)學(xué)思想方法.教師通過(guò)基本圖形法在教學(xué)中的運(yùn)用，有助于向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平.

3.1 數(shù)形結(jié)合思想

“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)少精確”.這句話準(zhǔn)確恰當(dāng)?shù)攸c(diǎn)明了數(shù)與形之間的重要聯(lián)系.在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合的思想，有助于他們“數(shù)學(xué)化”地思考問(wèn)題，即從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看問(wèn)題，具體到平面幾何知識(shí)上來(lái)說(shuō)，更是少不了對(duì)圖形的關(guān)注.平面幾何本來(lái)就是以平面圖形的性質(zhì)特征為主要研究?jī)?nèi)容的.此外，在幾何知識(shí)與代數(shù)知識(shí)相結(jié)合的地方，即既需要考查圖形間的相互位置關(guān)系，同時(shí)也需要關(guān)注圖形中的數(shù)量關(guān)系的時(shí)候，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是很自然的了.如文中提到的銳角三角函數(shù)運(yùn)用到解直角三角的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，就是一個(gè)典型的例子.

3.2 轉(zhuǎn)化、化歸的思想

數(shù)學(xué)知識(shí)體系是以一定的邏輯建立在基礎(chǔ)知識(shí)之上的.因而對(duì)后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)必須要以前面基礎(chǔ)知識(shí)的掌握為依托，否則，后續(xù)的學(xué)習(xí)無(wú)法進(jìn)行.在遇到復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，我們總是盡量把它往已熟悉的內(nèi)容上轉(zhuǎn)化、化歸.化未知為已知、化繁為簡(jiǎn)、化難為易.

基本圖形法就是這樣一種方法，面對(duì)紛繁復(fù)雜的幾何圖形，從眾多的線條中分解、抽出基本圖形，是一項(xiàng)重要的幾何思維能力.分解、抽出基本圖形出來(lái)，尤其是經(jīng)驗(yàn)型基本圖形，即將任務(wù)難度進(jìn)行分解，將不熟悉的轉(zhuǎn)化為已熟悉的，將復(fù)雜的任務(wù)化為簡(jiǎn)單的任務(wù)的過(guò)程.

3.3 綜合法與分析法相結(jié)合的思想

這一思想是緊承轉(zhuǎn)化、化歸思想而來(lái).運(yùn)用基本圖形法從復(fù)雜的圖形線條中抽出基本圖形以后，任務(wù)難度就降低了，這是一種分析的方法.即要解決這個(gè)問(wèn)題，需要先滿足什么條件;而要滿足這個(gè)條件，又必須先滿足什么條件，這樣一步步往前追蹤，追蹤到某一個(gè)基本圖形時(shí)，需要的條件滿足了.再按原路返回，倒過(guò)來(lái)推理，結(jié)合其他條件，進(jìn)行證明或解答的過(guò)程，就是綜合法.基本圖形法在解決平面幾何的過(guò)程中，起到了連接分析法與綜合法的橋梁的作用.如果沒(méi)有基本圖形法的思路來(lái)找到熟悉的基本圖形，思維鏈可能就會(huì)斷開(kāi)，繼而影響到問(wèn)題的解決.而有了基本圖形作紐帶，再使綜合法與分析法相結(jié)合，問(wèn)題就能得到很好的表征，解決起來(lái)也就簡(jiǎn)單得多.運(yùn)用基本圖形法解決問(wèn)題的過(guò)程中，包含了綜合法與分析法相結(jié)合的過(guò)程.

1 張奠宙.平面幾何教學(xué)的回顧與前瞻［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2005，5

2 葉堯城，向鶴梅主編.全日制義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)(修訂稿)教師讀本［M］.武漢：華中師范大學(xué)出版社，2003，6.

3 傅佑珊.淺談平面幾何圖形的基本教學(xué)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，1993，5

4 傅佑珊.平面幾何基本圖形的方法與教學(xué)實(shí)踐［J］.北京教育學(xué)院學(xué)報(bào)，1997，2

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