210019 南京金陵中學(xué)河西分校 李玉榮

為了體現(xiàn)中考的選拔功能，中考命題者特別關(guān)注初高中數(shù)學(xué)知識(shí)的銜接，在銜接點(diǎn)處精心設(shè)置壓軸題，已成為中考命題的一種時(shí)尚.近年壓軸題出現(xiàn)的“求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長”是高中解析幾何“求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程”的雛形，它不同于幾何課本中單純代入公式求解的一些幾何計(jì)算題，也不同于單純考查邏輯思維的幾何證明題，需要數(shù)形結(jié)合，邊推理邊運(yùn)算，有很強(qiáng)的探索性，體現(xiàn)知識(shí)的發(fā)展過程，考查學(xué)習(xí)潛能，內(nèi)涵豐富、立意新穎，使中考命題真正實(shí)現(xiàn)了由“知識(shí)立意”向“能力立意”的過渡，不僅有利于高一級(jí)學(xué)校選拔合格的新生，而且對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)具有良好的導(dǎo)向作用.

1 運(yùn)動(dòng)路徑為線段

圖1

例1(2010年南京)如圖1，正方形ABCD的邊長是2，M是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止.連接EM并延長交射線CD于點(diǎn)F，過M作EF的垂線交射線BC于點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G.

(1)設(shè)AE=x時(shí)，△EGF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍;

(2)P是MG的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路線的長.

簡解(1)略;

(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E與A重合時(shí)，

顯然BG1=AM=1;

當(dāng)點(diǎn)E與B重合時(shí)，

由△AMB∽△MBG2，

易求得BG2=5，

所以G1G2=4，

圖2

點(diǎn)評(píng) 第(2)題中P為動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路線的長，可考慮點(diǎn)E的極端位置——初始點(diǎn)A，終止點(diǎn)B，相應(yīng)的點(diǎn)P的起始位置分別為P1，P2，再經(jīng)探索得到點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路線為線段P1P2，從而可求出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路線的長.

例2(2011年三明)在矩形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，AB=2，AP=1.將直角尺的頂點(diǎn)放在P處，直角尺的兩邊分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF(如圖3).

(1)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)F恰好與點(diǎn)C重合(如圖4)，求PC的長;

(2)探究：將直尺從圖4中的位置開始，繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時(shí)停止.在這個(gè)過程中，請(qǐng)你觀察、猜想，并解答：

①tan∠PEF的值是否發(fā)生變化?請(qǐng)說明理由;

②直接寫出從開始到停止，線段EF的中點(diǎn)經(jīng)過的路線長.

(2)①tan∠PEF的值不變;

點(diǎn)評(píng)第(2)②題中線段EF的中點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，求它運(yùn)動(dòng)路線的長，關(guān)鍵是抓住題設(shè)中直角尺旋轉(zhuǎn)的開始位置與停止位置，確定線段EF的中點(diǎn)的起始位置，再經(jīng)探索知線段EF的中點(diǎn)經(jīng)過的路線為線段，從而可求出路線長.

2 運(yùn)動(dòng)路徑為圓孤

例3 (2011年湖州市)如圖7，已知正方形OABC的邊長為2，頂點(diǎn)A，C分別在x，y軸的正半軸上，M是BC的中點(diǎn).P(0，m)是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)(C點(diǎn)除外)，直線PM交AB的延長線于點(diǎn)D.

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示);

(2)當(dāng)△APD是等腰三角形時(shí)，求m的值;

(3)設(shè)過P，M，B三點(diǎn)的拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)O作直線ME的垂線，垂足為H(如圖8)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H也隨之運(yùn)動(dòng).請(qǐng)直接寫出點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長.(不必寫解答過程)

簡解(1)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，4－m);

(2)當(dāng)△APD是等腰三角形時(shí)，

設(shè)OM的中點(diǎn)為O1，

可考慮點(diǎn)P的極端位置：當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，

過P，M，B三點(diǎn)的拋物線為y=－x2+3x，點(diǎn)E(3，0)，易知∠MEO=45°，

可得∠EOH=45°，所以∠COH=45°;

圖9

點(diǎn)評(píng)第(3)題中垂足H為動(dòng)點(diǎn)，求它所經(jīng)過的路徑的長，注意到點(diǎn)H是隨點(diǎn)P從點(diǎn)O向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是關(guān)注點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的極端位置點(diǎn)O和點(diǎn)C，得知點(diǎn)H的兩個(gè)極端位置，再經(jīng)探索知點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑為一段圓弧，從而可求出路徑長.

以上幾例的共同特點(diǎn)是在幾何圖形中研究點(diǎn)或圖形在運(yùn)動(dòng)中牽制形成另一相關(guān)聯(lián)的動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑的長，設(shè)計(jì)新穎，不落俗套，給學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)的學(xué)生創(chuàng)造了展示自我的空間，確保了試題在《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中的要求范圍內(nèi)具有較高的區(qū)分度和較好的效度.對(duì)這類問題要善于借助動(dòng)態(tài)思維的觀點(diǎn)來分析，不為“動(dòng)”所迷惑，從特殊情形入手，變中求不變，動(dòng)中求靜，抓住靜的瞬間，以靜制動(dòng)，把動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題來解決，從而找到解決問題的突破口.動(dòng)與靜是相對(duì)的，抓住運(yùn)動(dòng)中的不變量(如圖形全等、距離不變等)，對(duì)比運(yùn)動(dòng)前后兩種狀態(tài)的區(qū)別，用心體會(huì)，尋找規(guī)律.教師可以通過解剖典型試題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷解題思路的探索過程，解題方法和規(guī)律的概括過程，學(xué)會(huì)分析問題、解決問題的方法.