嚴(yán)亞娣

（中山市中等專業(yè)學(xué)校 廣東 中山528400）

在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維習(xí)慣

嚴(yán)亞娣

（中山市中等專業(yè)學(xué)校 廣東 中山528400）

首先闡述了在職業(yè)中專培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維能力的必要性，分析了數(shù)學(xué)知識(shí)講授與培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維的關(guān)系。然后著重剖析了構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維能力的作用以及激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)研究精神對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維習(xí)慣的意義。最后還討論了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維能力的教學(xué)心理和激勵(lì)機(jī)制。

數(shù)學(xué)；邏輯思維；能力；習(xí)慣；開拓創(chuàng)新

問題的緣起

學(xué)數(shù)學(xué)，部分中專學(xué)生容易陷入“現(xiàn)買現(xiàn)賣”的功利誤區(qū)，即希望學(xué)到或記住幾條數(shù)學(xué)公式，以便日后用來“代入”計(jì)算。這種學(xué)數(shù)學(xué)觀念的結(jié)果往往是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)囫圇吞棗，浮光掠影，不求甚解，記不住，不會(huì)用，考試時(shí)勉強(qiáng)通過，考試后前功盡棄。這是任何一位數(shù)學(xué)教師都不愿見到的結(jié)果。

我們不要求學(xué)生都能成為某行業(yè)專家，但我們卻有責(zé)任讓每個(gè)中專生通過短短的幾年學(xué)習(xí)逐步成為創(chuàng)新的好手。創(chuàng)新，絕非標(biāo)新立異，異想天開，更不能違反規(guī)律，主觀蠻行；創(chuàng)新，應(yīng)是在嚴(yán)密的邏輯思維基礎(chǔ)上的開拓，在嚴(yán)密的科學(xué)精神指導(dǎo)下的變革。我們要培養(yǎng)創(chuàng)新型人才，首先就得培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神，培養(yǎng)他們的邏輯思維能力，培養(yǎng)他們學(xué)會(huì)分析事物，找到事物發(fā)展的客觀規(guī)律，再按規(guī)律進(jìn)行開拓創(chuàng)新。創(chuàng)新是現(xiàn)代人一種不可或缺的素質(zhì)。因此，學(xué)數(shù)學(xué)，絕不僅是學(xué)幾條數(shù)學(xué)公式、定理，以方便計(jì)算，更重要的是要通過對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)循序漸進(jìn)的學(xué)習(xí)，逐步學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)邏輯思維方法，形成邏輯思維習(xí)慣，并把這種思維方法用于日后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，進(jìn)而推廣到其他領(lǐng)域，作為創(chuàng)新的基礎(chǔ)。這種意義是遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身的。

數(shù)學(xué)知識(shí)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)邏輯思維的載體

筆者認(rèn)為，學(xué)習(xí)文化科學(xué)知識(shí)的目的不外是：擴(kuò)大視野，開拓智力。無視野之?dāng)U大無以開拓智力，不開拓智力無以進(jìn)一步擴(kuò)大視野，前為載體，后為目的，相輔相成，不可分割，互為辯證統(tǒng)一體。因此，數(shù)學(xué)知識(shí)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)邏輯思維的載體。也就是說，數(shù)學(xué)邏輯思維的培養(yǎng)必須通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的根本目的在于培養(yǎng)數(shù)學(xué)邏輯思維能力與習(xí)慣并反過來促進(jìn)進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)。

知識(shí)與思維能力不能通過DNA得以遺傳。數(shù)學(xué)邏輯思維方法需要在循序漸進(jìn)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中不斷總結(jié)，才能逐步領(lǐng)悟、掌握和形成習(xí)慣。而數(shù)學(xué)邏輯思維模式形成后則不僅能促進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的深入，更可以開拓和發(fā)展新的數(shù)學(xué)知識(shí)。數(shù)學(xué)史上這種先例是不可勝數(shù)的。其中一個(gè)突出的例子是笛卡兒創(chuàng)立直角坐標(biāo)系，把變量與變量的關(guān)系幾何化。后來的數(shù)學(xué)家們沿著笛卡兒這種邏輯思維的路子，把變量的關(guān)系研究得越來越深入細(xì)致，并開拓出了函數(shù)、解析幾何、微積分等數(shù)學(xué)分支，繼而又把這種邏輯思維方法推廣到諸如化學(xué)、物理、天文、地理、生物乃至經(jīng)濟(jì)、社會(huì)各個(gè)領(lǐng)域，引來了人類文明的一次巨大飛躍。

學(xué)生必須在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)邏輯思維方法，逐步形成數(shù)學(xué)邏輯思維習(xí)慣，這樣才有可能成為創(chuàng)新型人才，這已是毋庸置疑的結(jié)論。為此，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中，除了要把數(shù)學(xué)知識(shí)傳授給學(xué)生外，還要對(duì)學(xué)生揭示在這些數(shù)學(xué)知識(shí)中隱含著的數(shù)學(xué)家們的邏輯思維方法，讓學(xué)生領(lǐng)悟、掌握、形成習(xí)慣、會(huì)運(yùn)用。在講授數(shù)學(xué)概念、定理、公式時(shí)要這樣做，在解例題、習(xí)題時(shí)，更要引導(dǎo)學(xué)生通過分析，運(yùn)用邏輯思維方法，找到問題解決的切入口，最后得到合乎邏輯的解法，并鼓勵(lì)學(xué)生在邏輯思維的基礎(chǔ)上，另辟蹊徑，創(chuàng)新解法。

如高中三角中角度單位弧度制的引進(jìn)，一般只重視單位的定義、弧度制與度分秒單位制的換算等。教師不妨提出這樣的問題：為什么角度單位要用弧度制？其實(shí)，弧度制把角度變成了實(shí)數(shù)，那么，三角函數(shù)與角度之間的關(guān)系就變成了兩個(gè)實(shí)數(shù)集合的映射關(guān)系了。這才是采用弧度制的根本理由。

又如一道簡單的不等式題：

可見，小問題也可以寓于數(shù)學(xué)邏輯思維方法的應(yīng)用中，這是我們?cè)诮虒W(xué)上不可忽視的。

構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維能力的重要手段

現(xiàn)今數(shù)學(xué)課本中的內(nèi)容，集中外古今數(shù)學(xué)家研究之大成。數(shù)學(xué)知識(shí)縱連成線，橫聯(lián)成面，形成一個(gè)嚴(yán)密的網(wǎng)絡(luò)體系，各知識(shí)點(diǎn)如同一個(gè)個(gè)網(wǎng)結(jié)點(diǎn)，彼此按一定的邏輯關(guān)系聯(lián)系著并不斷向外延伸。然而飯只能一口一口吃，課也只有一節(jié)一節(jié)上，分章分節(jié)使知識(shí)明晰化，條理化，但也容易割裂各知識(shí)點(diǎn)的邏輯聯(lián)系。每個(gè)孤立的知識(shí)點(diǎn)猶如一捧明珠，學(xué)生手掬時(shí)往往也有部分散落在地。教師有責(zé)任“在授珠的同時(shí)也給學(xué)生一根可以把珠子穿起來的紅線”。所以，數(shù)學(xué)教師不僅要把數(shù)學(xué)知識(shí)教給學(xué)生，還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，以便讓學(xué)生牽一點(diǎn)而動(dòng)全體，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域縱橫捭闔，融會(huì)貫通。為了引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，可以采用如下幾個(gè)辦法：

（一）在教學(xué)中注意數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的縱向聯(lián)系

在單元講授的開始，先介紹本單元的知識(shí)線索，讓學(xué)生明確學(xué)什么，順序如何，要求怎樣，重點(diǎn)在哪。例如，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重頭戲，不妨一開始就給出函數(shù)大單元的知識(shí)線索：函數(shù)的定義和表示（解析法、列表法、圖像法）→函數(shù)的性質(zhì)（函數(shù)值、定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、分段性等）→各初等函數(shù)（正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)）。重點(diǎn)在運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)研究二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)及其圖像。

在講授某一數(shù)學(xué)定理、公式時(shí)，不能只要求學(xué)生“背熟、默出”，而要讓學(xué)生習(xí)慣于運(yùn)用數(shù)學(xué)的邏輯思維，環(huán)環(huán)緊扣，步步說理，弄清公式定理的來龍去脈，即怎樣來，意義怎樣，如何應(yīng)用，最后在理解的基礎(chǔ)上記憶、運(yùn)用。

等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推證用到了數(shù)列求和的一個(gè)重要方法——錯(cuò)項(xiàng)差法，可引導(dǎo)學(xué)生推證。

經(jīng)過推證，學(xué)生既清楚了公式的來源、意義，易于記憶結(jié)果，也從中學(xué)到了求數(shù)列前n項(xiàng)和的一種方法。

（二）在教學(xué)中，重視數(shù)學(xué)知識(shí)的橫向聯(lián)系

知識(shí)點(diǎn)的橫向聯(lián)系，是指數(shù)學(xué)不同單元知識(shí)間的聯(lián)系，即所謂綜合性。加強(qiáng)知識(shí)點(diǎn)的橫向聯(lián)系，是構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的重要環(huán)節(jié)。

例如，在初等函數(shù)教學(xué)中，我們應(yīng)讓學(xué)生做到把變量、函數(shù)、圖像、方程、不等式交織在一起，形成一個(gè)鮮明的網(wǎng)絡(luò)體系，這樣，將會(huì)收到使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)融會(huì)貫通、運(yùn)用自如的效果。

例如一道簡單的不等式題：x2-2x-3＞0，求解。

設(shè)變量x，y，建立函數(shù)y=x2-2x-3

求二次方程x2-2x-3=0的判別式Δ=（-2）2-4·1·（-3）=16＞0

求二次方程x2-2x-3=0的根x1=-1，x2=3

畫出y=x2-2x-3的函數(shù)圖像（圖略）

原不等式x2-2x-3＞0，即y＞0，圖像在x軸上方部分對(duì)應(yīng)的x的范圍，即為不等式x2-2x-3＞0的解集。

由此，直接寫出原不等式的解集為{x|x＜-1或x＞3}。

（三）注重知識(shí)的歸納與對(duì)比

人類智慧的提升，文明的發(fā)展，不在于單純的勞動(dòng)，而在于勞動(dòng)實(shí)踐后的反思和總結(jié)，以及在反思和總結(jié)基礎(chǔ)上的開拓。學(xué)習(xí)一個(gè)單元，一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，乃至做一道數(shù)學(xué)題后，教師都要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納與總結(jié)，讓學(xué)生形成習(xí)慣。歸納，就是要整理知識(shí)，整理思路，整理方法，強(qiáng)化思維的邏輯性。除用提綱式歸納外，可以在必要時(shí)應(yīng)用表格。例如把圓錐曲線（包括橢圓、雙曲線、拋物線）的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何參數(shù)、圖像等編列成表格是常用的歸納方法。其他數(shù)學(xué)知識(shí)，也可以做一些嘗試。

另一個(gè)行之有效的方法就是對(duì)比。對(duì)比，也就是把兩種相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)知識(shí)的異同點(diǎn)進(jìn)行比較，借以明晰概念，區(qū)分思路，鞏固記憶。筆者曾嘗試把“指數(shù)函數(shù)性質(zhì)”與“對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)”對(duì)比授課，也曾嘗試把“圖形法”與“坐標(biāo)法”對(duì)比進(jìn)行向量單元的教學(xué)，均收到效率高、學(xué)生掌握好的效果。

（四）有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生逐步學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)總結(jié)

知識(shí)總結(jié)，開始不妨由教師做，逐步引導(dǎo)學(xué)生自行總結(jié)，再放手讓學(xué)生自己做。學(xué)生一旦形成了總結(jié)習(xí)慣，是終身受用的。

努力激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)研究精神是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維習(xí)慣的關(guān)鍵

諸如前述，邏輯思維能力是一種素質(zhì)，是成為創(chuàng)新型人才的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)研究精神，也就是要多思，從多種角度去思考，分析和解決數(shù)學(xué)問題，并在這基礎(chǔ)上生發(fā)、開拓、創(chuàng)新，形成數(shù)學(xué)邏輯思維習(xí)慣。不可諱言，中專學(xué)生比較缺乏數(shù)學(xué)研究精神。功利性地學(xué)數(shù)學(xué)固然不能培養(yǎng)數(shù)學(xué)邏輯思維能力；題海戰(zhàn)術(shù)使學(xué)生忙于應(yīng)付，結(jié)果是懂的重復(fù)做，不懂的仍不懂，也難以引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)研究精神。有時(shí)，精選的少量簡單數(shù)學(xué)題，引導(dǎo)學(xué)生多角度分析，一題多解，多變，解題后反思和總結(jié)，卻是引發(fā)學(xué)生研究精神、形成數(shù)學(xué)邏輯思維習(xí)慣的有效手段。

比如簡單的參數(shù)不等式ax+b＞0（a，b∈R），求關(guān)于x的解集。

這是沒有研究參數(shù)a，b的正、負(fù)、0所致。

正確解法是：ax+b＞0，由同解性質(zhì)知ax＞-b成立接著要引導(dǎo)學(xué)生討論a和b

當(dāng)a=0時(shí)，即0x＞-b，左邊必恒為0

當(dāng)b＞0時(shí)，0＞負(fù)數(shù)，x∈R

當(dāng)b≤0時(shí)，0＞正數(shù)，或0＞0，x∈?

可設(shè)置思考題：可否用圖像法解？如何解？

且A∩C≠?，B∩C=?，求實(shí)數(shù)a的值

本題的邏輯思維路線應(yīng)是：

1.解出A，B：

2.利用交集條件求C的部分元素

3.把x=3代入C求a

至此好像解完了，但漏去了檢查結(jié)果是否符合條件，故有：

4.把a(bǔ)代回C檢驗(yàn)

不符合條件B∩C=?，故舍去

符合題設(shè)條件，綜上得a=-2。

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維習(xí)慣的教學(xué)心理和激勵(lì)機(jī)制

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維習(xí)慣是一項(xiàng)系統(tǒng)工程，除上述方面外，還需從學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理著手，適當(dāng)設(shè)置使學(xué)生自覺養(yǎng)成數(shù)學(xué)邏輯思維習(xí)慣的激勵(lì)機(jī)制。為此，在教學(xué)上應(yīng)做到：

（一）循序漸進(jìn)，復(fù)舊引新，化繁為簡，化難為易，化抽象為具體，使學(xué)生易切入，明其理，可操作

學(xué)習(xí)，首先要有興趣，有了興趣，才能有注意，才能產(chǎn)生求知欲與學(xué)習(xí)的熱情。中專學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的最大障礙在于對(duì)數(shù)學(xué)的“畏難”心理。上述做法正是針對(duì)這種心理的重要方法。破除了“畏難”心理障礙，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)生了興趣，進(jìn)而才會(huì)“樂學(xué)”數(shù)學(xué)。

課本的內(nèi)容，經(jīng)過專家的審定，已是十分嚴(yán)密。然而教師的教學(xué)是一種再創(chuàng)造，教師應(yīng)從具體學(xué)習(xí)者的實(shí)際出發(fā)，在大綱及教材統(tǒng)制下，合理調(diào)整教學(xué)方法，以使所教內(nèi)容為學(xué)生易懂、會(huì)用。

例如，現(xiàn)行中等職業(yè)教育《數(shù)學(xué)》（基礎(chǔ)模塊）中，對(duì)函數(shù)是這樣定義的：“在某一變化過程中有兩個(gè)變量x和y，設(shè)變量的取值范圍為數(shù)集D，如對(duì)于D內(nèi)的每一個(gè)x值，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則f，y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么，把x叫做自變量，把y叫做x的函數(shù)，數(shù)集D叫做函數(shù)的定義域”。

這定義對(duì)于沒有介紹“映射”概念的教材系統(tǒng)來說，應(yīng)該說是完整與嚴(yán)密的。但從學(xué)生角度去想，這樣的定義不易學(xué)，不易懂，不易記，更不好操作。教師很有必要把它分解開來，再讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上記憶。筆者認(rèn)為可作如下分解：（1）函數(shù)是兩個(gè)變量間的關(guān)系，即變量x通過某種變換f變換為變量y，記作（2）當(dāng)變量x取某一可能數(shù)值時(shí)，變量y有且僅有一個(gè)數(shù)值與之對(duì)應(yīng) （即在直角坐標(biāo)上有且僅有一個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)）；（3）x稱為自變量，y稱為x的函數(shù)，記作y=f（x）；（4）y=f（x）的具體解析式稱為函數(shù)解析式或函數(shù)方程式；（5）當(dāng)x取某一可能數(shù)值x=a時(shí)，對(duì)應(yīng)的y值 （可從代入具體函數(shù)式中求出）稱為x=a時(shí)的函數(shù)值，記作：y=f（a）；（6）使函數(shù)式有意義的自變量x的取值范圍稱為函數(shù)的定義域；（7）在函數(shù)的定義域范圍內(nèi)，函數(shù)y的取值范圍稱為函數(shù)的值域；（8）函數(shù)的定義域與值域可用區(qū)間符號(hào)表示。

在以上各點(diǎn)中穿插適當(dāng)?shù)睦樱倩仡^讀課本的定義，學(xué)生就明白易懂了。

（二）精選例題、習(xí)題

一題多變，逐步引導(dǎo)，由淺至深，由單一到綜合要精選例題、習(xí)題，掌握好“習(xí)題有一定思考性又是大多數(shù)學(xué)生可解的”這個(gè)分寸，讓學(xué)生有學(xué)習(xí)的成就感。不要追求高深難題，也不要用題海壓迫學(xué)生學(xué)習(xí)。

（三）做好經(jīng)常性的總結(jié)

一單元、一節(jié)課授畢要總結(jié)，一題解完也要梳理思路，對(duì)比正誤，明晰方法，讓學(xué)生有法可依，有路可循，有念可懸，有境可拓。

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1672-5727（2011）11-0106-03

嚴(yán)亞娣（1961—），女，湖北武漢人，中山市中等專業(yè)學(xué)校教師，中學(xué)高級(jí)教師，研究方向?yàn)橹新殧?shù)學(xué)教學(xué)。