楊杰，鄭海起，關貞珍，王彥剛

(石家莊軍械工程學院，石家莊 050003)

當齒輪箱出現故障時，有時可能不只存在一種故障，可能是多種故障狀態(tài)并存，盲源分離為齒輪箱多故障并存的分離提供了新的方法，在齒輪箱故障診斷中已經得到成功的應用[1-2]。

在盲源分離算法中，經典的獨立分量分析(ICA)方法假設源信號是獨立統(tǒng)計的。雖然目前ICA方法在許多應用中已證明是成功的[3-4]，但其基于統(tǒng)計獨立的假設條件并不適用于所有情況。特別是在實際應用中，很多信號或圖像具有稀疏性，或者經適當的變換，使其在變換域中具有較好的稀疏性。當源信號是高度稀疏時，這表示每個源信號只有很少的時刻取值為非零(或者較大)，而絕大多數時刻取值為零(或者接近零)。在這種情況下的獨立假設意味著2個源信號同時為有用信號的概率極低，因此源信號可以由不同的基函數表示。在稀疏成分分析(Sparse Component Analysis, SCA)中就利用了這一點[5-6]。

最近，又提出了另外一種基于信號稀疏表示的分離方法——形態(tài)成分分析(Morphological Component Analysis，MCA)[7-8]。該方法假設對于混合信號中的每個源信號，都存在著相對應的能夠稀疏表示該源信號的字典，并且認為該字典僅能稀疏表示該源信號，對于其他源信號則不能稀疏表示；然后利用追蹤算法搜索最稀疏的表示，從而產生理想的分離效果。下文嘗試把該方法引入到軸承復合故障分離中，為齒輪箱故障診斷探索新的理論方法。

1 信號的稀疏分解

正交線性變換在信號處理中具有非常重要的地位和作用，如Fourier變換和小波變換等，在這些方法中，通過基函數展開將信號表示為一系列基函數線性加權和的形式進行分析，然而，工程實踐中對于任意復雜多變信號，傳統(tǒng)的基函數展開方法在信號表示方面缺乏自適應性。為了對任意復雜多變的信號進行表示，人們試圖尋找建立在多種基函數基礎之上的信號表示方法，稀疏分解即是為了實現這一目標而提出的新的信號處理方法，其基本思想是基函數用稱之為字典的超完備的冗余函數系統(tǒng)取代，字典中的元素被稱為原子，信號由原子的線性組合來表示。其中原子的數目比信號的維數大，由此產生了冗余。由于這種超完備性，就有很多表示信號的方法，其中具有最少系數(最稀疏)的表示是最簡單的，也是認為最優(yōu)的一種表示方法。

對于任意信號s∈RN，要想找到最稀疏的表示，等同于解決下列問題

(1)

式中：‖u‖0為系數矢量u中非零項的個數，在一個隨機的冗余字典T中尋找信號的稀疏表示，這是非凸和高度非光滑的，是一個NP難問題。

為了解決這個問題，文獻[9]引入了匹配追蹤(marching pursuit，MP)算法。近幾年，匹配追蹤算法得到了很大的發(fā)展，顯示出很大的優(yōu)越性。然而匹配追蹤算法由于在算法過程中需要進行大量的內積運算和字典的選擇，計算量巨大，限制了它在很多領域的運用。同時，匹配追蹤算法信號表示的精度問題也限制了其應用。

為了解決信號稀疏表示和分解問題，又提出了基追蹤(basis pursuit，BP)算法，把(P0)問題轉化為(P1)問題

(2)

即把最小化l0范數轉化為最小化l1范數，使問題簡單化。對于最小化l1范數，可以通過線性規(guī)劃方法解決?；粉櫲ピ?Basis Pursuit Denoising， BPDN)[10]是BP算法的推廣，把(P1)問題變成無約束優(yōu)化問題

(3)

其中參數λ控制著表示信號s時的失真度。(P1,λ)具有二次規(guī)劃結構，可以通過很多方法進行求解。當T選擇為酉矩陣時存在封閉解

(4)

其中，ηλ(x)=sign(x)(|x|-λ)+，

2 形態(tài)成分分析

(5)

(6)

Stark在BCR(Block-Coordinate-Relaxation)方法[11]的基礎上，給出了MCA的數值實現：

(1)初始化迭代次數Lmax及閾值δk=λk·Lmax/2；

(2)Whileδk>λk/2

fork=1,…,n；

假設sk′≠k不變，更新sk：

計算剩余量rk=s-∑k′≠ksk′；

更新閾值δk=δk-λk/2。

MCA算法只能分離同一信號中具有不同形態(tài)的信號分量。文獻[12]將MCA擴展到多通道數據情況下，提出了GMCA(Generalized MCA)算法，GMCA是一種快速有效的盲源分離方法，充分利用了形態(tài)多樣性和稀疏性的特點，把源看作是形態(tài)成分的線性組合，并利用稀疏性估計源和混合矩陣，取得了較好的試驗結果。文獻[13]將該方法應用到了腦信號分離中。

對于線性混疊模型

X=AS+N，

(7)

設源信號是統(tǒng)計獨立的，且每個源信號sk是不同形態(tài)成分的線性組合，

(8)

Tk和Rk分別表示與冗余字典Φk相關的正逆變換，(8)式中，φk,i為sk的1個形態(tài)成分，可以由變換Tk稀疏化，且僅能由Tk稀疏化。則估計模型(7)中的混疊矩陣A和源信號S轉化為求解以下優(yōu)化問題

(9)

(1)初始化遞歸次數Lmax和閾值：?k,δk=

Lmax·λk/2;

(2)Whileδk>λk/2

fork=1,…,n;

(3)假設sk′≠k和ak′不變，更新sk：

(4)設源信號不變，更新A；

(5)對?k，重正規(guī)化ak,sk和δk；

(6)對?k，減小閾值δk=δk-λk/2。

在步驟(4)中，在由MCA算法得到的源信號的稀疏分解系數α={αk,i}的基礎上，混疊矩陣A的估計基于如下的更新策略

(10)

式中：β為歸一化常量；I為屬于Rm的單位矩陣；γ為與源信號參數的假設概率分布有關的非線性函數向量。

3 仿真信號分析

為了檢驗GMCA盲分離算法的有效性，進行了如下的仿真，取m=2，n=2，即2個傳感器、2個源信號的盲分離。

設2個源信號分別為

sin(2π×0.01t)+n(t),

sin(2π×0.035t)+n(t),

隨機選取混合矩陣為

將2路信號線性混合并疊加3 dB的高斯白噪聲，得到混疊信號如圖1所示。

圖1 混疊信號時域圖

構造Fourier字典和基于8階消失矩Symlet小波字典，由GMCA算法得到混合矩陣A的估計

由GMCA算法分離得到的源信號如圖2所示，可以看出，源信號被較好地分離出來，且噪聲較小。FICA分離的源信號如圖3所示，很明顯，分離信號與原始信號差別很大。

圖2 GMCA分離信號時域圖

圖3 FICA分離信號時域圖

為進一步反映源信號的分離效果，引入信噪比和誤差指標進行評價，結果見表1。由表中可以看出，GMCA對帶噪信號的分離效果明顯好于FICA，同時也說明了GMCA分離算法的有效性。

表1 分離方法效果對比

4 齒輪箱復合故障信號分析

在某型單級齒輪箱上進行試驗驗證。該系統(tǒng)由電動機帶動輸入軸，輸出軸帶動負載。主動齒輪齒數Z1=30，被動齒輪齒數Z2=50，輸入軸軸承型號為6206，輸出軸軸承型號為7207，故障是在輸入軸軸承內圈、外圈和滾動體通過線切割實現的，對振動信號在時域里進行等時間間隔采樣，采樣頻率為12 800 Hz，測量時轉速為1 200 r/min，采樣時間長度為0.25 s。6206軸承內徑為9.5 mm，外徑為46.5 mm，接觸角為0°，滾動體數目為9，根據軸承的結構尺寸和工作轉速，可以計算出內圈故障特征頻率108.4 Hz，滾動體故障特征頻率94.2 Hz，外圈故障特征頻率為71.6 Hz。

在輸入軸兩端軸承座的上部各安裝1個傳感器，并在輸入軸一端軸承座的下部安裝1個傳感器，傳感器的型號為B&K4508加速度傳感器，3個傳感器采集的振動信號頻譜如圖4所示，可以看出采集信號的幾個故障特征頻率在每一個頻譜圖上混疊，難以確定哪些故障存在。

圖4 3路傳感器采集信號的頻譜圖

構造Fourier字典、Dirac字典和基于8階消失矩Symlet小波字典，分別用以匹配振動信號中的簡諧振動、沖擊和其他瞬態(tài)振動現象，采用GMCA算法對采集的3路振動信號進行盲分離，圖5分別為分離出的3個源信號的頻譜圖。

圖5 GMCA分解結果

從圖5a中能看出94 Hz和188 Hz的頻率成分，這與滾動體故障特征頻率(94.2 Hz)及二次諧波(188.4 Hz)接近，由此可認為滾動體故障被有效地分離出來；從圖5b中能看出72 Hz和144 Hz的頻率成分，這與外圈故障特征頻率(71.6 Hz)及二次諧波(153.2 Hz)接近，由此可認為外圈故障被有效地分離出來；從圖5c中能看出108 Hz和216 Hz的頻率成分，這與內圈故障特征頻率(108.4 Hz)及二次諧波(216.8 Hz)接近，其他頻率幅值成分較小，由此可認為內圈故障被分離出來。經上述分析得出，上文提出的算法能較好地分離出滾動軸承的故障特征。

5 結束語

形態(tài)成分分析方法是有別于稀疏成分分析的一種基于稀疏表示的信號分解方法，在分解信號的同時，也自動地提取出噪聲成分，完成了信號去噪處理。將形態(tài)成分分析方法應用到3種軸承故障的分離中，取得了良好的分離效果，表明了該方法在軸承故障診斷中的有效性。