王勇，鄧四二，王恒迪

(河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471003)

滾動(dòng)軸承的振動(dòng)信號(hào)往往表現(xiàn)為非平穩(wěn)特征，當(dāng)有局部損傷存在時(shí)，如何從非平穩(wěn)的振動(dòng)信號(hào)中提取出故障信息是滾動(dòng)軸承故障診斷的關(guān)鍵問(wèn)題。短時(shí)Fourier變換(short-time Fourier transform,STFT)是一種聯(lián)合時(shí)頻分析方法[1]，表征了非平穩(wěn)信號(hào)頻率隨時(shí)間的變化關(guān)系，能夠得到信號(hào)在時(shí)域和頻域內(nèi)的全貌和局部信息，是一種實(shí)用的非平穩(wěn)信號(hào)故障診斷方法。然而由于傳統(tǒng)的STFT變換采用固定的窗函數(shù)[2]，無(wú)法同時(shí)滿(mǎn)足高的時(shí)間分辨率和頻率分辨率；而且目前自適應(yīng)窗函數(shù)[3]的計(jì)算量較大，可靠性也有待進(jìn)一步驗(yàn)證。另外，振動(dòng)信號(hào)中往往存在著較強(qiáng)的窄帶脈沖和隨機(jī)噪聲干擾，會(huì)嚴(yán)重影響STFT的分析精度，因此在STFT變換之前需要采用合適的方法對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理。基于以上原因，提出了一種基于SG(Savitzky-Golay)濾波和組合窗STFT的滾動(dòng)軸承故障診斷方法。該方法將SG濾波器[4-5]作為STFT的前置濾波單元，對(duì)信號(hào)濾波消噪后再利用長(zhǎng)、短2個(gè)窗函數(shù)設(shè)計(jì)出一個(gè)新的組合窗[6]，利用組合窗提高STFT的時(shí)頻分辨率并應(yīng)用于軸承振動(dòng)信號(hào)分析。

1 基于SG濾波器的組合窗STFT

1.1 SG濾波器

SG濾波器是根據(jù)多項(xiàng)式最小平方擬合方法導(dǎo)出的濾波器，與傳統(tǒng)濾波器相比，其優(yōu)點(diǎn)是形式簡(jiǎn)單、計(jì)算量小、無(wú)需確定濾波器的截止頻率，能夠顯著地提高信噪比。其推導(dǎo)過(guò)程如下：

設(shè)一組數(shù)據(jù)為xi,i=-M，…，0，…，M，現(xiàn)構(gòu)造一個(gè)p階多項(xiàng)式y(tǒng)i來(lái)擬合x(chóng)i，

p≤2M。

(1)

總的擬合誤差為

(2)

為了使擬合誤差e最小，令e對(duì)ar的偏導(dǎo)數(shù)為零，即

r=0，1，…，p，

(3)

整理(3)式可得

(4)

實(shí)際應(yīng)用時(shí)(4)式取M=2，p=3即可滿(mǎn)足平滑濾波的要求，解出a0，a1，a2，a3代入(1)式，并令i=0，±1，±2,得到y(tǒng)-2，y-1，y0，y1，y2共5個(gè)點(diǎn)的表達(dá)式。由于yi最高階次為3，故此時(shí)的SG濾波器又可以稱(chēng)為五點(diǎn)三次平滑法。當(dāng)xi的點(diǎn)數(shù)較多時(shí)，xi的起始點(diǎn)分別用y-2和y-1表示，中間點(diǎn)均用y0表示，末尾2點(diǎn)分別用y1和y2表示。

;i=3,4,…,n-2。

(5)

需要注意的是，五點(diǎn)三次平滑法會(huì)使波形的峰值降低，造成擬合誤差增大，因此平滑次數(shù)不宜過(guò)多。

1.2 組合窗STFT

STFT是一種非線性信號(hào)分析方法，能夠同時(shí)提供時(shí)域和頻域的局部信息，在旋轉(zhuǎn)機(jī)械的振動(dòng)分析中發(fā)揮了很大作用。STFT的基本思想是把信號(hào)劃分成許多小的時(shí)間間隔，然后用一個(gè)窗函數(shù)g(t-τ)對(duì)信號(hào)x(t)的乘積運(yùn)算實(shí)現(xiàn)在τ附近的平移，再用Fourier變換分析每一個(gè)時(shí)間間隔，以確定時(shí)間間隔內(nèi)存在的頻率成分。

信號(hào)x(t)的STFT定義為

(6)

式中：g(t-τ)是中心為τ的窗函數(shù)，起時(shí)限作用；e-j2πft起頻限作用。分別令x(t)=δ(t-τ0)，x(t)=exp(jw0t)，得

STFTX(w,τ)=exp(-jwt0)g(t-t0)，

(7)

STFTX(w,τ)=exp[-j(w-w0)]g′(w-w0)。

(8)

(7)式和(8)式表明信號(hào)的STFT分析結(jié)果受窗函數(shù)的影響很大，高的時(shí)間分辨率需要較短的窗函數(shù)，而高的頻率分辨率需要較長(zhǎng)的窗函數(shù)。由Heisenberg不確定原理可知，高的時(shí)間分辨率和頻率分辨率無(wú)法同時(shí)滿(mǎn)足。在進(jìn)行STFT分析時(shí)，時(shí)頻窗不具有自適應(yīng)性，無(wú)法自動(dòng)改變其大小，窗函數(shù)一旦確定，則在整個(gè)分析過(guò)程中在時(shí)間-頻率平面上的所有局域分辨精度都是相同的，因此傳統(tǒng)STFT方法在分析軸承振動(dòng)信號(hào)時(shí)，很難準(zhǔn)確地提取出故障信息。

1.3 改進(jìn)STFT

針對(duì)傳統(tǒng)STFT方法的不足，采用長(zhǎng)、短窗函數(shù)相結(jié)合的方式對(duì)STFT進(jìn)行改進(jìn)，其原理如下：若信號(hào)能量分布在時(shí)間區(qū)間[-t,t]和頻率區(qū)間[-f,f]，則在區(qū)間[-t,t]×[-f,f]上進(jìn)行STFT變換，信號(hào)能量基本不會(huì)泄漏。因此首先用SG濾波器得到降噪信號(hào)，然后選擇一個(gè)長(zhǎng)窗函數(shù)和一個(gè)短窗函數(shù)分別對(duì)原始振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行STFT變換，再把兩者相乘就實(shí)現(xiàn)了改進(jìn)的STFT變換，具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程如圖1所示。

圖1 基于SG濾波器的組合窗STFT的實(shí)現(xiàn)過(guò)程

2 仿真分析

仿真信號(hào)x(t)的時(shí)域波形如圖2a所示，其由3個(gè)受到白噪聲干擾的正弦信號(hào)組成，正弦信號(hào)的頻率分別為100，200和300 Hz，幅值依次降低。圖2b是采用1/2數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的Hanning窗對(duì)x(t)直接進(jìn)行STFT變換求得的時(shí)頻圖譜，從圖中可以看出，由于受到了白噪聲的干擾，正弦信號(hào)的3個(gè)頻率成分很難被識(shí)別出來(lái)。圖2c是用SG濾波器對(duì)圖2b所示的時(shí)頻圖譜進(jìn)行降噪處理后的結(jié)果。從圖中可以看出，白噪聲的影響大大降低，3個(gè)頻率成分已經(jīng)被識(shí)別出來(lái)，然而譜線較為模糊，300 Hz的頻率成分幾乎看不到。圖2d是用圖1所示方法，先用SG濾波器對(duì)振動(dòng)信號(hào)降噪，然后用1/2數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的Hanning窗和1/8數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的Hanning窗得到組合窗對(duì)x(t)進(jìn)行STFT變換求得的時(shí)頻圖譜，從圖中可以清晰地看到100，200，300 Hz的頻率成分，與圖2c相比，大大提高了時(shí)頻分辨率。

圖2 仿真信號(hào)的時(shí)頻分析方法對(duì)比

仿真分析的結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的固定窗STFT變換相比，基于SG濾波器的組合窗STFT不僅可以抑制隨機(jī)噪聲的干擾，而且能夠獲得更高的時(shí)頻分辨率，提高了STFT變換的精度。

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

試驗(yàn)軸承型號(hào)為6203和6012，其中6203的內(nèi)徑為17 mm，外徑為40 mm，鋼球直徑為6.747 mm，鋼球個(gè)數(shù)為8；6012的內(nèi)徑為60 mm，外徑為110 mm，鋼球直徑為15.08 mm，鋼球個(gè)數(shù)為10。根據(jù)6203和6012的基本參數(shù)求得的理論故障頻率見(jiàn)表1。

表1 6203和6012的理論故障頻率 Hz

軸承振動(dòng)信號(hào)的采樣頻率為40 000 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為5 000。下面是測(cè)振儀上得到的2種典型振動(dòng)信號(hào)的分析結(jié)果。

圖3a是6203外圈損傷振動(dòng)速度信號(hào)，圖3b是采用長(zhǎng)度為1/4的Hanning窗進(jìn)行STFT變換求得的時(shí)頻譜，圖3c是用組合窗法得到的時(shí)頻分布圖(組合窗是一個(gè)1/4數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的Hanning窗和長(zhǎng)度為1/16的Hanning窗)。對(duì)比圖3b和圖3c可見(jiàn)，改進(jìn)的STFT譜線更加清晰，明顯提高了時(shí)頻分辨率，比傳統(tǒng)方法更為準(zhǔn)確。從圖3c可以清晰地看到2條譜線的時(shí)間間隔ΔT約為0.011 s，即軸承的故障頻率為1/ΔT=90.9 Hz，與6203的理論故障頻率對(duì)比可知該故障頻率與外圈故障頻率(92.08 Hz)較接近，因此可以判斷該軸承的故障部位在外圈上。

圖3 6203外圈損傷的時(shí)頻分析方法對(duì)比

圖4a是6012外圈有輕微損傷的振動(dòng)速度信號(hào)，圖4b是采用1/4數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的Hanning窗進(jìn)行STFT變換求得的時(shí)頻譜，圖4c是用基于SG濾波器的組合窗STFT求得的時(shí)頻分布圖，其中組合窗是一個(gè)1/4數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的Hanning窗和一個(gè)1/16數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的Hanning窗。對(duì)比圖4b和圖4c可知，傳統(tǒng)的固定窗函數(shù)STFT診斷效果較差，而組合窗STFT明顯提高了時(shí)頻分辨率，更易發(fā)現(xiàn)軸承故障。從圖4c可以清晰地看到2條譜線的時(shí)間間隔ΔT約為0.008 s，即軸承的故障頻率為1/ΔT=125 Hz，和6012的理論故障頻率對(duì)比可知該故障頻率與外圈故障頻率(123.39 Hz)較接近，因此可以判斷該軸承的故障部位發(fā)生在外圈上。

圖4 6012外圈損傷的時(shí)頻分析方法對(duì)比

4 結(jié)束語(yǔ)

提出了一種基于SG濾波的組合窗STFT的滾動(dòng)軸承故障診斷方法，將SG濾波器用于振動(dòng)信號(hào)去噪，采用長(zhǎng)、短窗函數(shù)獲得2組STFT時(shí)頻表示并以乘積結(jié)果作為最終時(shí)頻表示的組合窗。數(shù)值仿真和軸承故障診斷實(shí)例的結(jié)果表明，該方法能更加有效地增大信噪比，與傳統(tǒng)的固定窗函數(shù)相比，組合窗STFT變換的時(shí)頻聚集性得到了很大提高，突出了故障振動(dòng)信號(hào)的故障特征，提高了故障診斷的準(zhǔn)確性。