王冬姣

（華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院，廣州 510640）

1 引 言

直立圓柱體被廣泛地應(yīng)用于海洋結(jié)構(gòu)物上，如現(xiàn)代Spar生產(chǎn)平臺的主體一般為單圓柱體構(gòu)造，垂直懸浮于水中，因此研究波浪與直立圓柱體作用問題是最基本的。Morison等[1]提出了計算小尺度直立圓柱體波浪力的半經(jīng)驗公式，即著名的Morison公式。對于相對尺度較大的直立柱體，需要考慮流場的繞射，MacCamy和Fuchs[2]對有限水深中由海底伸向水面的大直徑圓柱體得到了波浪繞射的解析解。對于大型浮式直立圓柱體來說，需要同時考慮其繞射及輻射問題。Garrison[3]用三維邊界元法建立了有限水深條件下波浪與任意形狀結(jié)構(gòu)物相互作用的計算模型，將水深半徑比等于10近似作為球體和淺吃水直立圓柱體的深水情況，得到了有限水深及無限水深情況下水面浮式直立圓柱體的水動力系數(shù)及其運動響應(yīng)。Sabunca和 Calisal[4]，Yeung[5]及Bhatta和 Rahman[6]采用特征函數(shù)展開法，通過分區(qū)離散及邊界匹配的方法討論了有限水深下穿透水面的直立圓柱體的輻射問題。文獻(xiàn)[4]將水深半徑比等于20定義為深水情況。本文討論采用特征函數(shù)展開法計算浮式直立圓柱體水動力系數(shù)時可作為深水情況處理的水深半徑比。

圖1 坐標(biāo)系及流域劃分Fig.1 Coordinate system and flow field discretization

2 基本方程

假設(shè)水是不可壓縮的無粘無旋流體，圓柱體的運動幅值足夠小，則可用線性勢流理論求解。設(shè)浮式直立圓柱體的半徑為a，吃水為T，水深為d，坐標(biāo)系統(tǒng)及流域劃分如圖1所示。圓柱體在流場中作縱蕩，垂蕩和縱搖運動產(chǎn)生的輻射速度勢可表示成

無窮遠(yuǎn)處輻射條件

根據(jù)Bernoulli方程，可得流場中壓強p

作用在圓柱體q（ q= 1 ，3，5）模態(tài)上的輻射載荷Fq，可表示成：

式中，Sb為物體濕表面積；n1，n3分別為物面單位外法線矢量在x，z方向的投影，n5=（z-zg）n1-xn3；zg為圓柱體重心的垂向坐標(biāo)。由 l（l=1，3，5）模態(tài)運動引起的在第 q（q=1，3，5）模態(tài)方向上的水動力系數(shù)，即附加質(zhì)量Aql和阻尼系數(shù)Bql為

其無因次系數(shù)可表示為：

3 流場速度勢的求解

把流場分解為內(nèi)、外兩個子區(qū)域，分別記為I、II。在外域I上將速度勢寫成

式中，m=0時，εm=1；m≥1時，εm=2；Hm（kr）為第一類m階Hankel函數(shù)；Km（μnr）為第二類m階修正Bessel函數(shù)；Hm′（ka）和Km′（μna）為相應(yīng)函數(shù)對自變量的求導(dǎo)函數(shù)。

在內(nèi)域II上的速度勢可寫成

式中，Im（λnr）為第一類m階修正Bessel函數(shù)。不同模態(tài)運動引起的特解（r,θ,z）可用下式表示：

利用內(nèi)、外子區(qū)域交界處壓力連續(xù)條件，速度連續(xù)條件及物面條件，可得如下線性方程組（外域取N1+1項近似，內(nèi)域取N2+1項近似）：

4 截斷項數(shù)的討論

由（15）式可知，（N1-0.5） π≤μN1d≤N1π，假如外域上在 μN1a=Mπ 處截斷，則所需的 N1為

由（18）式可知，若內(nèi)域上在λN2a=Mπ處截斷，則所需的N2為

由此可知，外域所需的截斷項數(shù)N1為d/a的函數(shù)，d/a值越大，所需的截斷項數(shù)N1越多。內(nèi)域所需的截斷項數(shù)N2為（d/a-T/a）的函數(shù)，（d/a-T/a）值大，所需的截斷項數(shù)N2也越多。

5 算例及結(jié)果分析

圖2 附加質(zhì)量系數(shù)a11，a33隨ka變化的曲線Fig.2 Coefficients of added mass a11and a33as functions of ka

圖3 縱搖附加質(zhì)量及阻尼系數(shù)Fig.3 Added mass and damping coefficients in pitch

采用文獻(xiàn)[7]中Spar平臺的數(shù)據(jù)：圓柱體半徑a=20.26m，吃水T=198.14m，水深d=914.4m，重心離基線距離為 92.4m。取 M=1,2,4 和 8，對應(yīng)的 N1=45，90，180 和 360，N2=36，72，144 和 288。 從圖 2 和 3可知，截斷項數(shù)對附加質(zhì)量，特別是a33的影響較大，而對阻尼系數(shù)的影響較小。為了保證水動力系數(shù)的計算精度，要求取M≥4。

圖4 不同d/T下的附加質(zhì)量及阻尼系數(shù)Fig.4 Added mass and damping coefficients for different d/T

圖5 a33，b33隨 d/T變化的曲線Fig.5 Added mass and damping coefficients in heave as functions of d/T

6 結(jié) 論

采用特征函數(shù)展開及邊界匹配法求解各子區(qū)域速度勢中的展開系數(shù)，從而得到浮式直立圓柱體在靜水面作搖蕩運動產(chǎn)生的水動力系數(shù)。內(nèi)、外域速度勢表達(dá)式中的無窮級數(shù)項分別取N1+1和N2+1項近似。N1的選取與d/a有關(guān)，而N2與（d/a-T/a）有關(guān)，為了保證計算精度，應(yīng)取N1≥4d/a，N2≥4（d/a-T/a）。 與深水情況相應(yīng)的計算條件可?。篸/a≥max{ 5T/a,T/a+π/ka}。

[1]Morison J R,O’Brien M P,Johnson J W,Schaaf S A.The force exerted by surface wave on piles[J].Petroleum Transactions,AIME,1950,189:149-154.

[2]MacCamy R C,Fuchs R A.Wave forces on pi1es:A diffraction theory[R].Tech Mem.,69,US Army Coastal Engineering Research Center,1954.

[3]Garrison C J.Hydrodynamics of large objects in the sea,Part II.Motion of free-floating bodies[J].Journal of Hydronautics,1975,9(2):58-63.

[4]Sabunca T,Calisal S.Hydrodynamic coefficients for vertical circular cylinders at finite depth[J].Ocean Engng.,1981,8:25-63.

[5]Yeung R W.Added mass and damping of a vertical cylinder in finite-depth waters[J].Applied Ocean Research,1981,3(3):119-133.

[6]Bhatta D D,Rahman M.On scattering and radiation problem for a cylinder in water of finite depth[J].International Journal of Engineering Science,2003,41:931-967.

[7]Agarwal A K,Jain A K.Dynamic behavior of offshore spar platforms under regular sea waves[J].Ocean Engineering,2003,30:487-516.