齊子森 郭 英 王布宏 姚戰(zhàn)宏

(1.空軍工程大學(xué)電訊工程學(xué)院，陜西 西安 710077； 2.空軍工程大學(xué)電子信息系統(tǒng)綜合集成重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710051)

1.引 言

“靈巧蒙皮”的共形陣列天線[1]在未來艦載、彈載雷達(dá)以及航天飛行器的天線設(shè)計(jì)中具有廣泛的應(yīng)用前景，已成為未來天線的發(fā)展方向。對共形陣列天線高速、高精度信源方位估計(jì)技術(shù)的研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。利用共形陣列天線實(shí)現(xiàn)信源方位估計(jì)必須考慮陣列流形多極化特性(polarization diversity)[2-4]的影響，即共形天線的流形建模必須考慮單元方向圖的影響，共形陣列天線的方位估計(jì)需要與信源極化狀態(tài)聯(lián)合進(jìn)行[5-7]。因此許多適用于經(jīng)典陣列(線陣、面陣)的波達(dá)方向(DOA)估計(jì)方法在共形陣列天線中無法簡單移植應(yīng)用?；诙嗑S搜索的算法因極化參數(shù)的引入，使得計(jì)算量急劇增加，工程實(shí)現(xiàn)不可接受。

對共形陣列天線DOA估計(jì)方法的研究已取得一定成果[5-13]，但多數(shù)已有文獻(xiàn)[8]-[13]都壓縮了待估參數(shù)空間，假設(shè)了不現(xiàn)實(shí)的前提條件，簡化了共形陣列天線的流形模型。完全考慮共形天線多極化的流形特點(diǎn)進(jìn)行方位估計(jì)的研究報道并不多見[5-7]。文獻(xiàn)[2]-[4]完整構(gòu)建了共形天線陣列流形的數(shù)學(xué)模型，給出了共形天線陣列流形建模的統(tǒng)一方法，為全面考慮共形陣列天線特點(diǎn)的信號處理研究奠定了基礎(chǔ)。文獻(xiàn)[5]在假設(shè)信源極化狀態(tài)已知條件下，詳細(xì)分析了多重信號分類法(MUSIC)[14]算法在不同陣列形式(錐面、柱面以及球面)中的DOA估計(jì)性能。文獻(xiàn)[6]-[7]針對錐面共形載體，通過合理的陣元設(shè)置，結(jié)合旋轉(zhuǎn)不變子空間算法(ESPRIT，estimation of signal parameters via rotational invariance techniques)[15]參數(shù)估計(jì)的特殊要求，提出了錐面共形陣列天線盲極化DOA估計(jì)算法。該算法通過將信源極化參數(shù)與方位參數(shù)去耦合，實(shí)現(xiàn)了錐面共形陣列天線的高分辨DOA估計(jì)。但是該算法利用了錐面共形載體的單曲率特性以及錐面母線間的不同夾角，其僅適用于錐面共形陣列，不能解決其他共形載體的信源方位估計(jì)問題。柱面共形載體是構(gòu)成大多數(shù)飛行器的基本結(jié)構(gòu)，具有廣泛的應(yīng)用環(huán)境，是最為常見的共形載體之一。柱面共形載體亦具有單曲率特性，但其母線夾角為零的特點(diǎn)使得上述盲極化DOA估計(jì)算法不再適用?？梢?，對共形陣列天線高分辨DOA估計(jì)技術(shù)的研究很不充分，探討其他共形結(jié)構(gòu)陣列的高分辨DOA估計(jì)方法是迫切而有必要的。

基于此，本文針對柱面共形陣列天線的單曲率特點(diǎn)，在給出柱面共形陣列天線窄帶數(shù)據(jù)模型的基礎(chǔ)上，通過合理的陣元排列結(jié)構(gòu)，結(jié)合DOA估計(jì)的子空間原理[14]與秩損理論[16-17]，實(shí)現(xiàn)了信源方位角、俯仰角以及極化狀態(tài)的去耦合，提出了獨(dú)立信源條件下的柱面共形陣列天線盲極化DOA估計(jì)方法。該方法無需參數(shù)配對，通過參數(shù)的一維搜索，可實(shí)現(xiàn)信源方位估計(jì)，計(jì)算量小，陣元利用率高。針對相干信源情況，推導(dǎo)了柱面共形陣列天線的解相干算法，在此基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)了柱面共形陣列天線相干信源的盲極化DOA估計(jì)。最后，通過計(jì)算機(jī)Monte-Carlo仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提算法的有效性。

2.柱面共形陣列天線窄帶數(shù)據(jù)模型

我們前期工作[6-7]已詳細(xì)論述了利用陣列分割克服共形載體遮蔽效應(yīng)的原理。借鑒其陣列分割思想，將柱面共形陣列天線(全局坐標(biāo)系為X′Y′Z′，坐標(biāo)原點(diǎn)為o′，子陣坐標(biāo)系為XYZ，坐標(biāo)原點(diǎn)為o，如圖1(a)所示)劃分為多個結(jié)構(gòu)相同的子陣，每個子陣列負(fù)責(zé)估計(jì)的方位角范圍為α(如圖1(b)所示，α=2arccos([abs(ΔP1)/2/d])，d表示半徑，arccos(·)表示求(·)的反余弦，abs(·)為求(·)的模)，在信源方位未知情況下，各子陣僅負(fù)責(zé)所屬方位角范圍內(nèi)的信源方位估計(jì)，最終通過綜合各子陣估計(jì)結(jié)果得到所有信源的方位估計(jì)[6-7]。由于柱面結(jié)構(gòu)上的對稱性，各子陣結(jié)構(gòu)相同，因而，每一子陣DOA估計(jì)算法也相同，所以，僅對其中一個子陣進(jìn)行算法詳述和仿真。圖1中，同一圓柱橫截面上的兩陣元間隔為λ/4，相鄰橫截面之間的間隔為λ/4(對于獨(dú)立信源間隔可以不相等，此處設(shè)置為相同間隔來完成柱面共形陣列天線對相干信源的解相干預(yù)處理)，橫截面半徑為d(單位為λ)，λ為信號波長。

對于圖1所示的柱面共形陣列天線子陣，建立如圖1(a)所示的坐標(biāo)系XYZ，則其窄帶快拍數(shù)據(jù)模型可表示為式(1)～(16)。

(a) 柱面共形載體上的陣元結(jié)構(gòu)

(b) 柱面共形陣列俯視圖

(c) 信源方向矢量u圖1 柱面共形陣列天線

(1)

u= sinθcosφX+sinθsinφY+cosθZ

(2)

=|gi||pl|cosθigk

=gi·pl

=gi θkθ+gi φkφ

(3)

gi=gi θ(θ,φ)uθ+gi φ(θ,φ)uφ

(4)

pl=kθuθ+kφuφ

(5)

uθ= cosθcosφX+cosθsinφY-sinθZ

(6)

uφ=-sinφX+cosφY

(7)

(·)1·(·)2表示兩矢量(·)1與(·)2的點(diǎn)乘運(yùn)算；ri表示共形陣列天線中第i個陣元在全局坐標(biāo)系中對單位強(qiáng)度入射信號的響應(yīng)[6]；gi表示第i個陣元的單元方向圖；giθ，giφ為第i個陣元單元方向圖在基矢量上的分量；kθ,kφ表示入射信號極化狀態(tài)，即入射信號電場矢量pl在基矢量上的分量；θigk為gi與pl的夾角；pi為第i個陣元位置與坐標(biāo)原點(diǎn)構(gòu)成的矢量；2m為陣元個數(shù)；(·)T表示取(·)的轉(zhuǎn)置。

當(dāng)信源個數(shù)為n時，窄帶數(shù)據(jù)模型為

X=AS+N=(AθKθ+AφKφ)S+N

(8)

S=[s1,s2,…，sn]T

(9)

N=[n1,n2,…,nn]T

(10)

Aθ=[aθ(θ1,φ1),aθ(θ2,φ2),…,aθ(θn,φn)]

(11)

Aφ=[aφ(θ1,φ1),aφ(θ2,φ2),…,aφ(θn,φn)]

(12)

Kθ=diag(k1θ，k2θ，…,knθ)

(13)

Kφ=diag(k1φ，k2φ，…,knφ)

(14)

式中：A為流形矩陣；S為信號矢量；N為噪聲矢量；n為信源個數(shù)；K=diag(k1,k2,…,kn)表示矩陣K為以k1,k2,…，kn為主對角線元素構(gòu)成的對角陣；θi,φi表示第i個入射信號在全局坐標(biāo)系中的俯仰角與方位角；kiθ,kiθ分別為第i個入射信號極化矢量在uθ,uφ上的分量。當(dāng)空間存在相干信源時，所謂相干是指信源之間差一個復(fù)常數(shù)，即

si=βis0

(15)

若n個信源均為相干信源，則信號矢量S為

S=[β1,β2,…,βn]Ts0

(16)

綜上可發(fā)現(xiàn)，共形陣列天線的快拍數(shù)據(jù)建模必需考慮天線單元方向圖的影響，所以共形天線快拍數(shù)據(jù)建模時必需完成單元方向圖在局部坐標(biāo)系到全局坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換[2-4]，因此共形天線的陣列流形具有了多極化特性。

3.獨(dú)立信源盲極化DOA估計(jì)算法

共形陣列天線信源方位估計(jì)是多參數(shù)估計(jì)問題，由于導(dǎo)向矢量的精確建模需要已知信源極化狀態(tài)的表征參數(shù)，從而增加了參數(shù)維數(shù)，使基于多維搜索DOA估計(jì)算法的計(jì)算量驟然增加。充分利用矩陣的特征向量與特征值進(jìn)行多參數(shù)去耦并聯(lián)合估計(jì)[16-18]可有效的減小計(jì)算量?；诖怂枷?，本文利用柱面共形載體的單曲率特點(diǎn)，結(jié)合特殊的陣元排列結(jié)構(gòu)，將信源俯仰角、方位角以及極化狀態(tài)參數(shù)去耦合，通過一維搜索實(shí)現(xiàn)了盲極化柱面共形陣列天線的DOA估計(jì)，減小了計(jì)算量，保證了陣元的利用率(可估計(jì)最大信源數(shù)僅比陣元數(shù)小2，即nmax=2m-2)。

(17)

由共形載體的單曲率特性可知，處于同一母線上的天線單元具有相同的指向，此時有

r1=r2=…=rm

(18)

rm+1=rm+2=…=r2m

(19)

將式(18)、(19)代入式(1)，可得

=QB

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

式中：0m×1為m×1階的零矩陣； ΔP如圖1(b)所示。由子空間原理[13]可知，導(dǎo)向矢量屬于信號子空間，與噪聲子空間正交，由于噪聲影響，式(25)近似為零，即

=0

(25)

(26)

因?yàn)锽各元素不為零，所以如果式(25)成立，則有矩陣Z奇異或出現(xiàn)秩損現(xiàn)象，只有在真實(shí)信源方位時，矩陣Z奇異[16-17]。且由于Pi,i=1,2,…,m僅在坐標(biāo)軸Z上有分量，所以式(23)由信源俯仰角確定?；诖嗽恚旁锤┭鼋强赏ㄟ^最大化式(27)獲得。

(27)

(28)

此時有

(29)

(30)

angle(·)表示求復(fù)數(shù)(·)的相角。所以有

(31)

因?yàn)?/p>

ΔP=sinθΔPcosφΔPX

(32)

又因?yàn)閨ΔP|=λ/4，且θΔP=π/2,φΔP=π，結(jié)合式(2)、式(31)以及式(32)，則有

(33)

所以，柱面共形陣列天線獨(dú)立信源盲極化DOA估計(jì)算法步驟如下：

3) 對式(21)～(24)構(gòu)造矩陣Q,B；

4) 將式(27)所示譜估計(jì)器的n個最高峰值對應(yīng)的空間方位作為信源俯仰角估計(jì)值；

5) 結(jié)合式(29)與式(33)以及4)中獲得的俯仰角估計(jì)值，求得信源方位角的估計(jì)值，從而實(shí)現(xiàn)信源方位估計(jì)。

4.相干信源盲極化DOA估計(jì)算法

相干信源使得信源協(xié)方差矩陣的秩小于信源個數(shù)，相應(yīng)的通過特征值分解獲得的信號子空間的維數(shù)亦小于信源個數(shù)，這就使得陣列流形矩陣張成的信號子空間與特征值分解獲得的信號子空間不一致，從而導(dǎo)致基于特征值分解的高分辨DOA估計(jì)算法在空間存在相干信源時無法準(zhǔn)確估計(jì)信源方位?？臻g平滑算法[19-20]是一種常用的解相干預(yù)處理算法，它利用均勻線陣的平移不變性，將均勻線陣劃分為相互重疊的L個子陣，對應(yīng)的每個子陣陣元個數(shù)為q，分別計(jì)算各子陣的自協(xié)方差矩陣，然后進(jìn)行算術(shù)平均，從而得到一個等效的q階子陣列的協(xié)方差矩陣。在均勻線陣中，當(dāng)子陣陣元個數(shù)q大于信源個數(shù)時，經(jīng)過空間平滑所得的q階陣列協(xié)方差矩陣對應(yīng)的信源協(xié)方差矩陣的秩恢復(fù)為信源數(shù)[18]。然而空間平滑算法對陣列的特殊要求限制了它的應(yīng)用范圍。在共形陣列天線中，陣列的均勻線陣結(jié)構(gòu)一般不被滿足，且由于共形載體曲率影響，天線單元方向圖指向不一致，此時不可簡單假設(shè)天線單元為全向單元。因此，在共形陣列天線中應(yīng)用空間平滑算法面臨巨大的困難。本文所述算法基于協(xié)方差矩陣特征值分解的子空間劃分，為了適用于空間存在相干信源的情況，需要解相干預(yù)處理。

在圖1所示陣列中，選取陣元1～q/2與陣元m+1～m+q/2構(gòu)成子陣列h10，q為偶數(shù)；選取陣元2～q/2+1與陣元m+2～m+q/2+1構(gòu)成子陣列h11；同理可得子陣h12,h13,…,h1L-1.子陣h1L-1由陣元L～q/2+L-1與陣元m+L～m+q/2+L-1構(gòu)成，且q/2+L-1≤m,m+q/2+L-1≤2m，即保證陣元1～q/2+L-1與陣元m+1～m+q/2+L-1分別在兩條母線上。由此可發(fā)現(xiàn)，陣列h10,h11,…,h1L-1雖不是均勻線陣，但具有相同的空間結(jié)構(gòu)，子陣間距離矢量滿足空間平滑算法的要求，且與單元方向圖無關(guān)，此時可將空間平滑思想引入。各子陣接收相干信源數(shù)據(jù)為

Xh1i=Ah1iS+Nh1i

(34)

Ah1i= [ah1i(θ1,φ1),ah1i(θ2,φ2),…，

ah1i(θn,φn)]

(35)

(36)

式中，S如式(16)所示。由圖1(a)結(jié)合各子陣陣元位置，可得

(37)

Ah1i=Ah10Di-1

(38)

(39)

各子陣的協(xié)方差矩陣為

(40)

式中，Ah1i表示陣列h1i所對應(yīng)的流形矩陣。將L個子陣所得協(xié)方差矩陣做算數(shù)平均，有

(41)

將式(40)帶入式(41)，得

(42)

所以有

(43)

(44)

在完成解相干預(yù)處理的基礎(chǔ)上，結(jié)合柱面共形陣列天線獨(dú)立信源盲極化DOA估計(jì)算法，可實(shí)現(xiàn)柱面共形陣列天線相干信源盲極化DOA估計(jì)。算法步驟如下：

3) 將陣元個數(shù)2m換為2q(且2q>n)，即在陣列h10上應(yīng)用獨(dú)立信源條件下的盲極化DOA估計(jì)算法，實(shí)現(xiàn)信源方位估計(jì)，最終完成柱面共形陣列天線相干信源的盲極化信源方位估計(jì)。

5.仿真實(shí)驗(yàn)

上述各節(jié)推導(dǎo)了算法機(jī)理，并給出了算法步驟，本節(jié)在此基礎(chǔ)上進(jìn)行Monte-Carlo仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證算法的有效性。其中，對成功實(shí)驗(yàn)的定義為：估計(jì)偏差小于2°的試驗(yàn)為成功實(shí)驗(yàn)。成功概率的定義為：成功試驗(yàn)次數(shù)與試驗(yàn)次數(shù)的比值。估計(jì)偏差定義為：在成功實(shí)驗(yàn)中，估計(jì)均值與真值之差的絕對值。估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差定義為：在成功實(shí)驗(yàn)中，估計(jì)值與估計(jì)均值之差的均方值開方。在此前提條件下，進(jìn)行200次獨(dú)立仿真實(shí)驗(yàn)。

仿真實(shí)驗(yàn)一

陣列結(jié)構(gòu)如圖1；快拍數(shù)N=100；信噪比SNR∈[5,30]；信源個數(shù)n=2，且相互獨(dú)立；陣列陣元個數(shù)為32，即m=16，柱面橫截面半徑d=5λ；在全局坐標(biāo)系中θ1=85°,φ1=70°;θ2=90°,φ2=75°;k1θ=0.3,k1φ=0.7;k2θ=0.8,k2φ=0.2.單元方向圖為

(45)

(46)

(47)

(48)

(a) 成功概率與信噪比的關(guān)系

(b) 估計(jì)偏差與信噪比的關(guān)系

(c) 估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差與信噪比的關(guān)系圖2 100次快拍的獨(dú)立信源盲極化DOA估計(jì)

仿真實(shí)驗(yàn)二

陣列陣元個數(shù)為34，即m=17；快拍數(shù)N=200；q=18；L=9；信源為相干信源，信源個數(shù)n=2，其他條件與仿真實(shí)驗(yàn)一相同。仿真結(jié)果如圖3所示。由仿真結(jié)果可知，對相干信源方位的估計(jì)成功概率、估計(jì)偏差以及估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差都隨著信噪比與陣元個數(shù)的增加而逐漸變好，達(dá)到了令人滿意的效果。充分驗(yàn)證了算法對相干信源估計(jì)的有效性(如圖3所示)。

(a) 成功概率與信噪比的關(guān)系

(b) 估計(jì)偏差與信噪比的關(guān)系

(c) 估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差與信噪比的關(guān)系圖3 200次快拍的相干信源盲極化DOA估計(jì)

6.結(jié) 論

針對共形陣列天線中DOA估計(jì)需與信源極化狀態(tài)聯(lián)合進(jìn)行的難題，論文利用柱面共形陣列天線的單曲率特點(diǎn)結(jié)合子空間原理，提出了柱面共形陣列天線盲極化DOA估計(jì)算法。詳細(xì)推導(dǎo)了算法機(jī)理，給出了算法步驟。在此基礎(chǔ)上針對相干信源方位估計(jì)問題，通過合理的陣元選取，討論了柱面共形陣列天線的解相干預(yù)處理算法，從而實(shí)現(xiàn)了信源極化狀態(tài)未知條件下相干信源的高分辨方位估計(jì)。計(jì)算機(jī)Monte-Carlo仿真實(shí)驗(yàn)表明，所提算法可以很好地解決柱面共形陣列天線盲極化條件下獨(dú)立和相干信源的方位估計(jì)問題，從而驗(yàn)證了所提算法的有效性。

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