朱福，劉德利

(吉林建筑工程學(xué)院，吉林長春 130021)

盾構(gòu)施工襯砌環(huán)片中心水平偏差解算

朱福?，劉德利

(吉林建筑工程學(xué)院，吉林長春 130021)

盾構(gòu)法施工中襯砌環(huán)片測量的難點(diǎn)是確定緩和曲線段上環(huán)片實(shí)測點(diǎn)所在斷面的中心坐標(biāo)，確定中心坐標(biāo)后就可以計(jì)算出該點(diǎn)樁號(hào)及偏距以指導(dǎo)盾構(gòu)姿態(tài)的校正；借助于復(fù)化辛普生公式和割線法，給出了該問題解算的數(shù)學(xué)模型，并詳細(xì)討論了積分區(qū)間等分?jǐn)?shù)n的取值問題。

盾構(gòu)施工；水平偏差；襯砌環(huán)片；盾構(gòu)姿態(tài)

1 引 言

在隧道曲線段利用盾構(gòu)機(jī)進(jìn)行掘進(jìn)施工工程中，由于盾構(gòu)機(jī)本身為直線形剛體，不能與曲線完全擬合。曲線半徑越小、盾構(gòu)機(jī)身越長，則擬合難度越大。在急曲線段盾構(gòu)機(jī)掘進(jìn)形成的線形為一段段連續(xù)的折線，為了使折線與急曲線接近吻合，掘進(jìn)施工時(shí)需連續(xù)糾偏。特別在緩和曲線段，每環(huán)甚至每米施工參數(shù)都有所不同，盾構(gòu)機(jī)姿態(tài)控制難度更大。曲線隧道每掘進(jìn)一環(huán)，管片端面與該處軸線的法線方向在平面上將產(chǎn)生一定的角度，在千斤頂?shù)耐屏ο庐a(chǎn)生一個(gè)側(cè)向分力。管片出盾尾后，受到側(cè)向分力的影響，隧道易向圓弧外側(cè)偏移從而可能導(dǎo)致管片超限。為確保盾構(gòu)機(jī)以正確姿態(tài)掘進(jìn)，需要及時(shí)對襯砌環(huán)片(管片)測量。對于曲線隧道尤其是緩和曲線段來說，難點(diǎn)是襯砌環(huán)片中心水平偏差測量。本文重點(diǎn)論述了線路中線上任意點(diǎn)在局部坐標(biāo)系下坐標(biāo)計(jì)算的通用公式，然后借助于復(fù)化辛普生公式及割線法給出了通過襯砌環(huán)片上的實(shí)測坐標(biāo)計(jì)算出該點(diǎn)所在斷面的設(shè)計(jì)樁號(hào)、偏距的數(shù)學(xué)模型，并對積分區(qū)間等分?jǐn)?shù)n取值問題進(jìn)行了詳細(xì)討論說明。

2 數(shù)學(xué)模型的建立

2.1 線路中線上任意點(diǎn)局部坐標(biāo)系下坐標(biāo)的推導(dǎo)

圖1 獨(dú)立坐標(biāo)和局部坐標(biāo)

如圖1，任取一段回旋線，設(shè)回旋線起點(diǎn)A的半徑RA，對應(yīng)的弧長lA，其里程為KA，回旋線終點(diǎn)B的半徑RB，對應(yīng)的弧長lB，其里程為KB，Axy是以A為坐標(biāo)原點(diǎn)以A點(diǎn)切線為x軸的獨(dú)立坐標(biāo)系，AXY為局部坐標(biāo)系。在弧AB上取一點(diǎn)P[xP(l)，yP(l)]，該點(diǎn)到原點(diǎn)A的弧長為l，b為P點(diǎn)的偏角，RP為P點(diǎn)的半徑，對應(yīng)的弧長lP，其里程為KP，由回旋線方程Rl＝C知:

在該曲線上取一微分弧dl，當(dāng)dl→0時(shí)，該微分弧可看作圓弧，曲率半徑看作不變，則對應(yīng)的偏角為:

兩邊同時(shí)積分可得:

將式(3)代入式(4)得:

點(diǎn)P處的切線方位角αP＝αA±β[左偏減β，右偏加β，aA為起點(diǎn)A的方位角(單位為弧度)]，將式(5)代入得:

如圖1有:

對該式兩邊同時(shí)積分得:

設(shè)回旋曲線起點(diǎn)A在局部坐標(biāo)系下坐標(biāo)為(xA，yA)，將式(6)代替式(7)中b，得中線上任意點(diǎn)局部坐標(biāo)系下坐標(biāo)計(jì)算的積分式:

2.2 樁號(hào)和偏距的求解

(1)左偏曲線

如圖2，設(shè)襯砌環(huán)片上實(shí)測點(diǎn)C(xC，yC)，D(xD，yD)所對應(yīng)中線上的中樁點(diǎn)為P[xP(l)，yP(l)]。

圖2 局部坐標(biāo)系下左偏曲線

象限角表達(dá)式:

則PC，PD方位角為:

①當(dāng)xC－xP＞0且yC－yP＞0時(shí):αPC＝RPC

②當(dāng)xC－xP＜0且yC－yP＞0時(shí):αPC＝π＋RPC

③當(dāng)xC－xP＜0且yC－yP＜0時(shí):αPC＝π＋RPC

④當(dāng)xC－xP＞0且yC－yP＜0時(shí):αPC＝2π＋RPC

同理:可確定出PD方位角αPD

①如圖2，實(shí)測點(diǎn)在曲線左側(cè)時(shí)，點(diǎn)D(xD，yD)有l(wèi)的單根方程和偏距s及P點(diǎn)里程KP的表達(dá)式:

②如圖2，實(shí)測點(diǎn)在曲線右側(cè)時(shí)，點(diǎn)C(xC，yC)有l(wèi)的單根方程和偏距s及P點(diǎn)里程KP的表達(dá)式:

(2)右偏曲線

如圖3，設(shè)襯砌環(huán)片上實(shí)測點(diǎn)C(xC，yC)，D(xD，yD)所對應(yīng)中線上的中樁點(diǎn)為P[xP(l)，yP(l)]，PC，PD方位角解法同上。

圖3 局部坐標(biāo)系下右偏曲線

①如圖3，實(shí)測點(diǎn)在曲線左側(cè)時(shí)，點(diǎn)D(xD，yD)有l(wèi)的單根方程和偏距s及P點(diǎn)里程KP的表達(dá)式:

②如圖3，實(shí)測點(diǎn)在曲線右側(cè)時(shí)，點(diǎn)C(xC，yC)有l(wèi)的單根方程和偏距s及P點(diǎn)里程KP的表達(dá)式:

3 數(shù)值求解

3.1 局部坐標(biāo)系下線路中線上任意點(diǎn)坐標(biāo)的復(fù)化辛普生積分公式表示

其中:αA為回旋曲線起點(diǎn)A的切線方位角；為回旋曲線上點(diǎn)的切線方位角；αk＋1為回旋曲線上lk＋1點(diǎn)的切線方位角；αP為回旋曲線上P點(diǎn)的切線方位角。

3.2 實(shí)際計(jì)算中n的取值問題

要保證式(9)計(jì)算精度必須使相應(yīng)截?cái)嗾`差小于一定值(取值為ε)，其實(shí)質(zhì)是利用復(fù)化辛普生公式計(jì)算時(shí)，等分區(qū)間個(gè)數(shù)的要求，即n取最小值的問題。根據(jù)參考文獻(xiàn)[3]中給出的公式:

分析可知n的取值不但與要求計(jì)算的精度有關(guān)而且與緩和曲線兩參數(shù)R和lS有關(guān)。ε值越小，則要求n值越大；R越大，則要求n值越??；lS越大，則要求n值越大。根據(jù)上述分析，設(shè)ε＝0.001 m對R，lS取不同值計(jì)算n值結(jié)果如表1所示。

表1

令N＝2n并取整數(shù)，表示積分區(qū)間N等分，再由復(fù)化辛普生公式知，N應(yīng)為偶數(shù)。由表1知對于R＞lS時(shí)，n＝3即能滿足±1 mm的計(jì)算精度要求；對于R≤lS時(shí)，則要求n＝6。因此應(yīng)用式(9)進(jìn)行編程計(jì)算時(shí)，n至少取6。

3.3 割線法求解方程F(l)＝0的根[2]

圖4 割線法

如圖4，若已知F(l)＝0的根l?的兩個(gè)近似值lk－1，lk，過點(diǎn)[lk－1，F(xiàn)(lk－1)]和點(diǎn)[lk，F(xiàn)(lk)]作一條直線，這直線與l軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)記為lk＋1，則有割線法求方程單根的表達(dá)式:

割線法的計(jì)算公式，在求lk＋1時(shí)用到前面兩步的結(jié)果lk，lk－1，故屬于有記憶的單點(diǎn)迭代，因此應(yīng)用割線法進(jìn)行方程求根，必須給出兩個(gè)迭代初值l0，l1過點(diǎn)，本文中l(wèi)0＝0，l1＝lS，則在區(qū)間[0，lS]中包含F(xiàn)(l)＝0的根l，設(shè)事先給定的允許誤差為ε，經(jīng)過k次迭代后，若lk＋1－lk≤ε。則lk＋1就是F(l)＝0的根，且誤差小于ε。

4 結(jié) 語

(1)式(9)也適用于直線段和圓曲線段。當(dāng)曲線半徑較小時(shí)，為確保計(jì)算精度，再利用計(jì)算機(jī)編程解算時(shí)n值可適當(dāng)大些。

(2)文中介紹了用復(fù)化辛普生積分公式及割線法在實(shí)際工程計(jì)算中的應(yīng)用。

(3)襯砌環(huán)片不少于3環(huán)～5環(huán)測量一次(每環(huán)為1.5 m)，測量時(shí)每環(huán)都測，這樣一次需計(jì)算的數(shù)據(jù)量較大，文中所提供的數(shù)學(xué)模型，可編寫出一次性計(jì)算大量水平偏距和中樁樁號(hào)的程序，從而有效提高內(nèi)業(yè)數(shù)據(jù)處理的速度。

[1] 李清岳.工程測量學(xué)[M].北京:測繪出版社，1993

[2] 徐濤.數(shù)值計(jì)算方法[M].長春:吉林科學(xué)技術(shù)出版社，2002(7)

[3] 李全信.復(fù)合Simpson公式在線路中邊樁坐標(biāo)計(jì)算中的應(yīng)用.測繪工程，2001(9)

Computing Method for Horizontal Offset of Surrounding Seal in the Process Shield Tunneling Technology

Zhu Fu，Liu DeLi
(Jilin Architectural and Civil Engineering Institute，Changchun 130021，China)

The key problem in the process of the shield tunneling construction is to determine the central coordinates of the actual surveying point of surrounding seal of the transition curve in the cross section.Once the coordinates are found out，this mileage and the horizontal offset of the point is computed，which can be used to help the adjust of shield tunneling gesture.According to the compound Simpson formula and the secant method，one mathematical model of high accuracy is recommend，and the determination of n which is the value for equal－dividing the integral interval in compound Simpson formula is discussed.

shield tunneling technology；horizontal offset；surrounding seal；shield tunneling gesture

1672－8262(2010)03－144－03

P258

A

2010—10—11

朱福(1981—)，男，碩士研究生，助教，主要從事工程測量教學(xué)與研究工作。